Банахово пространство: различия между версиями
Maxim22 (обсуждение | вклад) |
Maxim22 (обсуждение | вклад) |
||
(не показано 5 промежуточных версий этого же участника) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
== Определение нормированного пространства == | == Определение нормированного пространства == | ||
− | '''Определение 1''' | + | '''Определение 1'''. Непустое множество $$L$$ элементов $$x, y, z\dots,$$ называется '''линейным''', или '''векторным''', '''пространством''', если оно удовлетворяет следующим условиям: |
− | Для любых двух элементов $$x, y \in L$$ однозначно определен третий элемент $$z \in L$$, называемый их | + | Для любых двух элементов $$x, y \in L$$ однозначно определен третий элемент $$z \in L$$, называемый их ''суммой'' и обозначаемый $$x + y$$, причем |
− | # $$ x + y = y + x$$ ( | + | # $$ x + y = y + x$$ (''коммутативность сложения''); |
− | # $$ x + (y + z) = (x + y) + z$$ ( | + | # $$ x + (y + z) = (x + y) + z$$ (''ассоциативность сложения''); |
− | # В $$L$$ существует такой элемент $$0$$, что $$ x + 0 = x$$ для всех $$ x \in L$$ ( | + | # В $$L$$ существует такой элемент $$0$$, что $$ x + 0 = x$$ для всех $$ x \in L$$ (''существование нуля''); |
− | # Для каждого $$ x \in L$$ существует такой элемент $$-x$$, что $$ x + (-x) = 0$$ ( | + | # Для каждого $$ x \in L$$ существует такой элемент $$-x$$, что $$ x + (-x) = 0$$ (''существование противоположного элемента''). |
− | Для любого числа $$\alpha$$ и любого элемента $$ x \in L$$ определен элемент $$ \alpha x \in L$$ ( | + | Для любого числа $$\alpha$$ и любого элемента $$ x \in L$$ определен элемент $$ \alpha x \in L$$ (''произведение'' элемента $$x$$ на число $$\alpha$$), причем |
− | # $$ \alpha (\beta x) = (\alpha \beta) x | + | # $$ \alpha (\beta x) = (\alpha \beta) x$$ (''ассоциативность умножения''); |
− | # $$ 1 \cdot x = x $$ ( | + | # $$ 1 \cdot x = x $$ (''унитарность''); |
− | # $$ (\alpha + \beta) x = \alpha x + \beta x$$ ( | + | # $$ (\alpha + \beta) x = \alpha x + \beta x$$ (''дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения скаляров''); |
− | # $$ \alpha (x+y) = \alpha x + \alpha y$$ ( | + | # $$ \alpha (x+y) = \alpha x + \alpha y$$ (''дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения векторов''). |
− | '''Определение 2''' | + | '''Определение 2'''. Пусть $$L$$ — линейное пространство. Каждому элементу $$ x$$ линейного пространства $$L$$ ставится в соответствие вещественное число, которое называется '''нормой''' этого элемента и обозначается $$\|x\|$$, причем предполагается, что норма элемента удовлетворяет следующим условиям (''аксиомам нормы''): |
# $$\|x\| \geq 0 $$, причем $$\|x\| = 0 $$, лишь если $$x = 0$$; | # $$\|x\| \geq 0 $$, причем $$\|x\| = 0 $$, лишь если $$x = 0$$; | ||
# $$\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\| $$; | # $$\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\| $$; | ||
# $$\| \alpha x\| = |\alpha| \|x\|$$. | # $$\| \alpha x\| = |\alpha| \|x\|$$. | ||
− | '''Определение 3''' | + | '''Определение 3'''. Линейное пространство $$L$$, в котором задана некоторая норма, называется '''нормированным пространством'''. |
