Бифуркационная диаграмма

Анимация построения бифуркационной диаграммы

Определение

Определение 1. Бифуркационной диаграммой динамической системы называется разбиение пространства параметров на максимальные связные подмножества, которые определяются соотношениями топологической эквивалентности и рассматриваются вместе с фазовыми портретами для каждого элемента разбиения.

Смысл

\begin{gather*} \dot{u} = f(u; a), ~ u \in \mathbb{R}, ~ a \in \mathbb{R}. \end{gather*}

Пояснение: Несмотря на то, что приведённая динамическая система является системой в непрерывном времени, бифуркационная диаграмма строится и для дискретных динамических систем, определение и алгоритм построения остаются теми же.

Зафиксируем некоторое значение вектора параметров $$ a = a_0 $$ и рассмотрим в пространстве параметров максимальное связное множество, содержащее $$ a_0, $$ такое, что во всех его точках вышеприведённая система топологически эквивалентна этой же системе при $$ a = a_0. $$ Рассматривая такие множества в пространстве параметров, получим так называемый параметрический портрет вышеприведённой системы. Параметрический портрет вместе с характерными для каждого множества параметров фазовыми портретами составляют бифуркационную диаграмму.

При качественном анализе динамической системы желательно получить ее бифуркационную диаграмму, так как в ней в сжатом виде содержатся все возможные модели поведения данной системы.

Бифуркационная диаграмма для примера 1 при значении $$ v_0 = 0.4 $$.

Алгоритм построения бифуркационной диаграммы

Введём необходимые константы:

N $$ - $$ число итераций необходимое для того, чтобы траектория системы сошлась к некоторому постоянному состоянию,

M $$ - $$ число итераций необходимое для того, чтобы найти возможные положения равновесия в данном состоянии.

Шаг 1: Определяем отрезок $$ [ \alpha_0, \alpha_{max} ] $$ на котором будем производить исследование.

Шаг 2: Запускаем цикл по j от 1 до N, перебирая по равномерной сетке все значения $$ \alpha. $$

Шаг 3: Для каждого значения $$ \alpha_j $$ запускаем цикл по i от 1 до N, в котором находим $$ v_i = g(v_{i-1}). $$ Таким образом, получаем $$ v_N. $$

Шаг 4: Для каждого такого $$ \alpha_j, $$ при уже найденном $$ v_N, $$ запускаем новый цикл по i от 1 до M, в котором производим ещё M итераций нахождения $$ v_i = g(v_{i-1}). $$ Каждое полученное значение $$ v_i $$ заносим на график как точку с координатами $$ ( \alpha_j, v_i) . $$

Бифуркационная диаграмма получена.

Бифуркационная диаграмма в фазово-параметрическом пространстве динамической системы примера 2.

Примеры бифуркационных диаграмм

Пример 1. Пусть задана динамическая система:

\begin{gather*} {v}_{t+1}= \alpha {v_t}^{\frac{3}{2}} (1 - v_t), ~ \alpha \in \mathbb{R}. \end{gather*} Тогда бифуркационные диаграммы приведены в правой части страницы.

N и M соответствуют своему описанию из секции Алгоритм построения бифуркационной диаграммы.

$$ v_0 $$ $$ - $$ точка, в которой происходит поиск.

Пример 2. Пусть задана динамическая система:

\begin{gather*} \dot{u}= a + u^2, ~ a \in \mathbb{R}. \end{gather*}

В данном случае a это бифуркационный параметр.

Жирная линия обозначает многообразие положений равновесия, причем сплошная линия отвечает устойчивому положению равновесия, а пунктирная $$ - $$ неустойчивому. Жирные точки обозначают положения равновесия. Приведены три фазовых портрета, как сечения бифуркационной диаграммы, для значений параметра $$ a_1, a_c, a_2. $$ См. картинку слева.

Бифуркационная диаграмма 1 для самоподобия бифуркационных диаграмм.

Пример 3. Пусть задана динамическая система:

\begin{gather*} \dot{u}= au - u^3, ~ a \in \mathbb{R}. \end{gather*}

В данном случае a это бифуркационный параметр. См. картинку слева.

Бифуркационная диаграмма в фазово-параметрическом пространстве динамической системы примера 3. Обозначения как для примера 2.

Самоподобие бифуркационных диаграмм

Приведём пример самоподобия бифуркационных диаграмм для системы: \begin{gather*} \dot{u}= u^2 e^{r(1-u^2)}, ~ r \in \mathbb{R}. \end{gather*} На диаграммах, приведённых справа, можно наблюдать самоподобие при $$ r \in [2, 2.02] $$ и $$ r \in [2.0075, 2.012]. $$ Внешний вид ветвления остаётся очень похожим.

Бифуркационная диаграмма 2 для самоподобия бифуркационных диаграмм.

Список литературы

1. Абрамова В.В. "Лекции по динамическим системам и биоматематике", 2023.
2. Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. "Динамические системы и модели биологии", 2011