Интеграл Лебега

Интеграл Лебега от простых функций

Пусть задана тройка $$\{X, \Sigma, \mu\}$$, где $$X$$ — пространство, $$\Sigma$$ — сигма-алгебра, $$\mu$$ — полная сигма-аддитивная мера, причем $$\mu(X)<+\infty$$.

Определим интеграл Лебега на простых функциях.

Определение 1. Функция называется простой, если она измерима и принимает конечное число значений.

Простую функцию можно представить в виде $$f(x)=\sum\limits_{k=1}^{m} f_{k} \chi_{A_{k}}(x)$$, где $$X=\coprod_{k=1}^{m} A_{k}$$, все множества $$A_{k} \in \Sigma$$ (и попарно не пересекаются), $$f_{k} \in \mathbb{R}$$, $$\chi_{A}(x)=\left\{\begin{array}{l} 1, x \in A \\ 0, x \notin A \end{array}\right. $$ - характеристическая функция (индикатор). Фактически, сумма всегда состоит из одного слагаемого. Примером может служить функция Дирихле.

Определение 2. Интегралом Лебега от простой функции $$f(x)=\sum\limits_{k=1}^{m} f_{k} \chi_{A_{k}}(x)$$ называется \[ (L) \int\limits_{X} f(x) d \mu=\sum\limits_{k=1}^{m} f_{k} \mu\left(A_{k}\right) \text {. } \]

В дальнейшем значок $$(L)$$ опускаем.

Пример. Интеграл Лебега от функции Дирихле по мере Лебега равен мере множества. Напомним, что по Риману эта функция не интегрируема.

Свойства интеграла Лебега от простых функций

1. $$\int\limits_{X} cf(x) d \mu = c\int\limits_{X} f(x) d \mu~~\forall c \in \mathbb{R}$$.

2. $$\int\limits_{X} f(x) \pm g(x) d \mu = \int\limits_{X} f(x) d \mu \pm \int\limits_{X} g(x) d \mu~~\forall f(x), g(x)$$ - простые функции.

Следствие. Интеграл от линейной комбинации функций равен линейной комбинации интегралов от этих функций с теми же коэффициентами.

3. $$\left|\int\limits_{X} f(x) d \mu\right| \leq \max\limits_{X}|f(x)| \mu(X)=\max\limits_{k=1, m}\left|f_{k}\right| \mu(X)$$.

Расширение понятия Лебега путем предельного перехода

Лемма 1. Пусть $$\left\{f_{n}(x)\right\}$$ — последовательность простых функций, $$f_{n}(x) \rightrightarrows f(x)\text,~~x \in X$$, тогда числовая последовательность $$\int\limits_{X} f_{n}(x) d \mu$$ сходится.

Вытекает из фундаментальности этой последовательности: если $$\left|f_{n}(x)-f_{m}(x)\right|<\varepsilon$$, то

\[ \left|\int\limits_{X} f_{n}(x) d \mu-\int\limits_{X} f_{m}(x) d \mu\right| \leq \int\limits_{X}\left|f_{n}(x)-f_{m}(x)\right| d \mu \leq \max\limits_{X}\left|f_{n}(x)-f_{m}(x)\right| \mu(X) \leq \varepsilon \mu(X) \text {. } \]

Определение 3. Пусть $$f(x)$$ — равномерный предел на $$X$$ последовательности простых функций $$\left\{f_{n}(x)\right\}$$, тогда интегралом Лебега от этой функции называется

\[ (L) \int\limits_{X} f(x) d \mu=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int\limits_{X} f_{n}(x) d \mu . \]

Легко видеть, что это определение корректно: предел не зависит от выбора последовательности простых функций.

Каков класс таких функций? Легко видеть, что это измеримые (поскольку предел последовательности измеримых функций измерим) и ограниченные (поскольку равномерный предел ограниченных функций ограничен) функции. Оказывается, что это в точности этот класс, как показывают следующие утверждения.