Всякое нормированное пространство становится [[Метрическое пространство|метрическим пространством]], если ввести в нем расстояние: | Всякое нормированное пространство становится [[Метрическое пространство|метрическим пространством]], если ввести в нем расстояние: | ||
Строка 28: | Строка 28: | ||
Легко проверить, что введенное расстояние удовлетворяет всем аксиомам метрики. | Легко проверить, что введенное расстояние удовлетворяет всем аксиомам метрики. | ||
+ | |||
+ | '''Теорема Рисса''' (о почти перпендикуляре). Пусть $$L$$ — подпространство линейного нормированного пространства $$E$$, не совпадающее с $$E$$. | ||
+ | Тогда для любого заданного $$\varepsilon > 0$$ найдется в $$E$$ такой элемент $$y$$ с нормой, равной единице, что | ||
+ | \begin{equation*} | ||
+ | \|x - y\| > 1 - \varepsilon | ||
+ | \end{equation*} | ||
+ | для всех $$x \in L$$. | ||
== Определение банахова пространства == | == Определение банахова пространства == | ||
Строка 33: | Строка 40: | ||
Введем аналогичные [[Метрическое пространство|метрическому пространству]] понятия для нормированных пространств. | Введем аналогичные [[Метрическое пространство|метрическому пространству]] понятия для нормированных пространств. | ||
− | '''Определение 4''' | + | '''Определение 4'''. Последовательность $$\left\{x_n\right\}$$ называется '''сходящейся''' к пределу $$x \in M$$, если |
$$ | $$ | ||
− | \forall \varepsilon>0 \exists N=N(\varepsilon) \in \mathbb{N}: \forall n>N ~~\|x_n - x\|<\varepsilon . | + | \forall \varepsilon>0 \space \exists N=N(\varepsilon) \in \mathbb{N}: \forall n>N ~~\|x_n - x\|<\varepsilon . |
$$ | $$ | ||
Определенная таким образом сходимость называется '''сходимостью по норме'''. | Определенная таким образом сходимость называется '''сходимостью по норме'''. | ||
− | '''Определение 5''' | + | '''Определение 5'''. Последовательность точек $$\left\{x_n\right\}$$ в нормированном пространстве $$L$$ называется '''фундаментальной''', если |
$$ | $$ | ||
\forall \varepsilon>0 \exists N=N(\varepsilon) \in \mathbb{N}: \forall n, m>N \Rightarrow \|x_n - x_m\|<\varepsilon . | \forall \varepsilon>0 \exists N=N(\varepsilon) \in \mathbb{N}: \forall n, m>N \Rightarrow \|x_n - x_m\|<\varepsilon . | ||
$$ | $$ | ||
− | '''Определение 6''' | + | '''Определение 6'''. Нормированное пространство $$L$$ называется '''полным''', если любая фундаментальная последовательность точек этого пространства является сходящейся. |
− | '''Определение 7''' | + | '''Определение 7'''. Полное в смысле сходимости по норме линейное нормированное пространство называется '''банаховым пространством'''. |
== Примеры == | == Примеры == | ||
Строка 54: | Строка 61: | ||
Для банаховых пространств будет справедливым все, что установлено для полных метрических пространств. Рассмотрим примеры банаховых пространств. | Для банаховых пространств будет справедливым все, что установлено для полных метрических пространств. Рассмотрим примеры банаховых пространств. | ||
− | '''Пример 1''' | + | '''Пример 1'''. Пространство $$\mathbb{R}^n$$ с введенной нормой |
\begin{equation*} | \begin{equation*} | ||
\|x\| = \sqrt{\sum \limits_{i = 1}^{n} x_i^2}, | \|x\| = \sqrt{\sum \limits_{i = 1}^{n} x_i^2}, | ||
Строка 60: | Строка 67: | ||
является банаховым пространством. | является банаховым пространством. | ||
− | '''Пример 2''' | + | '''Пример 2'''. Пространство $$C[a, b]$$ с введенной нормой |
