Вращение векторного поля. Индекс Пуанкаре

Рассматривается система:

$$(1) \begin{cases} \dot{x_1} = f_1 (x_1, x_2), \\ \dot{x_2} = f_2 (x_1, x_2). \end{cases}$$

Рис. 1: Вращение векторного поля $$f = (f_1, f_2)$$ вдоль кривой $$\gamma$$ (относительно оси $$Ox = \vec{l}$$).

Вращением векторного поля $$f = (f_1, f_2)$$ вдоль кривой $$\gamma$$ (относительно оси $$Ox = \vec{l}$$) называется деленный на $$2\pi$$ угол между векторным полем $$f = (f_1, f_2)$$ и осью $$\vec{l}$$ вдоль кривой $$\gamma$$, если она проходится в положительном направлении (против часовой стрелки). Обозначим полученный угол между векторным полем $$f = (f_1, f_2)$$ и осью $$\vec{l}$$ за $$\theta$$.

Таким образом,

$$\theta(x_1, x_2) = \arctan \left(\dfrac{f_2(x_1, x_2)}{f_1(x_1, x_2)}\right) + \theta_0,$$

где $$\theta_0$$ определяется в зависимости от направления оси $$\vec{l}$$.

$$\chi_{\gamma} = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{\gamma} d\theta ~-~$$вращение векторного поля вдоль кривой $$\gamma$$.

$$\begin{multline*} d\theta = \dfrac{1}{1+\left(\frac{f_2}{f_1}\right)^2} \cdot d\left(\frac{f_2}{f_1}\right) = \dfrac{f_1^2}{f_1^2+f_2^2} \cdot \dfrac{df_2\cdot f_1 - df_1 \cdot f_2}{f_1^2} =\\ = \dfrac{f_1\left(\frac{\partial f_2}{\partial x_1}\cdot dx_1 + \frac{\partial f_2}{\partial x_2}\cdot dx_2\right) - f_2\left(\frac{\partial f_1}{\partial x_1}\cdot dx_1 + \frac{\partial f_1}{\partial x_2}\cdot dx_2\right)}{f_1^2 + f_2^2}. \end{multline*}$$

Таким образом, вращение векторного поля можно вычислить по формуле:

$$ \chi_{\gamma} = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{\gamma} P(x_1, x_2)dx_1 + Q(x_1, x_2)dx_2, $$

где

$$~ P(x_1, x_2) = \dfrac{f_1\cdot \frac{\partial f_2}{\partial x_1} - f_2 \cdot \frac{\partial f_1}{\partial x_1}}{f_1^2 + f_2^2}, ~~ Q(x_1, x_2) = \dfrac{f_1\cdot \frac{\partial f_2}{\partial x_2} - f_2 \cdot \frac{\partial f_1}{\partial x_2}}{f_1^2 + f_2^2}.$$

Свойства вращения векторного поля:

1. Если $$\gamma = \gamma_1 \cup \gamma_2, ~\gamma_1 \cap \gamma_2 = \{a\} \implies \chi_{\gamma} = \chi_{\gamma_1} + \chi_{\gamma_2}.$$

Доказательство:

Вращение векторного поля определяется как:

$$ \chi_{\gamma} = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{\gamma} d\theta. $$

Рассмотрим интеграл по объединённой кривой:

$$ \int\limits_{\gamma} d\theta = \int\limits_{\gamma_1 \cup \gamma_2} d\theta. $$

Так как $$\gamma_1$$ и $$\gamma_2$$ пересекаются только в точке $$a$$, можно записать:

$$ \int\limits_{\gamma_1 \cup \gamma_2} d\theta = \int\limits_{\gamma_1} d\theta + \int\limits_{\gamma_2} d\theta. $$

Следовательно:

$$ \chi_{\gamma} = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{\gamma} d\theta = \frac{1}{2\pi} \left( \int\limits_{\gamma_1} d\theta + \int\limits_{\gamma_2} d\theta \right) = \chi_{\gamma_1} + \chi_{\gamma_2}. $$

◼

2. Если $$\gamma ~-~$$замкнутая кривая $$\implies ~ \chi_{\gamma} \in \mathbb{Z}$$ (целое число).