Лемма 2. Для любой измеримой ограниченной функции существует равномерно сходящаяся к ней последовательность простых функций.

Доказательство: Пусть $$f(x)$$ — измеримая ограниченная функция. Представим ее в виде разности двух неотрицательных функций: $$f(x)=f_{+}(x)-f_{-}(x)$$, где $$f_{ \pm}(x)=(f(x) \mid \pm f(x)) / 2$$. Таким образом, не ограничивая общности, можно считать, что $$0 \leq f(x) \leq M$$. Положим $$A_{k n}=\{k / n \leq f(x)<(k+1) / n\}, k=0,1,2, \ldots$$,

$$f_{n}(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}(k / n) \mu\left(A_{k n}\right)=\sum\limits_{k=0}^{N}(k / n) \mu\left(A_{k n}\right), N=[M n]+1$$, тогда $$0 \leq f(x)-f_{n}(x) \leq 1 / n$$

$$\forall x \in A_{k n} \Rightarrow \forall x \in X$$, что и требовалось доказать.$$\blacksquare$$

Замечание. Если функция не ограничена, то существует равномерно сходящаяся к ней последовательность простых функций, принимающих счетное число значений.

Из этой леммы вытекает основное утверждение.

Теорема 1. Любая измеримая ограниченная функция интегрируема по Лебегу, причем интеграл может быть найден как предел последовательности лебеговых интегральных сумм:

\[ \int\limits_{X} f(x) d \mu=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sum\limits_{k=0}^{N} \frac{k}{n} \mu\left(\left\{\frac{k}{n} \leq f(x)<\frac{k+1}{n}\right\}\right) . \]

Интеграл Лебега от неограниченной функции

Рассмотрим измеримую простую функцию, принимающую счетное число значений: $$f(x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty} f_{k} \chi_{A_{k}}(x)$$, где $$X=\coprod_{k=1}^{\infty} A_{k}$$ (множества $$A_{k} \in \Sigma$$ и попарно не пересекаются).

Определение 4. Простая функция $$f(x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty} f_{k} \chi_{A_{k}}(x)$$ называется интегрируемой по Лебегу, если сходится ряд

\[ \sum\limits_{k=1}^{\infty}\left|f_{k}\right| \mu\left(A_{k}\right). \]

в этом случае интегралом Лебега от этой функции называется

\[ (L) \int\limits_{X} f(x) d \mu=\sum\limits_{k=1}^{\infty} f_{k} \mu\left(A_{k}\right) \text {. } \]

Таким образом, в случае интеграла Лебега абсолютная интегрируемость равносильна интегрируемости.

Свойства интеграла Лебега от простых функций со счетным числом значений

1. $$\int\limits_{X} cf(x) d \mu = c\int\limits_{X} f(x) d \mu~~\forall c \in \mathbb{R}$$.

2. $$\int\limits_{X} f(x) \pm g(x) d \mu = \int\limits_{X} f(x) d \mu \pm \int\limits_{X} g(x) d \mu~~\forall f(x), g(x)$$ - простые функции со счетным числом значений.

Следствие. Интеграл от линейной комбинации функций равен линейной комбинации интегралов от этих функций с теми же коэффициентами.

Пример. Функция Дирихле интегрируема по обычной мере Лебега на отрезке $$[0,1]$$, и интеграл от нее равен единице.

3. $$\left|\int\limits_{X} f(x) d \mu\right| \leq \sup\limits_{X}|f(x)| \mu(X)$$ (если $$f(x)$$ не ограничена, то правая часть бесконечна).