\begin{equation*} | \begin{equation*} | ||
\|x\| = \max \limits_{t \in [a,b]} {x(t)}, | \|x\| = \max \limits_{t \in [a,b]} {x(t)}, | ||
Строка 66: | Строка 73: | ||
является банаховым пространством. | является банаховым пространством. | ||
− | '''Пример 3''' | + | '''Пример 3'''. Пространство $$l_p$$ с введенной нормой |
\begin{equation*} | \begin{equation*} | ||
\|x\| = \sqrt[p]{\sum \limits_{i = 1}^{\infty} {|x_i|^p}}, | \|x\| = \sqrt[p]{\sum \limits_{i = 1}^{\infty} {|x_i|^p}}, | ||
Строка 72: | Строка 79: | ||
является банаховым пространством. | является банаховым пространством. | ||
− | '''Пример 4''' | + | '''Пример 4'''. Пространство $$L_p[a,b]$$ с введенной нормой |
\begin{equation*} | \begin{equation*} | ||
− | \|x\| = \sqrt[p]{\int \limits_{ | + | \|x\| = \sqrt[p]{\int \limits_{a}^{b} {|x(t)|^p dt}}, |
\end{equation*} | \end{equation*} | ||
является банаховым пространством. | является банаховым пространством. | ||
− | '''Пример 5''' | + | '''Пример 5'''. Рассмотрим пространство функций $$x(t)$$, определенных на $$[a,b]$$, непрерывных на этом отрезке и имеющих на нем непрерывные производные до $$k$$-го порядка включительно. Введем в данном пространстве норму: |
\begin{equation*} | \begin{equation*} | ||
\|x\| = \max{(\max \limits_{t \in [a,b]} {x(t)}, \max \limits_{t \in [a,b]} {x^{\prime}(t)}, \dots, \max \limits_{t \in [a,b]} {x^{(k)}(t)})}. | \|x\| = \max{(\max \limits_{t \in [a,b]} {x(t)}, \max \limits_{t \in [a,b]} {x^{\prime}(t)}, \dots, \max \limits_{t \in [a,b]} {x^{(k)}(t)})}. | ||
Строка 84: | Строка 91: | ||
Получим банахово пространство, которое обозначается $$C^{k}[a, b]$$. Это пространство широко используется в вариационном исчислении. | Получим банахово пространство, которое обозначается $$C^{k}[a, b]$$. Это пространство широко используется в вариационном исчислении. | ||
− | '''Пример 6''' | + | '''Пример 6'''. Пространство $$l_{\infty}$$ с введенной нормой |
\begin{equation*} | \begin{equation*} | ||
\|x\| = \underset{i \in \mathbb{N}}{\text{sup}}|x_i|, | \|x\| = \underset{i \in \mathbb{N}}{\text{sup}}|x_i|, | ||
\end{equation*} | \end{equation*} | ||
является банаховым пространством. | является банаховым пространством. | ||
+ | |||
+ | '''Пример 7'''. Пространство непрерывных на $$[-1,1]$$ функций с интегральной нормой | ||
+ | \begin{equation*} | ||
+ | \|x\| = \int \limits_{-1}^{1} {|x(t)| dt}, | ||
+ | \end{equation*} | ||
+ | не является банаховым пространством. Рассмотрим последовательность | ||
+ | \begin{equation*} | ||
+ | x_n(t) = | ||
+ | \begin{cases} | ||
+ | -1, t \in \left[-1, -\frac{1}{n} \right],\\ | ||
+ | nt, t \in \left[-\frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right],\\ | ||
+ | 1, t \in \left[\frac{1}{n}, 1 \right]. | ||
+ | \end{cases} | ||
+ | \end{equation*} | ||
+ | |||
+ | Она фундаментальная, так как | ||
+ | \begin{equation*} | ||
+ | \|x_{n+p}(t) - x_n(t)\| = \int \limits_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} {|x_{n+p}(t) - x_n(t)| dt} \leq 2 \int \limits_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} {dt} = \frac{4}{n} \rightarrow 0. | ||
+ | \end{equation*} | ||
+ | |||
+ | Эта последовательность сходится к функции | ||
+ | \begin{equation*} | ||
+ | x(t) = | ||
+ | \begin{cases} | ||
+ | -1, t \in [-1,0),\\ | ||