Доказательство:

Вращение векторного поля определяется как:

$$ \chi_{\gamma} = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{\gamma} d\theta. $$

Так как кривая замкнута, начальная и конечная точки совпадают. Векторное поле должно вернуться к своему начальному направлению (с точностью до целого числа полных оборотов).

Интеграл от полного дифференциала угла по замкнутому контуру:

$$\int\limits_{\gamma} d\theta = 2\pi \cdot n, \quad n \in \mathbb{Z}. $$

Следовательно:

$$ \chi_{\gamma} = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{\gamma} d\theta = \frac{1}{2\pi} \cdot 2\pi n = n \in \mathbb{Z}. $$

◼

3. Рассмотрим $$\gamma ~-~$$замкнутая кривая, не проходящая через особые точки и допускающая гладкую деформацию (непрерывное и гладкое изменение формы кривой, при котором сохраняются гладкие свойства) $$\implies \chi_{\gamma}$$ остается постоянным при деформации, когда $$\widetilde{\gamma}$$ (деформированная $$\gamma$$) не проходит через особые точки.

Доказательство:

Если бы вращение векторного поля $$\chi_{\gamma_t}$$ изменялось в процессе деформации, это изменение было бы непрерывным по параметру $$t$$.

Но величина $$\chi_{\gamma_t}$$ принимает только целочисленные значения (по предыдущему свойству для замкнутых кривых).

Следовательно, непрерывная и целочисленная функция $$\chi_{\gamma_t}$$ должна оставаться постоянной:

$$ \chi_{\gamma} = \chi_{\gamma_t} = \chi_{\widetilde{\gamma}} \quad \text{для всех } t \in [0,1]. $$

◼

4. Рассмотрим $$\gamma~-~$$замкнутая кривая, внутри области, которую ограничивает $$\gamma$$, нет особых точек системы (1). Тогда $$\chi_{\gamma} = 0$$.

Доказательство:

Для малой окрестности неособой точки справедлива лемма о выпрямлении векторного поля. Тогда существует такая замена переменных, заданная в окрестности неособой точки $$a$$, что в новых переменных система (1) принимает вид:

$$ (3) ~~ \begin{cases} \dot{\widetilde{x_1}} = 0, \\ \dot{\widetilde{x_2}} = 1. \end{cases} \implies \widetilde{x_1} = C_1, \widetilde{x_2} = t+C_2, ~~C_1, C_2 \in \mathbb{R} $$

$$\implies \chi_{\gamma} = 0$$ (вектор поля не может сделать полный оборот, и потому вращение, будучи целым числом, равно нулю).

◼

5. Рассмотрим $$\gamma~-~$$замкнутая траектория системы $$\implies ~ \chi_{\gamma} = 1.$$

Доказательство:

Пусть $$\gamma$$ — замкнутая траектория динамической системы:

$$ \frac{dx}{dt} = F(x) $$

Рассмотрим векторное поле $$F$$ вдоль траектории $$\gamma$$. В каждой точке траектории вектор поля направлен по касательной к $$\gamma$$.

При полном обходе замкнутой траектории вектор поля совершает ровно один полный оборот относительно самой кривой.

Следовательно, изменение угла $$\theta$$ равно $$2\pi$$. Вычисляя вращение, имеем:

$$ \chi_{\gamma} = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{\gamma} d\theta = \frac{1}{2\pi} \cdot 2\pi = 1 $$

◼

6. Внутри замкнутой траектории есть хотя бы одна особая точка.

Доказательство:

От противного: пусть внутри замкнутой траектории $$\gamma$$ нет особых точек векторного поля.

