Банахово пространство

Определение нормированного пространства

Определение 1. Непустое множество $$L$$ элементов $$x, y, z\dots,$$ называется линейным, или векторным, пространством, если оно удовлетворяет следующим условиям:

Для любых двух элементов $$x, y \in L$$ однозначно определен третий элемент $$z \in L$$, называемый их суммой и обозначаемый $$x + y$$, причем

1. $$ x + y = y + x$$ (коммутативность сложения);
2. $$ x + (y + z) = (x + y) + z$$ (ассоциативность сложения);
3. В $$L$$ существует такой элемент $$0$$, что $$ x + 0 = x$$ для всех $$ x \in L$$ (существование нуля);
4. Для каждого $$ x \in L$$ существует такой элемент $$-x$$, что $$ x + (-x) = 0$$ (существование противоположного элемента).

Для любого числа $$\alpha$$ и любого элемента $$ x \in L$$ определен элемент $$ \alpha x \in L$$ (произведение элемента $$x$$ на число $$\alpha$$), причем

1. $$ \alpha (\beta x) = (\alpha \beta) x$$ (ассоциативность умножения);
2. $$ 1 \cdot x = x $$ (унитарность);
3. $$ (\alpha + \beta) x = \alpha x + \beta x$$ (дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения скаляров);
4. $$ \alpha (x+y) = \alpha x + \alpha y$$ (дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения векторов).

Определение 2. Пусть $$L$$ — линейное пространство. Каждому элементу $$ x$$ линейного пространства $$L$$ ставится в соответствие вещественное число, которое называется нормой этого элемента и обозначается $$\|x\|$$, причем предполагается, что норма элемента удовлетворяет следующим условиям (аксиомам нормы):

1. $$\|x\| \geq 0 $$, причем $$\|x\| = 0 $$, лишь если $$x = 0$$;
2. $$\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\| $$;
3. $$\| \alpha x\| = |\alpha| \|x\|$$.

Определение 3. Линейное пространство $$L$$, в котором задана некоторая норма, называется нормированным пространством.

Всякое нормированное пространство становится метрическим пространством, если ввести в нем расстояние: \begin{equation*} d(x,y) = \|x - y\|. \end{equation*}

Легко проверить, что введенное расстояние удовлетворяет всем аксиомам метрики.

Теорема Рисса (о почти перпендикуляре). Пусть $$L$$ — подпространство линейного нормированного пространства $$E$$, не совпадающее с $$E$$. Тогда для любого заданного $$\varepsilon > 0$$ найдется в $$E$$ такой элемент $$y$$ с нормой, равной единице, что \begin{equation*} \|x - y\| > 1 - \varepsilon \end{equation*} для всех $$x \in L$$.

Определение банахова пространства

Введем аналогичные метрическому пространству понятия для нормированных пространств.

Определение 4. Последовательность $$\left\{x_n\right\}$$ называется сходящейся к пределу $$x \in M$$, если $$ \forall \varepsilon>0 \space \exists N=N(\varepsilon) \in \mathbb{N}: \forall n>N ~~\|x_n - x\|<\varepsilon . $$ Определенная таким образом сходимость называется сходимостью по норме.

Определение 5. Последовательность точек $$\left\{x_n\right\}$$ в нормированном пространстве $$L$$ называется фундаментальной, если $$ \forall \varepsilon>0 \exists N=N(\varepsilon) \in \mathbb{N}: \forall n, m>N \Rightarrow \|x_n - x_m\|<\varepsilon . $$

Определение 6. Нормированное пространство $$L$$ называется полным, если любая фундаментальная последовательность точек этого пространства является сходящейся.

Определение 7. Полное в смысле сходимости по норме линейное нормированное пространство называется банаховым пространством.

Примеры

Так как линейное нормированное пространство является метрическим пространством, то для этого пространства имеют смысл все понятия, введенные в метрических пространствах.

Для банаховых пространств будет справедливым все, что установлено для полных метрических пространств. Рассмотрим примеры банаховых пространств.

Пример 1. Пространство $$\mathbb{R}^n$$ с введенной нормой \begin{equation*} \|x\| = \sqrt{\sum \limits_{i = 1}^{n} x_i^2}, \end{equation*} является банаховым пространством.

Пример 2. Пространство $$C[a, b]$$ с введенной нормой \begin{equation*} \|x\| = \max \limits_{t \in [a,b]} {x(t)}, \end{equation*} является банаховым пространством.

Пример 3. Пространство $$l_p$$ с введенной нормой \begin{equation*} \|x\| = \sqrt[p]{\sum \limits_{i = 1}^{\infty} {|x_i|^p}}, \end{equation*} является банаховым пространством.