+ | 0, t = 0,\\ | ||
+ | 1, t \in (0,1]. | ||
+ | \end{cases} | ||
+ | \end{equation*} | ||
+ | которая является разрывной. Следовательно, пространство не является банаховым. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | == Линейные операторы == | ||
+ | |||
+ | '''Определение 8'''. Пусть $$X, Y$$ — линейные пространства. Оператор $$A: X \rightarrow Y$$ называется '''линейным''', если $$\forall x, z \in X, \lambda \in \mathbb{R}$$: | ||
+ | #<math> | ||
+ | A(x+z) = Ax + Az. | ||
+ | </math> | ||
+ | #<math> | ||
+ | A(\lambda x) = \lambda Ax. | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | '''Определение 9'''. Оператор $$A: X \rightarrow Y$$ называется '''непрерывным''', если | ||
+ | \begin{equation*} | ||
+ | \forall {x_n}, x \in X, x_n \rightarrow x_0 \Rightarrow Ax_n \rightarrow Ax_0 | ||
+ | \end{equation*} | ||
+ | или | ||
+ | \begin{equation*} | ||
+ | \forall \varepsilon > 0 \space \exists \delta (\varepsilon): \|x-x_0\|_X < \delta \Rightarrow \|Ax-Ax_0\|_Y < \varepsilon. | ||
+ | \end{equation*} | ||
+ | |||
+ | '''Определение 10'''. Оператор $$A: X \rightarrow Y$$ называется '''ограниченным''', если | ||
+ | \begin{equation*} | ||
+ | \exists M = \text{const}: \|Ax\|_Y \leq M \|x\|_X \space \forall x \in X. | ||
+ | \end{equation*} | ||
+ | |||
+ | '''Утверждение'''. Линейный оператор непрерывен $$\iff$$ он ограничен. | ||
+ | |||
+ | Пусть $$X, Y$$ — линейные нормированные пространства и $$A: X \rightarrow Y$$ и | ||
+ | \begin{equation*} | ||
+ | D(A) \subset X — \text{область определения} \space A, | ||
+ | \end{equation*} | ||
+ | \begin{equation*} | ||
+ | R(A) \subset Y — \text{область значений} \space A | ||
+ | \end{equation*} | ||
+ | и | ||
+ | \begin{equation*} | ||
+ | \forall x \in D(A) \space \exists! y \in R(A): Ax = y. | ||
+ | \end{equation*} | ||
+ | |||
+ | '''Определение 11'''. Если | ||
+ | \begin{equation*} | ||
+ | \forall y \in R(A) \space \exists! x \in D(A): Ax = y, | ||
+ | \end{equation*} | ||
+ | то на $$R(A)$$ задан '''обратный''' оператор | ||
+ | \begin{equation*} | ||
+ | x = A^{-1}y. | ||
+ | \end{equation*} | ||
+ | |||
+ | '''Теорема Банаха об обратном операторе'''. Пусть $$X,Y$$ — банаховы, $$A: X \rightarrow Y$$ — линейный ограниченный оператор, осуществляющий биективное отображение | ||
+ | всего пространства $$X$$ на все пространство $$Y$$. | ||
+ | |||
+ | Тогда существует обратный оператор являющийся ограниченным и отображающий $$Y$$ на $$X$$. | ||
== Список литературы == | == Список литературы == |
Текущая версия на 20:16, 22 февраля 2024
Содержание
Определение нормированного пространства
Определение 1. Непустое множество $$L$$ элементов $$x, y, z\dots,$$ называется линейным, или векторным, пространством, если оно удовлетворяет следующим условиям:
Для любых двух элементов $$x, y \in L$$ однозначно определен третий элемент $$z \in L$$, называемый их суммой и обозначаемый $$x + y$$, причем
- $$ x + y = y + x$$ (коммутативность сложения);
- $$ x + (y + z) = (x + y) + z$$ (ассоциативность сложения);
- В $$L$$ существует такой элемент $$0$$, что $$ x + 0 = x$$ для всех $$ x \in L$$ (существование нуля);
- Для каждого $$ x \in L$$ существует такой элемент $$-x$$, что $$ x + (-x) = 0$$ (существование противоположного элемента).
