Матричный экспоненциал

Пусть $$A = (a_{ij})$$ - квадратная матрица порядка $$n$$.
Под матричной экспонентой понимается матричная функция: \[ \begin{equation} \label{row} e^{At} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{A^kt^k}{k!}. \end{equation} \]

Сходимость ряда $$(\ref{row})$$

Утверждение: Ряд $$(\ref{row})$$ сходится абсолютно и равномерно для любого конечного интервала $$t$$.
Доказательство:
$$A = (a_{ij}) \in \mathbb{R}^{n \times n},\: A^k = (a_{ij}^{(k)}).$$
Рассмотрим: $$|a_{ij}^{(2)}| = \|\displaystyle\sum_{l=1}^n a_{il}a_{lj}\| \leq \displaystyle\sum_{l=1}^n |a_{il}||a_{lj}| \leq c^2n,\texttt{ где } |a_{ij}| \leq c \texttt{ по всем } i,j. \\ |a_{ij}^{(3)}| = \|\displaystyle\sum_{l=1}^n a_{il}^{(2)}a_{lj}\| \leq c^3n^2. \\ \texttt{По индукции: } |a_{ij}^{(k)}| \leq c^kn^{k-1}. \\ \texttt{Все элементы матрицы } \frac{A^kt^k}{k!} \texttt{ мажорируются } \frac{c^kn^{k-1}t^k}{k!} = \frac1n\frac{(cnt)^k}{k!},\\ \texttt{а ряд } \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(cnt)^k}{nk!} \texttt{ сходится.} \Rightarrow$$
$$\Rightarrow$$ По признаку Вейерштрасса утверждение доказано.

Связь с фундаментальной матрицей

Так как $$\frac{d}{dt} e^{At} = Ae^{At} = e^{At}A,$$ то для $$e^{A(t-\tau)}$$ выполнено определение фундаментальной матрицы $$\Rightarrow$$ \[ X(t,\tau) = e^{A(t-\tau).} \]

Примеры нахождения

$$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\: A^2 = O \quad \Rightarrow \quad e^{At} = I + At = \begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. $$
Другие примеры можно найти в статьях про приложения преобразования Лапласа и фундаментальную матрицу Коши.