Модель Холлинга: различия между версиями
Eugeny24 (обсуждение | вклад) (Новая страница: «== Модель Холлинга == Модель Холлинга «хищник-жертва» <br> <math> \begin{cases} \dot x = r x \left( 1 - \dfrac{x}{K} \ri...») |
Eugeny24 (обсуждение | вклад) |
||
| (не показано 5 промежуточных версий этого же участника) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
== Модель Холлинга == | == Модель Холлинга == | ||
| − | Модель Холлинга | + | Модель Холлинга-Тэннера «Конкурирующие виды» <br> |
<math> \begin{cases} | <math> \begin{cases} | ||
| − | \dot x = | + | \dot x = rx \left( 1 - \dfrac{x}{K} \right) - \dfrac{cxy}{g + x}, \\ |
| − | \dot y = | + | \dot y = sy \left( 1 - \dfrac{y}{nx} \right), |
\end{cases} </math> <br> | \end{cases} </math> <br> | ||
| − | где <math> r, s, K, | + | где <math> r,~ s,~ K,~ c,~ g,~ n > 0 </math> <br> |
| − | <math> x </math> — численность | + | <math> x </math> — численность жертв <br> |
| − | <math> y </math> — численность | + | <math> y </math> — численность хищников <br> |
| − | <math> r </math> — коэффициент | + | <math> r </math> — коэффициент роста жертв <br> |
| − | <math> s </math> — коэффициент | + | <math> s </math> — коэффициент роста хищников <br> |
| − | <math> K </math> — | + | <math> K </math> — ёмкость среды для жертв <br> |
| − | <math> | + | <math> c </math> — максимальная скорость потребления жертв <br> |
| − | <math> | + | <math> g </math> — коэффициент полунасыщения <br> |
| − | <math> | + | <math> n </math> — коэффициент конверсии биомассы <br> |
| − | == | + | == Анализ устойчивости == |
| − | ==== | + | === Стационарные состояния === |
| − | При <math> s < \dfrac{r}{K} \cdot \dfrac{K - D - 2}{1 + D} </math> динамическая система имеет устойчивый предельный цикл. | + | Система имеет 4 стационарные точки |
| + | # Полное вымирание <math> (0, 0) </math> — неустойчиво при <math> r > 0 </math> | ||
| + | # Вымирание хищников <math> (e, 0) </math> — устойчиво при <math> s < \frac{c n K}{g + K} </math> | ||
| + | # Сосуществование <math> (\tilde x, \tilde y) </math>, где <math> \tilde x = \frac{s g}{c n - s},\ \tilde y = \frac{r}{c} \left( g + \tilde x \right) \left( 1 - \frac{\tilde x}{K} \right) </math> | ||
| + | |||
| + | === Предельные циклы === | ||
| + | При <math> s < \dfrac{r}{K} \cdot \dfrac{K - D - 2}{1 + D} </math> динамическая система имеет устойчивый предельный цикл. Т.е. все траектории, начинающиеся в окрестности замкнутой кривой спиралевидно будут приближаться к ней при <math> t \rightarrow \pm \infty </math> <br> | ||
| + | [[Файл:Limit_cycle.png|Предельный цикл при <math> x = 0.5,~ y = 0.3,~ r = K = c = 1,~ g = 0.2,~ s = 0.1,~ n = \frac{50}{3} </math>]] <br> | ||
| + | Предельный цикл при <math> x = 0.5,~ y = 0.3,~ r = K = c = 1,~ g = 0.2,~ s = 0.1,~ n = \frac{50}{3} </math> | ||
Текущая версия на 19:26, 28 февраля 2025
Модель Холлинга
Модель Холлинга-Тэннера «Конкурирующие виды»
\( \begin{cases}
\dot x = rx \left( 1 - \dfrac{x}{K} \right) - \dfrac{cxy}{g + x}, \\
\dot y = sy \left( 1 - \dfrac{y}{nx} \right),
\end{cases} \)
где \( r,~ s,~ K,~ c,~ g,~ n > 0 \)
\( x \) — численность жертв
\( y \) — численность хищников
\( r \) — коэффициент роста жертв
\( s \) — коэффициент роста хищников
\( K \) — ёмкость среды для жертв
\( c \) — максимальная скорость потребления жертв
\( g \) — коэффициент полунасыщения
\( n \) — коэффициент конверсии биомассы
Анализ устойчивости
Стационарные состояния
Система имеет 4 стационарные точки
- Полное вымирание \( (0, 0) \) — неустойчиво при \( r > 0 \)
- Вымирание хищников \( (e, 0) \) — устойчиво при \( s < \frac{c n K}{g + K} \)
- Сосуществование \( (\tilde x, \tilde y) \), где \( \tilde x = \frac{s g}{c n - s},\ \tilde y = \frac{r}{c} \left( g + \tilde x \right) \left( 1 - \frac{\tilde x}{K} \right) \)
Предельные циклы
При \( s < \dfrac{r}{K} \cdot \dfrac{K - D - 2}{1 + D} \) динамическая система имеет устойчивый предельный цикл. Т.е. все траектории, начинающиеся в окрестности замкнутой кривой спиралевидно будут приближаться к ней при \( t \rightarrow \pm \infty \)
Предельный цикл при \( x = 0.5,~ y = 0.3,~ r = K = c = 1,~ g = 0.2,~ s = 0.1,~ n = \frac{50}{3} \)
