|
|
| Строка 2: |
Строка 2: |
| | | | |
| | == Постановка задачи == | | == Постановка задачи == |
| − |
| |
| − | Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
| |
| − | \begin{equation}
| |
| − | \label{1}
| |
| − | \begin{cases}
| |
| − | \dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
| |
| − | x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
| |
| − | u(t) \in \mathcal{P}(t),
| |
| − | \end{cases}
| |
| − | \end{equation}
| |
| − | где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
| |
| − | \[
| |
| − | \mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
| |
| − | \]
| |
| − | \[
| |
| − | \mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
| |
| − | \]
| |
| − | Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \)
| |
| − |
| |
| − | Задача состоит в построение множества разрешимости для нашей системы.
| |
| − |
| |
| − | == Эллипсоидные свойства ==
| |
| − | Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидного исчисления.
| |
| − |
| |
| − | ==== Замечание 1 ====
| |
| − | ''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество, построенное в направлении некоторого ненулевого вектора l:''
| |
| − | \[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \forall l \: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\},\]
| |
| − |
| |
| − | === Утверждение 1 ===
| |
| − | '' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
| |
| − | \[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]
| |
| − |
| |
| − | ===== Доказательство =====
| |
| − | Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
| |
| − | \[
| |
| − | \rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
| |
| − | \rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
| |
| − | \]
| |
| − |
| |
| − | === Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
| |
| − | Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
| |
| − | \[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} \]
| |
| − |
| |
| − | Построим внешнюю оценку для \[ \sum \limits_{i=1}^m \mathcal{E}_i \] где \[ \mathcal{E}_i = \mathcal{E} (p_i, Q_i), p_i > 0\]
| |
| − | Рассмотрим эллипсоид \( \mathcal{E}_+(q_+, Q_+) \), где
| |
| − | \[ Q_+ = \left(p_1 + ... + p_m \right) \left(\frac{Q_1}{p_1} + ... + \frac{Q_m}{p_m} \right)\]
| |
| − | \[p_+ = \sum \limits_{i=1}^m p_i\]
| |
| − |
| |
| − | Действительно,
| |
| − | \[ \rho(l| \mathcal{E}_+) = \langle \sum \limits_{i=1}^m p_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1, \\ j \neq i}^m (\dfrac{p_j}{p_i} \langle l, Q_il \rangle )} \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \langle \sum \limits_{i=1}^m p_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt {\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle}} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m) \]
| |
| − | Отсюда следует
| |
| − | \[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(p_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
| |
| − | Равенство здесь достигается при условии равенства \( \dfrac{a+b}{2} = \sqrt{ab}\) что в свою очередь происходит тогда и только тогда, когда \( p_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\).
| |
| − |
| |
| − | == Оценка множества разрешимости ==
| |
| − | Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
| |
| − | \[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
| |
| − | где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:
| |
| − |
| |
| − | \[
| |
| − | \left\{\begin{aligned}
| |
| − | & \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
| |
| − | & X(\tau,\tau) = I.
| |
| − | \end{aligned}\right.
| |
| − | \]
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
| |
| − | \[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
| |
| − | \[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]
| |
| − |
| |
| − | Разобьем отрезок \( [t,t_1] \) на N частей, так чтобы i -ый отрезок имел вид \( [t + (i-1) \dfrac{t_1 - t}{N}, t + i \dfrac{t_1 - t}{N}] \). Тогда интегральная сумма примет вид
| |
| − | \[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),\]
| |
| − |
| |
| − | Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
| |
| − | \begin{equation}
| |
| − | \mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
| |
| − | Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
| |
| − | \label{Q_plus}
| |
| − | \end{equation}
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
| |
| − | \begin{equation}
| |
| − | p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
| |
| − | \label{p1}
| |
| − | \end{equation}
| |
| − | \begin{equation}
| |
| − | p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
| |
| − | \label{ptau}
| |
| − | \end{equation}
| |
| − |
| |
| − | === Оптимизация вычислений внешней оценки ===
| |
| − |
| |
| − | Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
| |
| − | \[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
| |
| − | \[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
| |
| − | \[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]
| |
| − |
| |
| − | Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
| |
| − | \[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]
| |
| − |
| |
| − | Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
| |
| − | \[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
| |
| − | \[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]
| |
| − |
| |
| − | === Построение внешней оценки===
| |
| − |
| |
| − | Обозначим:
| |
| − | \[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
| |
| − | \[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]
| |
| − |
| |
| − | Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
| |
| − | \[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Продифференцируем полученное выражение:
| |
| − | \[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
| |
| − | \[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
| |
| − | \[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
| |
| − | \[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
| |
| − | \[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
| |
| − | \[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]
| |
| − |
| |
| − | Таким образом, получим:
| |
| − | \begin{equation}
| |
| − | \begin{cases}
| |
| − | & \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
| |
| − | & Q_+(t_1) = X_1.
| |
| − | \label{u3}
| |
| − | \end{cases}
| |
| − | \end{equation}
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
| |
| − | \begin{equation}
| |
| − | \begin{cases}
| |
| − | \dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
| |
| − | \dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
| |
| − | \tilde{A}(t_1) = p_1, \\
| |
| − | \tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.
| |
| − |
| |
| − | \label{u2}
| |
| − | \end{cases}
| |
| − | \end{equation}
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
| |
| − | \begin{equation}
| |
| − | \begin{cases}
| |
| − | \label{u1}
| |
| − | \dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
| |
| − | X(\tau,\tau) = I.
| |
| − | \end{cases}
| |
| − | \end{equation}
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):
| |
