Бифуркационная диаграмма

Анимация построения бифуркационной диаграммы

Определение

Определение 1 Бифуркация — это изменение топологического типа системы, когда ее параметры проходят через некоторые бифуркационные (критические) значения.

Определение 2 Бифуркационной диаграммой динамической системы называется разбиение пространства параметров на максимальные связные подмножества, которые определяются соотношениями топологической эквивалентности и рассматриваются вместе с фазовыми портретами для каждого элемента разбиения.

Смысл

\begin{gather*} \dot{v} = f(v, \alpha), ~ v \in \mathbb{R}, ~ \alpha \in \mathbb{R}. \end{gather*}

Пояснение: Несмотря на то, что приведённая динамическая система является системой в непрерывном времени, бифуркационная диаграмма строится и для дискретных динамических систем, определение и алгоритм построения остаются теми же.

Зафиксируем некоторое значение вектора параметров $$ \alpha = \alpha_0 $$ и рассмотрим в пространстве параметров максимальное связное множество, содержащее $$ \alpha_0, $$ такое, что во всех его точках вышеприведённая система топологически эквивалентна этой же системе при $$ \alpha = \alpha_0. $$ Рассматривая такие множества в пространстве параметров, получим так называемый параметрический портрет вышеприведённой системы. Параметрический портрет вместе с характерными для каждого множества параметров фазовыми портретами составляют бифуркационную диаграмму.

При качественном анализе динамической системы желательно получить ее бифуркационную диаграмму, так как в ней в сжатом виде содержатся все возможные модели поведения данной системы.

Алгоритм построения бифуркационной диаграммы

Пусть задана динамическая система в дискретном времени: \begin{gather*} v_{t+1} = g(v_t, \alpha), ~ v \in \mathbb{R}, ~ \alpha \in \mathbb{R}. \end{gather*}

Введём необходимые обозначения:

$$ N - $$ число итераций (достаточно большое) необходимое для того, чтобы система, если это возможно, стабилизировалась,

$$ M - $$ число итераций необходимое для того, чтобы найти возможные положения равновесия в данном состоянии.

Бифуркационная диаграмма для примера 1 при значении $$ v_0 = 0.4 $$.

Шаг 1: Определяем отрезок $$ [ \alpha_0, \alpha_{max} ] $$ на котором будем производить исследование.

Шаг 2: Запускаем цикл по $$ j $$ от $$ 1 $$ до $$ N, $$ перебирая по равномерной сетке все значения $$ \alpha. $$

Шаг 3: Для каждого значения $$ \alpha_j $$ запускаем цикл по $$ i $$ от $$ 1 $$ до $$ N, $$ в котором находим $$ v_i = g(v_{i-1}, \alpha). $$ Таким образом, получаем $$ v_N. $$

Шаг 4: Для каждого такого $$ \alpha_j, $$ при уже найденном $$ v_N, $$ запускаем новый цикл по $$ i $$ от $$ 1 $$ до $$ M, $$ в котором производим ещё $$ M $$ итераций нахождения $$ v_i = g(v_{i-1}, \alpha). $$ Каждое полученное значение $$ v_i $$ заносим на график как точку с координатами $$ ( \alpha_j, v_i) . $$

Бифуркационная диаграмма получена.

Пример бифуркационной диаграммы для системы в дискретном времени

Пример 1.

Пусть задана динамическая система:

\begin{gather*} {v}_{t+1}= \alpha {v_t}^{\frac{3}{2}} (1 - v_t), ~ \alpha \in \mathbb{R}. \end{gather*} Тогда бифуркационные диаграммы приведены в правой части страницы.

$$ N $$ и $$ M $$ соответствуют своему описанию из секции Алгоритм построения бифуркационной диаграммы.

$$ v_0 $$ $$ - $$ точка, в которой происходит поиск.

Пример 2. (бифуркация удвоения периода)

Появление устойчивого цикла длины два для системы из примера 2

Пусть задана динамическая система:

\begin{gather*} v_{t+1}= -(1 + \alpha)v_{t} + v_{t}^3, ~ \alpha \in \mathbb{R}. \end{gather*}

Отображение $$ v \mapsto -(1 + \alpha)v + v^3 $$ обратимо для малых значений $$ |\alpha| $$ в окрестности начала координат. Динамическая система имеет неподвижную точку $$ v^* = 0 $$ для всех значений $$ \alpha $$ с собственным числом $$ \mu = -(1+\alpha). $$ Эта точка устойчива при малых $$ \alpha < 0 $$ и неустойчива, если $$ \alpha > 0. $$ Если $$ \alpha = 0, $$ то $$ \mu = -1, $$ поэтому в этом случае теорема о достаточных условиях устойчивости неподвижной точки не позволяет судить об устойчивости по первой итерации отображения и требует дополнительного анализа, а именно поиска второй итерации отображения.