По свойству 3 для замкнутой траектории:

$$ \chi_{\gamma} = 1 $$

С другой стороны, по свойству 4: $$\chi_{\gamma} = 0.$$

Получаем противоречие:

$$ 1 = \chi_{\gamma} = 0 $$

Следовательно, внутри замкнутой траектории должна существовать хотя бы одна особая точка векторного поля.

◼

Индекс Пуанкаре

Рис. 2: Замкнутая кривая $$\gamma$$, содержащая особую точку $$x^*$$

Пусть $$(x_1^*, x_2^*)~-~$$особая точка системы (1). $$ip(x)~-~$$вращение векторного поля вокруг кривой $$\gamma$$, которая ограничивает область, содержащую единственную особую точку.

Это вращение $$ip(x)$$ называется индексом Пуанкаре.

Примеры:

• $$ip(x^*) = 1$$, если $$x^*~-~$$узел, фокус, центр;
• $$ip(x^*) = -1$$, если $$x^*~-~$$седло;
• $$ip(x^*) = \chi_{\gamma}$$, где $$\gamma$$ замкнутая кривая, внутри себя содержащую особую точку $$x^*$$ (см. рис. 2).

7. Пусть внутри области, ограниченной кривой $$\gamma$$, находятся особые точки $$x_1^*, x_2^*, ..., x_n^*$$ (изолированные). Тогда

$$ \chi_{\gamma} = \sum\limits_{i = 1}^{n} ip(x_i^*). $$

Доказательство:

Рис. 3: Иллюстративный рисунок для понимания доказательства

Пусть n = 2:

$$ \begin{cases} \dot{x_1} = a_{11}x_1+a_{12}x_2, \\ \dot{x_2} = a_{21}x_1+a_{22}x_2. \end{cases} $$

Если $$det(A) = 0 \implies$$ особые точки лежат на прямой, т.е. не являются изолированными. Кривую $$\gamma$$ можно задать следующим образом: $$\gamma = \gamma_2 \cup \gamma_3.$$ $$\gamma_1^+ ~-~$$противоложная $$\gamma_1^-$$.

Тогда:

$$ \chi_{\gamma_3\cup\gamma_1^+} = \chi_{\gamma_3}+\chi_{\gamma_1^+} = ip(x_2^*), ~~ \chi_{\gamma_2\cup\gamma_1^-} = \chi_{\gamma_2}+\chi_{\gamma_1^-} = ip(x_1^*). $$

$$ \begin{multline*} \implies \chi_{\gamma} = \chi_{\gamma_2}+\chi_{\gamma_3} = \chi_{\gamma_2} \pm \chi_{\gamma_1^-} + \chi_{\gamma_3} = \\ = \chi_{\gamma_2}+\chi_{\gamma_1^-}+\chi_{\gamma_1^+} + \chi_{\gamma_3} = ip(x_1^*)+ip(x_2^*). \end{multline*} $$

Для n > 2 проводятся аналогичные действия.

◼

8. Пусть $$\gamma~-~$$замкнутая траектория системы (1), в области, ограниченной $$\gamma$$, содержится конечное число особых точек типа узел, фокус, центр, седло. Тогда общее количество особых точек нечетно, а седел на единицу меньше общего числа точек других типов.

Доказательство:

Пусть $$n~-~$$седел, $$m~-~$$фокусов, узлов и центров. Тогда:

$$ \chi_\gamma = 1 = \sum\limits_{i=1}^{n+m}ip(x_i^*) = (-1)\cdot n + 1\cdot m = m - n \implies $$

$$ \implies m-n-1 = 0 \implies n = m-1. $$

Таким образом, получили, что общее количество точек $$n+m = 2m-1~-~$$нечетно, а седел ($$n$$) на единицу меньше общего числа других точек ($$m$$).

◼

Литература:

1. Абрамова В.В. Лекции по курсу "Динамические системы и биоматематика", 2025.

2. Мышкис А. Д. "Вращение плоского векторного поля", 1997.