4. Если $$|f(x)| \leq g(x)$$ и $$g(x)$$ интегрируема, то $$f(x)$$ интегрируема, причем \[ \left|\int\limits_{X} f(x) d \mu\right| \leq \int\limits_{X} g(x) d \mu. \]

Доказательство: Пусть $$f(x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty} f_{k} \chi_{A_{k}}(x), g(x)=\sum\limits_{i=1}^{\infty} g_{i} \chi_{B_{i}}(x)$$, тогда

\[ \left|\int\limits_{X} f(x) d \mu\right| \leq \sum\limits_{k=1}^{\infty}\left|f_{k}\right| \mu\left(A_{k}\right)=\sum\limits_{i=1}^{\infty} \sum\limits_{k=1}^{\infty}\left|f_{k}\right| \mu\left(A_{k} \cap B_{i}\right) \leq \sum\limits_{i=1}^{\infty} \sum\limits_{k=1}^{\infty} g_{i} \mu\left(A_{k} \cap B_{i}\right)=\sum\limits_{i=1}^{\infty} g_{i} \mu\left(B_{i}\right)=\int\limits_{X} g(x) d \mu. \blacksquare \]

Утверждение 1. Пусть $$\left\{f_{n}(x)\right\}$$ — последовательность простых функций со счетным числом значений, $$f_{n}(x) \rightarrow$$ на $$X$$, тогда числовая последовательность $$\int\limits_{X} f_{n}(x) d \mu$$ сходится.

Вытекает из оценки

\[ \left|\int\limits_{X} f_{n}(x) d \mu-\int\limits_{X} f_{m}(x) d \mu\right| \leq \sup\limits_{X}\left|f_{n}(x)-f_{m}(x)\right| \mu(X) . \]

Определение 5. Функция $$f(x), x \in X$$, называется интегрируемой по Лебегу на множестве $$X$$, если существует последовательность интегрируемых простых функций со счетным числом значений $$\left\{f_{n}(x)\right\}$$, равномерно сходящаяся к $$f(x)$$ на множестве $$X$$, при этом интегралом Лебега от функции $$f(x)$$ называется

\[ (L) \int\limits_{X} f(x) d \mu=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int\limits_{X} f_{n}(x) d \mu \text {. } \]

Корректность этого определения вытекает из следующего простого утверждения.

Утверждение 2. Если $$\left\{f_{n}(x)\right\}$$ и $$\left\{\tilde{f}_{n}(x)\right\}$$ — две последовательности интегрируемых простых функций со счетным числом значений, равномерно сходящиеся к функции $$f(x)$$ на множестве $$X$$, то

\[ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int\limits_{X} f_{n}(x) d \mu=\lim_{n \rightarrow \infty} \int\limits_{X} \tilde{f}_{n}(x) d \mu \]

Для доказательства достаточно заметить, что

\[ \left|\int\limits_{X} f_{n}(x) d \mu-\int\limits_{X} \tilde{f}_{n}(x) d \mu\right| \leq \sup\limits_{X}\left|f_{n}(x)-\tilde{f}_{n}(x)\right| \mu(X) \leq\left(\sup\limits_{X}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|+\sup\limits_{X}\left|f(x)-\tilde{f}_{n}(x)\right|\right) \mu(X) \rightarrow 0. \]

Справедливо и обратное (в некотором смысле) утверждение.

Утверждение 3. Пусть функция $$f(x)$$ интегрируема на множестве $$X$$ и пусть последовательность измеримых простых функций со счетным числом значений $$\left\{f_{n}(x)\right\}$$ равномерно сходится к функции $$f(x)$$ на множестве $$X$$, тогда, начиная с некоторого номера, все функции $$f_{n}(x)$$ интегрируемы на множестве $$X$$.

