Системы множеств: различия между версиями
Liza22 (обсуждение | вклад) |
Liza22 (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 3: | Строка 3: | ||
== Операции над множествами == | == Операции над множествами == | ||
| − | + | * '''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$. | |
| − | '''Объединением | ||
| − | Множество $$C$$ называется | + | Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е. |
\[ | \[ | ||
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha . | x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha . | ||
\] | \] | ||
| − | + | * '''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$. | |
| − | '''Пересечением | ||
| − | Множество $$C$$ называется | + | Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е. |
\[ | \[ | ||
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha . | x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha . | ||
| Строка 21: | Строка 19: | ||
Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''': | Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''': | ||
| − | 1) ''коммутативность'' | + | 1) ''коммутативность:'' |
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\] | \[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\] | ||
| − | 2) ''ассоциативность'' | + | 2) ''ассоциативность:'' |
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\] | \[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\] | ||
| − | 3) ''дистрибутивность'' | + | 3) ''дистрибутивность:'' |
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\] | \[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\] | ||
| − | + | * '''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$. | |
| − | '''Разностью | ||
| − | + | * '''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$. | |
| − | '''Симметрической разностью | ||
Версия 00:24, 3 ноября 2023
Аннотация
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории меры.
Операции над множествами
- Определение. Объединением множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.
Множество $$C$$ называется объединением множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е. \[ x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha . \]
- Определение. Пересечением множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$.
Множество $$C$$ называется пересечением множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е. \[ x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha . \]
Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими свойствами:
1) коммутативность: \[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]
2) ассоциативность: \[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]
3) дистрибутивность: \[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]
- Определение. Разностью множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.
- Определение. Симметрической разностью множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.
