Мера Лебега

Внешняя мера

Определение внешней меры

Пусть \(S\) — полукольцо с заданной на нём \(\sigma\)-аддитивной мерой \(\mu\). Пусть \(K(S)\) — наименьшее кольцо, порождённое данным полукольцом \(S\). Рассмотрим продолжение \( \mu \) на кольцо \( K(S) \), а впоследствии — на алгебру/\(\sigma\)-алгебру. Для этого вспомним теоремы из курса функционального анализа:

Теорема (о продолжении меры с полукольца на кольцо)

Пусть \(\mu\) - мера на полукольце. Тогда \(\exists !~ \mu^*\) - мера на кольце \(K(S):~\forall x\in S:~ \mu(x) = \mu^*(x)\). Более того, если \(\mu~\sigma\)-аддитивна на \(S\), то \(\mu^*~\sigma\)-аддитивна на \(K(S)\).

Теорема (Каратеодори о продолжении меры с кольца на \(\sigma\)-кольцо)

Пусть \(\mathcal{R}\) — кольцо подмножеств множества \(\Omega\) с мерой \(\mu : \mathcal{R}\to [0,+\infty]\), а \(\sigma(\mathcal{R})\) — σ-кольцо, порождённое \(\mathcal{R}\). Теорема Каратеодори утверждает, что существует мера \(\mu' : \sigma(\mathcal{R}) \to [0,+\infty]\), являющаяся продолжением меры \(\mu\), т.е \(\forall x\in \mathcal{R}: ~ \mu(x) = \mu'(x)\). Кроме того, если мера \(\mu\) σ-конечна, то такое продолжение \(\mu'\) единственно и также σ-конечно.

Для упрощения будем обозначать продолжение меры на кольцо/алгебру/\(\sigma\)-алгебру так же \(\mu\).

Определение: Внешней мерой множества \(A\) будем называть величину: \[ \mu^*(A) = \inf\left\{\sum_{i=1}^{\infty}\mu(B_i) ~:~ A \subseteq \bigcup_{i=1}^{\infty} B_i;~ B_i \in K(S)\right\}. \]

В основном, нас будет интересовать случай, когда \( A \notin K(S) \), поскольку в обратном случае значение внешней меры находится тривиально.

Свойства внешней меры

• (Монотонность): \(E_1 \subseteq E_2 \Rightarrow \mu^*(E_1) \leqslant \mu^*(E_2).\)
• (Счётная полуаддитивность): \(E = \bigcup\limits_{k=1}^\infty E_k \Rightarrow \mu^*(E) \leqslant \sum\limits_{k=1}^\infty \mu^*(E_k).\)

Внутренняя мера

Внутренней мерой множества \(A\) называется \[\mu_*(A)=\mu(A)-\mu^*(X\setminus A)~(X \in K(S); ~ A\subseteq X).\]

Мера Лебега

Множество \(A\) называется измеримым по Лебегу, если: \[ \forall \varepsilon > 0 ~ \exists B \in K(S):~ \mu^*(A \triangle B) < \varepsilon.\] Мерой Лебега \(\mu_L\) измеримого по Лебегу множества A называется его внешняя мера.

Критерий измеримости

Множество \(A\) измеримо по Лебегу тогда и только тогда, когда его внутренняя мера равна внешней, т.е.: \[ \mu^*(A) = \mu_*(A).\]

Свойства меры Лебега

1) Неотрицательность: Мера Лебега любого измеримого множества неотрицательна\[ \forall A: \exists \mu_L(A) \Rightarrow ~ \mu_L(A) \geqslant 0. \] Данное свойство следует из неотрицательности внешней меры.

2) Нулевая мера: Если множество A имеет нулевую меру (т.е. \(\mu_L(A) = 0.\)), то оно называется множеством нулевой меры.

3) Счётная полуаддитивность: Для любого конечного или счетного набора множеств \(A_1, A_2, A_3, \ldots \) мера Лебега их объединения не превосходит суммы мер каждого множества по отдельности. Формально\[ \mu_L(\bigcup A_i) \leqslant \sum\limits_i \mu_L(A_i).\]

Данное свойство следует из аналогичного свойства внешней меры.

4) Счётная аддитивность: Если множества \(A_1, A_2, A_3, \ldots \) попарно не пересекаются, то мера Лебега их объединения равна сумме мер каждого множества по отдельности. Формально\[\forall i \neq j: ~ A_i\cap A_j = \varnothing \Rightarrow \mu(\cup_{i=1}^{\infty} A_i) = \sum\limits_{i=1}^{\infty} \mu(A_i). \]

5) Полнота: Пусть \(\mu_L(A)=0\). Тогда: \[\forall B \subseteq A:~ \mu_L(B)=0.\]

Пример неизмеримого множества

Пример неизмеримого по Лебегу множества построил Дж. Витали в 1905 году. Рассмотрим следующее отношение эквивалентности \(\sim\) на отрезке \([0, 1]\)\[x \sim y\] если разность \(x - y\) рациональна. Далее, из каждого класса эквивалентности выберем по одному представителю — одной точке (здесь мы пользуемся аксиомой выбора). Тогда полученное множество \(E\) представителей будет неизмеримым.