Доказательство: Так как функция $$f(x)$$ интегрируема, то существует последовательность интегрируемых простых функций со счетным числом значений $$\left\{\tilde{f}_{n}(x)\right\}$$, которая равномерно сходится к функции $$f(x)$$. Следовательно, $$\forall \varepsilon>0 \quad \exists N: \forall n \geq N$$ $$\left|\tilde{f}_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon$$ и (в силу равномерной сходимости) $$\left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon$$. Отсюда вытекает, что $$\left|\tilde{f}_{n}(x)-f_{n}(x)\right|<2 \varepsilon$$ и $$\left|f_{n}(x)\right|<\left|\tilde{f}_{n}(x)\right|+2 \varepsilon$$, а это и означает интегрируемость $$f_{n}(x)$$. $$\blacksquare$$

Свойства интегрируемых функций

1. $$\int\limits_{X} cf(x) d \mu = c\int\limits_{X} f(x) d \mu~~\forall c \in \mathbb{R}$$.

2. $$\int\limits_{X} f(x) \pm g(x) d \mu = \int\limits_{X} f(x) d \mu \pm \int\limits_{X} g(x) d \mu~~\forall f(x), g(x)$$ - интегрируемые функции.

3. Если $$f(x) \geq 0$$ п.в., то $$\int\limits_{X} f(x) d \mu \geq 0$$.

4. Если $$f(x) \leq g(x)$$ п.в., то $$\int\limits_{X} f(x) d \mu \leq \int\limits_{X} g(x) d \mu$$.

5. Если $$f(x)$$ интегрируема, то $$|f(x)|$$ интегрируема. Обратное, вообще говоря, неверно.

6. Если $$f(x)$$ измерима, $$g(x)$$ интегрируема и $$|f(x)| \leq g(x)$$, то $$f(x)$$ интегрируема, причем $$\left|\int\limits_{X} f(x) d \mu\right| \leq \int\limits_{X}|f(x)| d \mu \leq \int\limits_{X} g(x) d \mu$$.

7. Если $$f(x)$$ интегрируема, $$g(x)$$ измерима и ограничена, то $$f(x) g(x)$$ интегрируема.

Определение 6. Пусть $$f(x)$$ интегрируема на $$X$$, измеримое $$A \subset X$$, тогда

\[ \int\limits_{A} f(x) d \mu=\int\limits_{X} f(x) \chi_{A}(x) d \mu . \]

8. (аддитивность интеграла Лебега по множеству интегрирования) Если $$f(x)$$ интегрируема на $$X, X=A \coprod B, A, B$$ — измеримые, то

\[ \int\limits_{X} f d \mu=\int\limits_{A} f d \mu+\int\limits_{B} f d \mu . \]

Следствие. Если $$f(x)$$ интегрируема на $$X, X=\coprod_{k=1}^{n} A_{k}$$, все $$A_{k}$$ — измеримые, то

\[ \int\limits_{X} f d \mu=\sum\limits_{k=1}^{n} \int\limits_{A_{k}} f d \mu . \]

В дальнейшем мы докажем и свойство сигма-аддитивности.

9. Если $$f$$ измерима, $$\mu(A)=0$$, то $$\int\limits_{A} f d \mu=0$$.

Доказательство: Для простой функции это свойство очевидно. В общем случае существует последовательность простых функций $$f_{n} \rightrightarrows f$$, поэтому $$\exists n:|f| \leq\left|f_{n}\right|+1$$, откуда вытекает, что функция $$f$$ интегрируема и

\[ \int\limits_{A}|f| d \mu \leq \int\limits_{A}\left(\left|f_{n}\right|+1\right) d \mu=0 \blacksquare . \]

Следствие. Если $$f=0$$ п.в. на множестве $$X$$, то $$\int\limits_{X} f d \mu=0$$.

Достаточно заметить, в обозначении $$E=\{f \neq 0\}$$, что $$\mu(E)=0, \int\limits_{E} f d \mu=0$$, $$\int\limits_{X \backslash E} f d \mu=0, X=E \coprod(X \backslash E)$$.

10. Если $$f$$ интегрируема на $$X, f \geq 0, \int\limits_{X} f d \mu=0$$, то $$f=0$$ п.в. на $$X$$.

