Модель Холлинга

Модель Холлинга

Модель Холлинга-Тэннера «Конкурирующие виды»
\( \begin{cases} \dot x = rx \left( 1 - \dfrac{x}{K} \right) - \dfrac{cxy}{g + x}, \\ \dot y = sy \left( 1 - \dfrac{y}{nx} \right), \end{cases} \)
где \( r,~ s,~ K,~ c,~ g,~ n > 0 \)
\( x \) — численность жертв
\( y \) — численность хищников
\( r \) — коэффициент роста жертв
\( s \) — коэффициент роста хищников
\( K \) — ёмкость среды для жертв
\( c \) — максимальная скорость потребления жертв
\( g \) — коэффициент полунасыщения
\( n \) — коэффициент конверсии биомассы

Анализ устойчивости

Стационарные состояния

Система имеет 4 стационарные точки

1. Полное вымирание \( (0, 0) \) — неустойчиво при \( r > 0 \)
2. Вымирание хищников \( (e, 0) \) — устойчиво при \( s < \frac{c n K}{g + K} \)
3. Сосуществование \( (\tilde x, \tilde y) \), где \( \tilde x = \frac{s g}{c n - s},\ \tilde y = \frac{r}{c} (g + \tilde x) (1 - \frac{\tilde x}{K}) \)

Предельные циклы

При \( s < \dfrac{r}{K} \cdot \dfrac{K - D - 2}{1 + D} \) динамическая система имеет устойчивый предельный цикл. Т.е. все траектории, начинающиеся в окрестности замкнутой кривой спиралевидно будут приближаться к ней при \( t \rightarrow \pm \infty \)

Предельный цикл при \( r = K = c = 1, g = 0.2, s = 0.1, n = \frac{50}{3} \)