Решения ОДУ в смысле Каратеодори: различия между версиями
Maksim (обсуждение | вклад) |
Maksim (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 5: | Строка 5: | ||
Рассмотрим систему ДУ: | Рассмотрим систему ДУ: | ||
<math>\dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).</math> | <math>\dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).</math> | ||
| − | Мы хотим понять в каком смысле понимать траекторию этой системы | + | Мы хотим понять в каком смысле понимать траекторию этой системы <math>x(\cdot)</math>, если управление $u(\cdot)$ измеримая функция. |
Введем обозначение | Введем обозначение | ||
$$ g(t,x) = f(t, x, u(t)).$$ | $$ g(t,x) = f(t, x, u(t)).$$ | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
== Условия Каратеодори == | == Условия Каратеодори == | ||
| − | Пусть <math>\mathbb{R}^n</math> \exists a > 0, r > 0 | + | Пусть <math>(t_0, x^0)\mathbb{R} \times \mathbb{R}^n </math> и <math>\exists a > 0, r > 0</math> такие, что: |
| + | |||
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
\item Пусть g(t,x) определена для $\forall x \in B_r(x_0)$ и почти всех $\forall t \in [t_0-a,t_0+a];$ | \item Пусть g(t,x) определена для $\forall x \in B_r(x_0)$ и почти всех $\forall t \in [t_0-a,t_0+a];$ | ||
| Строка 18: | Строка 22: | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
Эти три условия и называются условиями Каратеодори. | Эти три условия и называются условиями Каратеодори. | ||
| − | # Александр | + | # Александр Бабаев |
Версия 03:56, 29 ноября 2021
В дрызг и брызг рванула осень запоздалою жарой
Рассмотрим систему ДУ\[\dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).\] Мы хотим понять в каком смысле понимать траекторию этой системы \(x(\cdot)\), если управление $u(\cdot)$ измеримая функция. Введем обозначение $$ g(t,x) = f(t, x, u(t)).$$
Условия Каратеодори
Пусть \((t_0, x^0)\mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \) и \(\exists a > 0, r > 0\) такие, что:
\begin{enumerate} \item Пусть g(t,x) определена для $\forall x \in B_r(x_0)$ и почти всех $\forall t \in [t_0-a,t_0+a];$ \item g(t,x) измерима по $t$ для всех $\forall x \in B_r(x_0)$, g(t,x) непрерывна по $x$ для почти всех $\dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];$ \item $\exists m(\cdot)$ - интегрируема по Лебегу при $t \in t[t_0-a, t_0+a]$ такая, что '"`UNIQ-MathJax2-QINU`"' \end{enumerate} Эти три условия и называются условиями Каратеодори.
- Александр Бабаев