Доказательство: Сначала докажем неравенство Чебышёва: если $$f \geq 0$$, то $$\forall a>0$$

\[ \mu(\{f \geq a\}) \leq \frac{1}{a} \int\limits_{X} f d \mu . \]

В самом деле,

\[ \int\limits_{X} f d \mu=\int\limits_{\{f \geq a\}} f d \mu+\int\limits_{\{f<a\}} f d \mu \geq \int\limits_{\{f \geq a\}} f d \mu \geq a \int\limits_{\{f \geq a\}} f d \mu=a \mu(\{f \geq a\}) . \]

Теперь заметим, что $$\{f>0\}=\bigcup_{n=1}^{\infty}\{f \geq 1 / n\}$$. В силу неравенства Чебышёва $$\mu(\{f \geq 1 / n\}) \leq \int\limits_{X} f d \mu / n=0$$, поэтому $$\mu(\{f>0\}) \leq \sum\limits_{n=1}^{\infty} \mu(\{f \geq 1 / n\})=0$$. $$\blacksquare$$

Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана

Будем рассматривать только одномерный случай. Мера - обычная мера Лебега на прямой.

Теорема. Пусть функция $$f(x)$$ интегрируема по Риману на отрезке $$[a, b]$$. Тогда она интегрируема и по Лебегу на этом отрезке, причем интегралы равны:

\[ (L) \int_{a}^{b} f d x=(R) \int_{a}^{b} f d x \]

Замечание. Так как интеграл Римана понимается в собственном смысле, то из интегрируемости по Риману вытекает ограниченность функции $$f(x)$$, а из утверждения теоремы - измеримость этой функции.

Доказательство. Положим $$x_{k}^{n} \equiv x_{k}=a+\dfrac{(b-a) k}{2^{n}}, k=0,1, \ldots, 2^{n}$$;

\[ M_{k}=\sup _{\left[x_{k}, x_{k+1}\right)} f(x),~~m_{k}=\inf _{\left[x_{k}, x_{k+1}\right)} f(x),~~S_{n}=\frac{b-a}{2^{n}} \sum_{k=0}^{2^{n}-1} M_{k},~~s_{n}=\frac{b-a}{2^{n}} \sum_{k=0}^{2^{n}-1} m_{k} \]

Так как $$f(x)$$ интегрируема по Риману, то $$S_{n}-S_{n} \rightarrow 0$$ и

\[ \lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}=(R) \int_{a}^{b} f d x \]

Определим простые функции

\[ \bar{f}_{n}(x)=\sum_{k=0}^{2^{n}-1} M_{k} \chi\left(\left[x_{k}, x_{k+1}\right)\right),~~\underline{f}_{n}(x)=\sum_{k=0}^{2^{n}-1} m_{k} \chi\left(\left[x_{k}, x_{k+1}\right)\right) \]

Очевидно, \[ (L) \int_{a}^{b} \bar{f}_{n} d x=S_{n},~~(L) \int_{a}^{b} \underline{f}_{n} d x=S_{n} \]

Так как $$\bar{f}_{n} \geq \bar{f}_{n+1}, \underline{f}_{n} \leq \underline{f}_{n+1}$$, то существуют

\[ \bar{f}=\lim _{n \rightarrow \infty} \bar{f}_{n},~~\underline{f}=\lim _{n \rightarrow \infty} \underline{f}_{n} \]

Так как $$\underline{f}_{n} \leq f \leq \bar{f}_{n}$$, то $$\underline{f} \leq f \leq \bar{f}$$. Кроме того,

\[ (L) \int_{a}^{b} \bar{f}_{n} d x \geq \text { const, }~~(L) \int_{a}^{b} \underline{f}_{n} d x \leq \text { const } \]

Следовательно, по теореме Леви функции $$\bar{f}$$ и $$\underline{f}$$ интегрируемы и

\[ \lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}(L) \int_{a}^{b} \bar{f}_{n} d x,~~\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}(L) \int_{a}^{b} \underline{f}_{n} d x \]

Отсюда вытекает, что $$\underline{f}=f=\bar{f}$$ п.в., интегрируемость $$f$$ и равенство интегралов Римана и Лебега. $$\blacksquare$$

Замечание. В случае несобственного интеграла это уже не так, вообще говоря: интеграл

\[ \int_{0}^{1} \frac{1}{x} \sin \left(\frac{1}{x}\right) d x \]

существует как несобственный в смысле Римана, но не существует как интеграл Лебега.

