Модель Холлинга: различия между версиями
Eugeny24 (обсуждение | вклад) |
Eugeny24 (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 24: | Строка 24: | ||
=== Предельные циклы === | === Предельные циклы === | ||
При <math> s < \dfrac{r}{K} \cdot \dfrac{K - D - 2}{1 + D} </math> динамическая система имеет устойчивый предельный цикл. Т.е. все траектории, начинающиеся в окрестности замкнутой кривой спиралевидно будут приближаться к ней при <math> t \rightarrow \pm \infty </math> <br> | При <math> s < \dfrac{r}{K} \cdot \dfrac{K - D - 2}{1 + D} </math> динамическая система имеет устойчивый предельный цикл. Т.е. все траектории, начинающиеся в окрестности замкнутой кривой спиралевидно будут приближаться к ней при <math> t \rightarrow \pm \infty </math> <br> | ||
| − | [[Файл:Limit_cycle.png| | + | [[Файл:Limit_cycle.png|Предельный цикл при <math> x = 0.5,~ y = 0.3,~ r = K = c = 1,~ g = 0.2,~ s = 0.1,~ n = \frac{50}{3} </math>]] <br> |
| + | Предельный цикл при <math> x = 0.5,~ y = 0.3,~ r = K = c = 1,~ g = 0.2,~ s = 0.1,~ n = \frac{50}{3} </math> | ||
Текущая версия на 19:26, 28 февраля 2025
Модель Холлинга
Модель Холлинга-Тэннера «Конкурирующие виды»
\( \begin{cases}
\dot x = rx \left( 1 - \dfrac{x}{K} \right) - \dfrac{cxy}{g + x}, \\
\dot y = sy \left( 1 - \dfrac{y}{nx} \right),
\end{cases} \)
где \( r,~ s,~ K,~ c,~ g,~ n > 0 \)
\( x \) — численность жертв
\( y \) — численность хищников
\( r \) — коэффициент роста жертв
\( s \) — коэффициент роста хищников
\( K \) — ёмкость среды для жертв
\( c \) — максимальная скорость потребления жертв
\( g \) — коэффициент полунасыщения
\( n \) — коэффициент конверсии биомассы
Анализ устойчивости
Стационарные состояния
Система имеет 4 стационарные точки
- Полное вымирание \( (0, 0) \) — неустойчиво при \( r > 0 \)
- Вымирание хищников \( (e, 0) \) — устойчиво при \( s < \frac{c n K}{g + K} \)
- Сосуществование \( (\tilde x, \tilde y) \), где \( \tilde x = \frac{s g}{c n - s},\ \tilde y = \frac{r}{c} \left( g + \tilde x \right) \left( 1 - \frac{\tilde x}{K} \right) \)
Предельные циклы
При \( s < \dfrac{r}{K} \cdot \dfrac{K - D - 2}{1 + D} \) динамическая система имеет устойчивый предельный цикл. Т.е. все траектории, начинающиеся в окрестности замкнутой кривой спиралевидно будут приближаться к ней при \( t \rightarrow \pm \infty \)
Предельный цикл при \( x = 0.5,~ y = 0.3,~ r = K = c = 1,~ g = 0.2,~ s = 0.1,~ n = \frac{50}{3} \)
