Системы множеств: различия между версиями
Liza22 (обсуждение | вклад) |
Liza22 (обсуждение | вклад) |
||
Строка 44: | Строка 44: | ||
Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств. | Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств. | ||
− | * '''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$ | + | * '''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство: |
\[ | \[ | ||
A \cap E=A. | A \cap E=A. | ||
\] | \] | ||
− | Таким образом, единица системы множеств $$ | + | Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества. |
* '''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'' множеств. | * '''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'' множеств. |
Версия 22:58, 3 ноября 2023
Содержание
Аннотация
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории меры.
Операции над множествами
- Определение. Объединением множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.
Множество $$C$$ называется объединением множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е. \[ x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha . \]
- Определение. Пересечением множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$.
Множество $$C$$ называется пересечением множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е. \[ x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha . \]
Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими свойствами:
1) коммутативность: \[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]
2) ассоциативность: \[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]
3) дистрибутивность: \[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]
- Определение. Разностью множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.
- Определение. Симметрической разностью множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.
Кольцо
- Определение. Непустая система множеств $$K$$ называется кольцом, если для любых $$A,\ B \in K$$:
\[1) A \Delta B \in K,\]
\[2) A \cap B \in K.\]
Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$. Таким образом, кольцо множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида \[ C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k \]
Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.
- Определение. Множество $$E$$ называется единицей системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:
\[ A \cap E=A. \]
Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.
- Определение. Кольцо множеств с единицей называется алгеброй множеств.
Примеры
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.
2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.
3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.
4. Система всех ограниченных подмножеств числовой прямой является кольцом множеств, не содержащим единицы.