Неограниченная продолжаемость решений ОДУ

Будем рассматривать действительную систему \begin{equation}\label{syst} \frac{dx}{dt} = f(t, x), \end{equation} где \begin{equation*} f(t, x) \in C_{t, x}^{(0, 1)} (\mathcal{I}_t^{+} \times \mathcal{R}_x^n) \Leftrightarrow \begin{cases} f(t, x) \in C_t(\mathcal{I}_t^{+}) \; \forall x \in \mathcal{R}_x^n, \\ f(t, x) \in C_x^1(\mathcal{R}_x^n) \; \forall t \in \mathcal{I}_t^{+}, \end{cases} \end{equation*}

Здесь \begin{equation*} \mathcal{I}_t^{+} = \{ t \ge 0 \}, \\ \mathcal{R}_x^n \subseteq \mathbb{R}^n \end{equation*}

Пусть $$x[t] \equiv x(t; t_0, x_0)$$ - решение (\ref{syst}) с начальным условием \begin{equation}\label{start_cond} x(t_0) = x_0 \end{equation}

Основные понятия

Решение системы (\ref{syst})-(\ref{start_cond}) неограниченно продолжаемо вправо, если $$x(t)$$ имеет смысл на промежутке $$[t_0, +\infty) \forall t_0 \in \mathcal{I}_t^{+}$$