Системы множеств: различия между версиями
Liza22 (обсуждение | вклад) |
Liza22 (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 6: | Строка 6: | ||
'''Объединением''' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$. | '''Объединением''' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$. | ||
| − | Множество $$C$$ называется '''объединением''' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\ | + | Множество $$C$$ называется '''объединением''' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е. |
\[ | \[ | ||
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha . | x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha . | ||
| Строка 12: | Строка 12: | ||
=== Определение 2 === | === Определение 2 === | ||
| − | '''Пересечением''' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$. Множество $$C$$ называется '''пересечением''' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $I$, и обозначается $$C=\ | + | '''Пересечением''' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$. |
| + | |||
| + | Множество $$C$$ называется '''пересечением''' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$\Lambda_\alpha$$, т.е. | ||
\[ | \[ | ||
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha . | x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha . | ||
| Строка 18: | Строка 20: | ||
Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''': | Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''': | ||
| + | |||
1) ''коммутативность'' | 1) ''коммутативность'' | ||
\[A \cup B=B \cup A, A \cap B=B \cap A ;\] | \[A \cup B=B \cup A, A \cap B=B \cap A ;\] | ||
| + | |||
2) ''ассоциативность'' | 2) ''ассоциативность'' | ||
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),(A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C):\] | \[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),(A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C):\] | ||
| + | |||
3) ''дистрибутивность'' | 3) ''дистрибутивность'' | ||
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C), A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\] | \[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C), A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\] | ||
=== Определение 3 === | === Определение 3 === | ||
| − | Разностью множеств $A$ и $B$ называется множество $C$ (обозначается $A \backslash B$ ), состоящее из элементов множества $A$, не принадлежащих множеству $B$. | + | '''Разностью''' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$. |
| − | Симметрической разностью множеств $A$ и $B$ называется множество $A \Delta B=$ $(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$. | + | === Определение 4 === |
| + | '''Симметрической разностью''' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$. | ||
Версия 00:04, 3 ноября 2023
Содержание
Аннотация
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории меры.
Операции над множествами
Определение 1
Объединением множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.
Множество $$C$$ называется объединением множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е. \[ x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha . \]
Определение 2
Пересечением множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$.
Множество $$C$$ называется пересечением множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$\Lambda_\alpha$$, т.е. \[ x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha . \]
Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими свойствами:
1) коммутативность \[A \cup B=B \cup A, A \cap B=B \cap A ;\]
2) ассоциативность \[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),(A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C):\]
3) дистрибутивность \[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C), A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]
Определение 3
Разностью множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.
Определение 4
Симметрической разностью множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.