Для любого числа $$\alpha$$ и любого элемента $$ x \in L$$ определен элемент $$ \alpha x \in L$$ (произведение элемента $$x$$ на число $$\alpha$$), причем
- $$ \alpha (\beta x) = (\alpha \beta) x$$ (ассоциативность умножения);
- $$ 1 \cdot x = x $$ (унитарность);
- $$ (\alpha + \beta) x = \alpha x + \beta x$$ (дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения скаляров);
- $$ \alpha (x+y) = \alpha x + \alpha y$$ (дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения векторов).
Определение 2. Пусть $$L$$ — линейное пространство. Каждому элементу $$ x$$ линейного пространства $$L$$ ставится в соответствие вещественное число, которое называется нормой этого элемента и обозначается $$\|x\|$$, причем предполагается, что норма элемента удовлетворяет следующим условиям (аксиомам нормы):
- $$\|x\| \geq 0 $$, причем $$\|x\| = 0 $$, лишь если $$x = 0$$;
- $$\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\| $$;
- $$\| \alpha x\| = |\alpha| \|x\|$$.
Определение 3. Линейное пространство $$L$$, в котором задана некоторая норма, называется нормированным пространством.
Всякое нормированное пространство становится метрическим пространством, если ввести в нем расстояние: \begin{equation*} d(x,y) = \|x - y\|. \end{equation*}
Легко проверить, что введенное расстояние удовлетворяет всем аксиомам метрики.
Теорема Рисса (о почти перпендикуляре). Пусть $$L$$ — подпространство линейного нормированного пространства $$E$$, не совпадающее с $$E$$. Тогда для любого заданного $$\varepsilon > 0$$ найдется в $$E$$ такой элемент $$y$$ с нормой, равной единице, что \begin{equation*} \|x - y\| > 1 - \varepsilon \end{equation*} для всех $$x \in L$$.
Определение банахова пространства
Введем аналогичные метрическому пространству понятия для нормированных пространств.
Определение 4. Последовательность $$\left\{x_n\right\}$$ называется сходящейся к пределу $$x \in M$$, если $$ \forall \varepsilon>0 \space \exists N=N(\varepsilon) \in \mathbb{N}: \forall n>N ~~\|x_n - x\|<\varepsilon . $$ Определенная таким образом сходимость называется сходимостью по норме.
Определение 5. Последовательность точек $$\left\{x_n\right\}$$ в нормированном пространстве $$L$$ называется фундаментальной, если $$ \forall \varepsilon>0 \exists N=N(\varepsilon) \in \mathbb{N}: \forall n, m>N \Rightarrow \|x_n - x_m\|<\varepsilon . $$
Определение 6. Нормированное пространство $$L$$ называется полным, если любая фундаментальная последовательность точек этого пространства является сходящейся.
Определение 7. Полное в смысле сходимости по норме линейное нормированное пространство называется банаховым пространством.
Примеры
Так как линейное нормированное пространство является метрическим пространством, то для этого пространства имеют смысл все понятия, введенные в метрических пространствах.
Для банаховых пространств будет справедливым все, что установлено для полных метрических пространств. Рассмотрим примеры банаховых пространств.
Пример 1. Пространство $$\mathbb{R}^n$$ с введенной нормой \begin{equation*} \|x\| = \sqrt{\sum \limits_{i = 1}^{n} x_i^2}, \end{equation*} является банаховым пространством.
Пример 2. Пространство $$C[a, b]$$ с введенной нормой \begin{equation*} \|x\| = \max \limits_{t \in [a,b]} {x(t)}, \end{equation*} является банаховым пространством.
Пример 3. Пространство $$l_p$$ с введенной нормой \begin{equation*} \|x\| = \sqrt[p]{\sum \limits_{i = 1}^{\infty} {|x_i|^p}}, \end{equation*} является банаховым пространством.
Пример 4. Пространство $$L_p[a,b]$$ с введенной нормой \begin{equation*} \|x\| = \sqrt[p]{\int \limits_{a}^{b} {|x(t)|^p dt}}, \end{equation*} является банаховым пространством.
