Бифуркационная диаграмма

Анимация построения бифуркационной диаграммы

Определение

Определение Бифуркационной диаграммой динамической системы называется разбиение пространства параметров на максимальные связные подмножества, которые определяются соотношениями топологической эквивалентности и рассматриваются вместе с фазовыми портретами для каждого элемента разбиения.

Смысл

\begin{gather*} \dot{u} = f(u, \alpha), ~ u \in \mathbb{R}, ~ \alpha \in \mathbb{R}. \end{gather*}

Пояснение: Несмотря на то, что приведённая динамическая система является системой в непрерывном времени, бифуркационная диаграмма строится и для дискретных динамических систем, определение и алгоритм построения остаются теми же.

Зафиксируем некоторое значение вектора параметров $$ \alpha = \alpha_0 $$ и рассмотрим в пространстве параметров максимальное связное множество, содержащее $$ \alpha_0, $$ такое, что во всех его точках вышеприведённая система топологически эквивалентна этой же системе при $$ \alpha = \alpha_0. $$ Рассматривая такие множества в пространстве параметров, получим так называемый параметрический портрет вышеприведённой системы. Параметрический портрет вместе с характерными для каждого множества параметров фазовыми портретами составляют бифуркационную диаграмму.

При качественном анализе динамической системы желательно получить ее бифуркационную диаграмму, так как в ней в сжатом виде содержатся все возможные модели поведения данной системы.

Алгоритм построения бифуркационной диаграммы

Пусть задана динамическая система в дискретном времени: \begin{gather*} v_{t+1} = g(v_t, \alpha), ~ v \in \mathbb{R}, ~ \alpha \in \mathbb{R}. \end{gather*}

Введём необходимые обозначения:

$$ N - $$ число итераций необходимое для того, чтобы траектория системы сошлась к некоторому постоянному состоянию,

$$ M - $$ число итераций необходимое для того, чтобы найти возможные положения равновесия в данном состоянии.

Бифуркационная диаграмма для примера 1 при значении $$ v_0 = 0.4 $$.

Шаг 1: Определяем отрезок $$ [ \alpha_0, \alpha_{max} ] $$ на котором будем производить исследование.

Шаг 2: Запускаем цикл по $$ j $$ от $$ 1 $$ до $$ N, $$ перебирая по равномерной сетке все значения $$ \alpha. $$

Шаг 3: Для каждого значения $$ \alpha_j $$ запускаем цикл по $$ i $$ от $$ 1 $$ до $$ N, $$ в котором находим $$ v_i = g(v_{i-1}). $$ Таким образом, получаем $$ v_N. $$

Шаг 4: Для каждого такого $$ \alpha_j, $$ при уже найденном $$ v_N, $$ запускаем новый цикл по $$ i $$ от $$ 1 $$ до $$ M, $$ в котором производим ещё $$ M $$ итераций нахождения $$ v_i = g(v_{i-1}). $$ Каждое полученное значение $$ v_i $$ заносим на график как точку с координатами $$ ( \alpha_j, v_i) . $$

Бифуркационная диаграмма получена.

Пример бифуркационной диаграммы для системы в дискретном времени

Пример 1.

Бифуркационная диаграмма в фазово-параметрическом пространстве динамической системы примера 2.

Пусть задана динамическая система:

\begin{gather*} {v}_{t+1}= \alpha {v_t}^{\frac{3}{2}} (1 - v_t), ~ \alpha \in \mathbb{R}. \end{gather*} Тогда бифуркационные диаграммы приведены в правой части страницы.

$$ N $$ и $$ M $$ соответствуют своему описанию из секции Алгоритм построения бифуркационной диаграммы.

$$ v_0 $$ $$ - $$ точка, в которой происходит поиск.

Примеры бифуркационных диаграмм для систем в непрерывном времени

Пример 2. Пусть задана динамическая система:

Бифуркационная диаграмма в фазово-параметрическом пространстве динамической системы примера 3. Обозначения как для примера 2.

\begin{gather*} \dot{u}= a + u^2, ~ a \in \mathbb{R}. \end{gather*}

В данном случае $$ a $$ это параметр, по которому происходит бифуркация. Такой параметр называют бифуркационным.