Действительно, если сдвинуть \(E\) счётное число раз на все рациональные числа в интервале \([-1, 1]\), то объединение будет содержать весь отрезок \([0, 1]\), но при этом оно будет содержаться в отрезке \([-1, 2]\). При этом «сдвинутые копии» множества \(E\) не будут пересекаться друг с другом, что непосредственно следует из построения \(\sim\) и \(E\).

Следовательно, с учётом счётной аддитивности меры Лебега,

\[1 = \mu\big([0; 1]\big) \leqslant \mu\bigg(\bigcup_{n=1}^\infty E_n\bigg) = \sum_{n=1}^\infty \mu(E_n) \leqslant \mu\big([-1; 2]\big) = 3.\]

Однако, если построенное множество \(E\) измеримо, это невозможно: все \(\mu(E_n) = \mu(E)\) в силу свойства инвариантности меры Лебега (мера множества не меняется при сдвиге), а значит, сумма ряда \[\sum_{n=1}^\infty \mu(E_n)\] либо бесконечна (если \(\mu(E) > 0\)), либо равна нулю (если \(\mu(E) = 0\)); третьего не дано.

В обоих случаях получаем противоречие, и значит множество \(E\) неизмеримо; то есть функция меры на \(E\) не распространяется.

Заметим, что построение этого примера неизмеримого множества на отрезке было бы невозможно без принятия аксиомы выбора (нельзя было бы выбрать по представителю в каждом классе эквивалентности).

Измеримые множества в \(\mathbb{R}^n\)

Множество всех измеримых по Лебегу множеств в \( \mathbb {R} ^{n} \) представляет собой семейство множеств, которое обладает следующими свойствами:

1. Семейство измеримых множеств замкнуто относительно операций разности, симметрической разности, счётного объединения, счётного пересечения и дополнения.

2. Мера Лебега является счётно-аддитивной на этом множестве.

3. Мера Лебега полна, то есть любое множество, внешняя мера которого равна 0, измеримо, и его мера Лебега равна 0.

4. Мера Лебега непрерывна относительно монотонного предельного перехода.

Множество Халмоша

Приведём без доказательства полезную теорему.

Теорема (Множество Халмоша): \[ \exists M \subseteq \mathbb{R}:~ \forall X \subseteq \mathbb{R}: ~ \mu_*(X)=\mu^*(X)>0:\\ \begin{cases} \mu^* (M\bigcap X) = \mu(X), \\ \mu^* (M\bigcup X) = 0. \end{cases} \] Здесь \(\mu\) - мера Лебега на прямой, \(\mu^*, \mu_*\) — соответствующие ей верхняя и нижняя меры.

Построенное таким образом множество используется при доказательстве утверждения о том, что из измеримости по Лебегу не следует измеримость по Борелю. Приведём тезисно план доказательства утверждения:

Пусть \(k(x)\) — "канторова лестница". Рассмотрим \(f(x) = x + k(x)\) на отрезке \([0,1]\). Функция \(f\) непрерывная и строго возрастающая. Найдём меру Лебега множества \(f(C)\), где \(C\) — канторово множество. Оказывается, что она равна единице.

Далее положим \(D = f(C) \bigcap M \), где \(M\) — множество Халмоша. Тогда \(D\) не является измеримым по Лебегу (по критерию измеримости).

Далее рассмотрим множество \(H = f^{-1}(f(C)\bigcap M) \subseteq C\). В силу того, что канторово множество имеет меру нуль, множество \(H\) также имеет меру нуль (из свойства полноты меры Лебега).

Если теперь мы предположим, что \( H\) — борелевское, то \(H\) является суперпозицией интервалов. Значит, в силу того, что непрерывная функция отображает борелевское множество в борелевское множество \(D = f(H)\) — борелевское.

Но \(D\) не является измеримым по Лебегу, а значит, не является измеримым по Борелю. Таким образом, наше исходное предположение о том, что \( H\) — борелевское было неверным.

Значит, из измеримости по Лебегу (а \(H\) — измеримо по Лебегу, т.к. является множеством нулевой меры) не следует измеримость по Борелю. Что и требовалось доказать.

Список литературы

1. Точилин П. А. Семинарские занятия по функциональному анализу, 2021г.

2. Моисеев Е. И. Лекции по функциональному анализу, 2021г.

3. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М: Наука, 1965.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.