Пример 5. Рассмотрим пространство функций $$x(t)$$, определенных на $$[a,b]$$, непрерывных на этом отрезке и имеющих на нем непрерывные производные до $$k$$-го порядка включительно. Введем в данном пространстве норму: \begin{equation*} \|x\| = \max{(\max \limits_{t \in [a,b]} {x(t)}, \max \limits_{t \in [a,b]} {x^{\prime}(t)}, \dots, \max \limits_{t \in [a,b]} {x^{(k)}(t)})}. \end{equation*} Получим банахово пространство, которое обозначается $$C^{k}[a, b]$$. Это пространство широко используется в вариационном исчислении.
Пример 6. Пространство $$l_{\infty}$$ с введенной нормой \begin{equation*} \|x\| = \underset{i \in \mathbb{N}}{\text{sup}}|x_i|, \end{equation*} является банаховым пространством.
Пример 7. Пространство непрерывных на $$[-1,1]$$ функций с интегральной нормой \begin{equation*} \|x\| = \int \limits_{-1}^{1} {|x(t)| dt}, \end{equation*} не является банаховым пространством. Рассмотрим последовательность \begin{equation*} x_n(t) = \begin{cases} -1, t \in \left[-1, -\frac{1}{n} \right],\\ nt, t \in \left[-\frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right],\\ 1, t \in \left[\frac{1}{n}, 1 \right]. \end{cases} \end{equation*}
Она фундаментальная, так как \begin{equation*} \|x_{n+p}(t) - x_n(t)\| = \int \limits_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} {|x_{n+p}(t) - x_n(t)| dt} \leq 2 \int \limits_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} {dt} = \frac{4}{n} \rightarrow 0. \end{equation*}
Эта последовательность сходится к функции \begin{equation*} x(t) = \begin{cases} -1, t \in [-1,0),\\ 0, t = 0,\\ 1, t \in (0,1]. \end{cases} \end{equation*} которая является разрывной. Следовательно, пространство не является банаховым.
Линейные операторы
Определение 8. Пусть $$X, Y$$ — линейные пространства. Оператор $$A: X \rightarrow Y$$ называется линейным, если $$\forall x, z \in X, \lambda \in \mathbb{R}$$:
- \( A(x+z) = Ax + Az. \)
- \( A(\lambda x) = \lambda Ax. \)
Определение 9. Оператор $$A: X \rightarrow Y$$ называется непрерывным, если \begin{equation*} \forall {x_n}, x \in X, x_n \rightarrow x_0 \Rightarrow Ax_n \rightarrow Ax_0 \end{equation*} или \begin{equation*} \forall \varepsilon > 0 \space \exists \delta (\varepsilon): \|x-x_0\|_X < \delta \Rightarrow \|Ax-Ax_0\|_Y < \varepsilon. \end{equation*}
Определение 10. Оператор $$A: X \rightarrow Y$$ называется ограниченным, если \begin{equation*} \exists M = \text{const}: \|Ax\|_Y \leq M \|x\|_X \space \forall x \in X. \end{equation*}
Утверждение. Линейный оператор непрерывен $$\iff$$ он ограничен.
Пусть $$X, Y$$ — линейные нормированные пространства и $$A: X \rightarrow Y$$ и \begin{equation*} D(A) \subset X — \text{область определения} \space A, \end{equation*} \begin{equation*} R(A) \subset Y — \text{область значений} \space A \end{equation*} и \begin{equation*} \forall x \in D(A) \space \exists! y \in R(A): Ax = y. \end{equation*}
Определение 11. Если \begin{equation*} \forall y \in R(A) \space \exists! x \in D(A): Ax = y, \end{equation*} то на $$R(A)$$ задан обратный оператор \begin{equation*} x = A^{-1}y. \end{equation*}
Теорема Банаха об обратном операторе. Пусть $$X,Y$$ — банаховы, $$A: X \rightarrow Y$$ — линейный ограниченный оператор, осуществляющий биективное отображение всего пространства $$X$$ на все пространство $$Y$$.
Тогда существует обратный оператор являющийся ограниченным и отображающий $$Y$$ на $$X$$.
Список литературы
1. Точилин П. А. Лекции по функциональному анализу, 2021г.
2. Моисеев Е. И. Лекции по функциональному анализу, 2021г.
3. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М: Наука, 1965.
4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.