Жирная линия обозначает многообразие положений равновесия, причем сплошная линия отвечает устойчивому положению равновесия, а пунктирная $$ - $$ неустойчивому. Жирные точки обозначают положения равновесия. Приведены три фазовых портрета, как сечения бифуркационной диаграммы, для значений параметра $$ a_1, a_c, a_2. $$

Пример 3. (бифуркация типа вилки) Пусть задана динамическая система:

\begin{gather*} \dot{u}= a u - u^3, ~ a \in \mathbb{R}. \end{gather*}

В данном случае $$ a $$ это бифуркационный параметр.

Если $$ a < 0, $$ то имеется единственное устойчивое положение равновесия $$ u = 0. $$ Если же $$ a > 0, $$ то возникают два устойчивых положения равновесия $$ u_{1,2} = \pm \sqrt{a}, $$ при этом положение равновесия $$ u = 0 $$ становится неустойчивым.

Такая бифуркация называется бифуркацией типа вилки.

Пример 4. (бифуркация удвоения периода)

Появление устойчивого цикла длины два для системы из примера 4

Пусть задана динамическая система:

\begin{gather*} \dot{u}= -(1 + a)u + u^3, ~ a \in \mathbb{R}. \end{gather*}

Отображение $$ u \mapsto -(1 + a)u + u^3 $$ обратимо для малых значений $$ |a| $$ в окрестности начала координат. Динамическая система имеет неподвижную точку $$ u^* = 0 $$ для всех значений $$ a $$ с собственным числом $$ \mu = -(1+a). $$ Эта точка устойчива при малых $$ a < 0 $$ и неустойчива, если $$ a > 0. $$ Если $$ a = 0, $$ то $$ \mu = -1, $$ поэтому в этом случае линейный анализ недостаточен для изучения устойчивости.

Вторая итерация отображения $$ u \mapsto -(1 + a)u + u^3 = f^2(u, a) $$ имеет вид: \begin{gather*} f^2(u, a) = f(f(u, a)) = -(1+a)[-(1+a)u + u^3] + [-(1+a)u + u^3]^3 = \\ = (1+a)^2 u - (1+a) u^3 - (1+a)^3 u^3 + o(u^3) = \\ = (1+a)^2 u - (2 + 4a + 3a^2 + a^3) u^3 + o(u^3). \end{gather*}

Отображение $$ f^2(u, a), $$ очевидно, имеет тривиальную неподвижную точку $$ u^* = 0. $$ Кроме того, оно имеет ещё две неподвижные точки при малых значениях параметра $$ a > 0: u^*_{1,2} = \sqrt{a} + o(\sqrt{a}). $$ Последнее означает, что $$ u^*_2 = f(u^*_1, a), \, u^*_1 = f(u^*_2, a), $$ причём $$ u^*_1 \neq u^*_2. $$ Нетрудно показать, что во второй итерации отображения $$ f(u, a) $$ происходит бифуркация типа вилки.

Две неподвижные точки, появляющиеся в $$ f^2(u, a) $$ при $$ a > 0, $$ устойчивы и образуют цикл длины два для исходного отображения $$ f(u, a), $$ так как $$ f(u^*_1, a) = u^*_2 $$ и $$ f(u^*_2, a) = u^*_1. $$ Такая бифуркация в исходной системе называется бифуркацией удвоения периода.

Если параметр $$ a $$ изменяется в направлении от положительных значений к отрицательным, то амплитуда цикла уменьшается (в том смысле, что $$ u^*_1 $$ и $$ u^*_2 $$ стремятся друг к другу), затем цикл исчезает. На рисунке к данному примеру показано появление устойчивого цикла длины 2 в системе.

Самоподобие бифуркационных диаграмм

Бифуркационная диаграмма 1 для самоподобия бифуркационных диаграмм.

Приведём пример самоподобия бифуркационных диаграмм для системы: \begin{gather*} \dot{u}= u^2 e^{r(1-u^2)}, ~ r \in \mathbb{R}. \end{gather*} На диаграммах, приведённых справа, можно наблюдать самоподобие при $$ r \in [2, 2.02] $$ и $$ r \in [2.0075, 2.012]. $$ Внешний вид ветвления остаётся очень похожим.

Бифуркационная диаграмма 2 для самоподобия бифуркационных диаграмм.

Список литературы

1. Абрамова В.В. "Лекции по динамическим системам и биоматематике", 2023.
2. Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. "Динамические системы и модели биологии", 2011