Вторая итерация отображения $$ v \mapsto -(1 + \alpha)v + v^3 = f^2(v, \alpha) $$ имеет вид: \begin{gather*} f^2(v, \alpha) = f(f(v, \alpha)) = -(1+\alpha)[-(1+\alpha)v + v^3] + [-(1+\alpha)v + v^3]^3 = \\ = (1+\alpha)^2 v - (1+\alpha) v^3 - (1+\alpha)^3 v^3 + o(v^3) = \\ = (1+\alpha)^2 v - (2 + 4\alpha + 3\alpha^2 + \alpha^3) v^3 + o(v^3). \end{gather*}

Отображение $$ f^2(v, \alpha), $$ очевидно, имеет тривиальную неподвижную точку $$ v^* = 0. $$ Кроме того, оно имеет ещё две неподвижные точки при малых значениях параметра $$ \alpha > 0: v^*_{1,2} = \sqrt{\alpha} + o(\sqrt{\alpha}). $$ Последнее означает, что $$ v^*_2 = f(v^*_1, \alpha), \, v^*_1 = f(v^*_2, \alpha), $$ причём $$ v^*_1 \neq v^*_2. $$ Нетрудно показать, что во второй итерации отображения $$ f(v, \alpha) $$ происходит бифуркация типа вилки.

Две неподвижные точки, появляющиеся в $$ f^2(v, \alpha) $$ при $$ \alpha > 0, $$ устойчивы и образуют цикл длины два для исходного отображения $$ f(v, \alpha), $$ так как $$ f(v^*_1, \alpha) = v^*_2 $$ и $$ f(v^*_2, \alpha) = v^*_1. $$ Такая бифуркация в исходной системе называется бифуркацией удвоения периода.

Если параметр $$ \alpha $$ изменяется в направлении от положительных значений к отрицательным, то амплитуда цикла уменьшается (в том смысле, что $$ v^*_1 $$ и $$ v^*_2 $$ стремятся друг к другу), затем цикл исчезает. На рисунке к данному примеру показано появление устойчивого цикла длины 2 в системе.

Примеры бифуркационных диаграмм для систем в непрерывном времени

Пример 3. (бифуркация седло-узел) Пусть задана динамическая система:

Бифуркационная диаграмма в фазово-параметрическом пространстве динамической системы примера 3.

\begin{gather*} \dot{v}= \alpha + v^2 = f(v, \alpha), ~ \alpha \in \mathbb{R}. \end{gather*}

В данном случае $$ \alpha $$ это параметр, по которому происходит бифуркация. Такой параметр называют бифуркационным.

При $$ \alpha = 0 $$ это уравнение имеет положение равновесия $$ v^∗ = 0, $$ причем $$ \lambda = f_v(0, 0) = 0 $$ ($$ f_v $$ обозначает производную функции $$ f $$ по переменной $$ v $$). Если $$ \alpha < 0, $$ то существуют два положения равновесия $$ v_{1,2}(\alpha) = \pm \sqrt{−\alpha}, $$ из которых верхнее устойчиво, а нижнее $$ — $$ неустойчиво. При $$ \alpha > 0 $$ положений равновесия в системе нет. При возрастании параметра $$ \alpha $$ в направлении от отрицательных значений к положительным, две неподвижные точки сталкиваются и исчезают. Уравнение $$ f(v, \alpha) = 0 $$ определяет множество положений равновесия (в данном случае это парабола $$ \alpha = −v^2 $$ ). Проектирование этого множества на ось параметра имеет особенность в точке $$ (0, 0), $$ в которой происходит бифуркация. Данная бифуркация называется касательной бифуркацией или бифуркацией седло-узел.

Жирная линия обозначает многообразие положений равновесия, причем сплошная линия отвечает устойчивому положению равновесия, а пунктирная $$ - $$ неустойчивому. Жирные точки обозначают положения равновесия. Приведены три фазовых портрета, как сечения бифуркационной диаграммы, для значений параметра $$ \alpha_1, \alpha_c, \alpha_2. $$ (соответственно, отрицательная $$ \alpha_1 $$, $$ \alpha_c = 0 $$ и положительная $$ \alpha_2 $$ области значений)

Пример 4. (бифуркация типа вилки)

Бифуркационная диаграмма в фазово-параметрическом пространстве динамической системы примера 4. Обозначения как для примера 3.

Пусть задана динамическая система:

\begin{gather*} \dot{v}= \alpha v - v^3, ~ \alpha \in \mathbb{R}. \end{gather*}

В данном случае $$ \alpha $$ это бифуркационный параметр.

Если $$ \alpha < 0, $$ то имеется единственное устойчивое положение равновесия $$ v = 0. $$ Если же $$ \alpha > 0, $$ то возникают два устойчивых положения равновесия $$ v_{1,2} = \pm \sqrt{\alpha}, $$ при этом положение равновесия $$ v = 0 $$ становится неустойчивым.

Такая бифуркация называется бифуркацией типа вилки.

Самоподобие бифуркационных диаграмм

Бифуркационная диаграмма для примера 5 самоподобия бифуркационных диаграмм на интервале $$ \alpha \in [2, 2.02] $$.

Пример 5.

Приведём пример самоподобия бифуркационных диаграмм для системы: \begin{gather*} \dot{v}= v^2 e^{\alpha (1-v^2)}, ~ \alpha \in \mathbb{R}. \end{gather*} На диаграммах, приведённых справа, можно наблюдать самоподобие при $$ \alpha \in [2, 2.02] $$ и при $$ \alpha \in [2.0093, 2.01065]. $$ Внешний вид ветвления остаётся очень похожим.

Бифуркационная диаграмма для примера 5 самоподобия бифуркационных диаграмм на интервале $$ \alpha \in [2.0093, 2.01065] $$.

Список литературы

1. Абрамова В.В. "Лекции по динамическим системам и биоматематике", 2023.
2. Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. "Динамические системы и модели биологии", 2011