Докажем теперь критерий интегрируемости по Риману.

Теорема (критерий интегрируемости по Риману). Ограниченная функция интегрируема по Риману на отрезке тогда и только тогда, когда она п.в. непрерывна.

Доказательство. Пусть функция $f(x)$ задана и ограничена на отрезке $[a, b]$.

$$\Rightarrow$$ Пусть $$f(x)$$ интегрируема по Риману, тогда положим

\[ E=\{f \neq \bar{f}\} \cup\left\{x_{k}^{n} \mid k=0, \ldots, 2^{n}-1, n=1,2, \ldots\right\} \]

(см. предыдущую теорему). В силу предыдущей теоремы $$\mu(E)=0$$. Докажем, что $$f(x)$$ непрерывна на множестве $$[a, b] \backslash E$$. Пусть $$x_{0} \in[a, b] \backslash E$$, тогда $$x_{0}$$ - внутренняя точка любого разбиения и $$\underline{f}\left(x_{0}\right)=\bar{f}\left(x_{0}\right)$$. Следовательно,

\[ \lim _{n \rightarrow \infty} \bar{f}_{n}\left(x_{0}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \underline{f}_{n}\left(x_{0}\right) \Rightarrow M_{k}^{n}-m_{k}^{n} \underset{n \rightarrow \infty}{\rightarrow} 0 . \]

Но тогда $$\forall \varepsilon>0 \exists n: M_{k}^{n}-m_{k}^{n}<\varepsilon, k=0, \ldots, 2^{n}-1$$. Рассмотрим разбиение, отвечающее этому $$n$$. Точка $$x_{0}$$ принадлежит одному из интервалов этого разбиения, а значит, существует $$\delta$$-окрестность точки $$x_{0}$$, в которой колебание функции $$f(x)$$ меньше $$\varepsilon$$ (в качестве $$\delta$$ можно взять расстояние от $$x_{0}$$ до ближайшей точки разбиения), а это и означает, что функция $$f(x)$$ непрерывна в точке $$x_{0}$$.

$$\Leftarrow$$ Пусть $$E$$ - множество точек разрыва функции $$f(x), \mu(E)=0$$. Обозначим

\[ \tilde{E}=E \bigcup\left\{x_{k}^{n} \mid k=0, \ldots, 2^{n}-1, n=1,2, \ldots\right\} \]

Достаточно показать, что

\[ \lim _{n \rightarrow \infty} \bar{f}_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \underline{f}_{n} \text { п.в. } \]

- тогда можно будет перейти к пределу под знаком интеграла (эти последовательности монотонные и интегралы от них ограничены), так что предельная функция будет интегрируема.

Пусть $$x_{0} \in[a, b] \backslash \tilde{E}$$. В силу непрерывности $$\forall \varepsilon>0 \quad \exists \delta>0: \forall x \in\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right)$ $\left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right|<\varepsilon$$. Отсюда вытекает, что начиная с некоторого номера $$\bar{f}_{n}\left(x_{0}\right)-\underline{f}_{n}\left(x_{0}\right)<2 \varepsilon$$, что и требовалось доказать. $$\blacksquare$$

Список литературы

1. Точилин П. А. Лекции по функциональному анализу, 2021г.

2. Моисеев Е. И. Лекции по функциональному анализу, 2021г.

3. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М: Наука, 1965.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.