Пример 4. Пространство $$L_p[a,b]$$ с введенной нормой \begin{equation*} \|x\| = \sqrt[p]{\int \limits_{a}^{b} {|x(t)|^p dt}}, \end{equation*} является банаховым пространством.

Пример 5. Рассмотрим пространство функций $$x(t)$$, определенных на $$[a,b]$$, непрерывных на этом отрезке и имеющих на нем непрерывные производные до $$k$$-го порядка включительно. Введем в данном пространстве норму: \begin{equation*} \|x\| = \max{(\max \limits_{t \in [a,b]} {x(t)}, \max \limits_{t \in [a,b]} {x^{\prime}(t)}, \dots, \max \limits_{t \in [a,b]} {x^{(k)}(t)})}. \end{equation*} Получим банахово пространство, которое обозначается $$C^{k}[a, b]$$. Это пространство широко используется в вариационном исчислении.

Пример 6. Пространство $$l_{\infty}$$ с введенной нормой \begin{equation*} \|x\| = \underset{i \in \mathbb{N}}{\text{sup}}|x_i|, \end{equation*} является банаховым пространством.

Пример 7. Пространство непрерывных на $$[-1,1]$$ функций с интегральной нормой \begin{equation*} \|x\| = \int \limits_{-1}^{1} {|x(t)| dt}, \end{equation*} не является банаховым пространством. Рассмотрим последовательность \begin{equation*} x_n(t) = \begin{cases} -1, t \in \left[-1, -\frac{1}{n} \right],\\ nt, t \in \left[-\frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right],\\ 1, t \in \left[\frac{1}{n}, 1 \right]. \end{cases} \end{equation*}

Она фундаментальная, так как \begin{equation*} \|x_{n+p}(t) - x_n(t)\| = \int \limits_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} {|x_{n+p}(t) - x_n(t)| dt} \leq 2 \int \limits_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} {dt} = \frac{4}{n} \rightarrow 0. \end{equation*}

Эта последовательность сходится к функции \begin{equation*} x(t) = \begin{cases} -1, t \in [-1,0),\\ 0, t = 0,\\ 1, t \in (0,1]. \end{cases} \end{equation*} которая является разрывной. Следовательно, пространство не является банаховым.

Линейные операторы

Определение 8. Пусть $$X, Y$$ — линейные пространства. Оператор $$A: X \rightarrow Y$$ называется линейным, если $$\forall x, z \in X, \lambda \in \mathbb{R}$$:

1. \( A(x+z) = Ax + Az. \)
2. \( A(\lambda x) = \lambda Ax. \)

Определение 9. Оператор $$A: X \rightarrow Y$$ называется непрерывным, если \begin{equation*} \forall {x_n}, x \in X, x_n \rightarrow x_0 \Rightarrow Ax_n \rightarrow Ax_0 \end{equation*} или \begin{equation*} \forall \varepsilon > 0 \space \exists \delta (\varepsilon): \|x-x_0\|_X < \delta \Rightarrow \|Ax-Ax_0\|_Y < \varepsilon. \end{equation*}

Определение 10. Оператор $$A: X \rightarrow Y$$ называется ограниченным, если \begin{equation*} \exists M = \text{const}: \|Ax\|_Y \leq M \|x\|_X \space \forall x \in X. \end{equation*}

Утверждение. Линейный оператор непрерывен $$\iff$$ он ограничен.

Пусть $$X, Y$$ — линейные нормированные пространства и $$A: X \rightarrow Y$$ и \begin{equation*} D(A) \subset X — \text{область определения} \space A, \end{equation*} \begin{equation*} R(A) \subset Y — \text{область значений} \space A \end{equation*} и \begin{equation*} \forall x \in D(A) \space \exists! y \in R(A): Ax = y. \end{equation*}

Определение 11. Если \begin{equation*} \forall y \in R(A) \space \exists! x \in D(A): Ax = y, \end{equation*} то на $$R(A)$$ задан обратный оператор \begin{equation*} x = A^{-1}y. \end{equation*}

Теорема Банаха об обратном операторе. Пусть $$X,Y$$ — банаховы, $$A: X \rightarrow Y$$ — линейный ограниченный оператор, осуществляющий биективное отображение всего пространства $$X$$ на все пространство $$Y$$.

Тогда существует обратный оператор являющийся ограниченным и отображающий $$Y$$ на $$X$$.

Список литературы

1. Точилин П. А. Лекции по функциональному анализу, 2021г.

2. Моисеев Е. И. Лекции по функциональному анализу, 2021г.

3. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М: Наука, 1965.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.