Решения ОДУ в смысле Каратеодори: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Maksim (обсуждение | вклад) |
Maksim (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 14: | Строка 14: | ||
Пусть <math>(t_0, x^0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n </math> и <math>\exists a > 0, r > 0</math> такие, что: | Пусть <math>(t_0, x^0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n </math> и <math>\exists a > 0, r > 0</math> такие, что: | ||
| − | # Пусть g(t,x) определена для | + | # Пусть g(t,x) определена для <math>\forall x \in B_r(x_0)</math> и почти всех <math>\forall t \in [t_0-a,t_0+a];</math> |
| − | # g(t,x) измерима по $t$ для всех | + | # <math>g(t,x)</math> измерима по $t$ для всех <math>\forall x \in B_r(x_0)</math>, $g(t,x)$ непрерывна по $x$ для почти всех <math>\dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];</math> |
| − | g(t,x) непрерывна по $x$ для почти всех | + | # <math>\exists m(\cdot)</math> -- интегрируема по Лебегу при <math>t \in t[t_0-a, t_0+a]</math> такая, что |
| − | # | + | <math> ||g(t,x)|| \geq m(t), \forall x \in B_r(x^{0}), \dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];</math> |
| − | |||
Эти три условия и называются условиями Каратеодори. | Эти три условия и называются условиями Каратеодори. | ||
# Александр Бабаев | # Александр Бабаев | ||
Версия 04:04, 29 ноября 2021
В дрызг и брызг рванула осень запоздалою жарой
Рассмотрим систему ДУ\[\dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).\] Мы хотим понять в каком смысле понимать траекторию этой системы \(x(\cdot)\), если управление \(u(\cdot)\) измеримая функция. Введем обозначение $$ g(t,x) = f(t, x, u(t)).$$
Условия Каратеодори
Пусть \((t_0, x^0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \) и \(\exists a > 0, r > 0\) такие, что:
- Пусть g(t,x) определена для \(\forall x \in B_r(x_0)\) и почти всех \(\forall t \in [t_0-a,t_0+a];\)
- \(g(t,x)\) измерима по $t$ для всех \(\forall x \in B_r(x_0)\), $g(t,x)$ непрерывна по $x$ для почти всех \(\dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];\)
- \(\exists m(\cdot)\) -- интегрируема по Лебегу при \(t \in t[t_0-a, t_0+a]\) такая, что
\( ||g(t,x)|| \geq m(t), \forall x \in B_r(x^{0}), \dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];\) Эти три условия и называются условиями Каратеодори.
- Александр Бабаев
