Вращение векторного поля. Индекс Пуанкаре

Вращение векторного поля

Рассматривается система:

$$(1) \begin{cases} \dot{x_1} = f_1 (x_1, x_2), \\ \dot{x_2} = f_2 (x_1, x_2). \end{cases}$$

Рис. 1: Вращение векторного поля $$f = (f_1, f_2)$$ вдоль кривой $$\gamma$$ (относительно оси $$Ox = \vec{l}$$).

Вращением векторного поля $$f = (f_1, f_2)$$ вдоль кривой $$\gamma$$ (относительно оси $$Ox = \vec{l}$$) называется приращение угла, деленного на $$2\pi$$, между векторным полем $$f = (f_1, f_2)$$ и осью $$\vec{l}$$ вдоль кривой $$\gamma$$, если она проходится в положительном направлении (против часовой стрелки). Обозначим угол между векторным полем $$f = (f_1, f_2)$$ и осью $$\vec{l}$$ за $$\theta$$.

Таким образом,

$$\theta(x_1, x_2) = \arctan \left(\dfrac{f_2(x_1, x_2)}{f_1(x_1, x_2)}\right) + \theta_0,$$

где $$\theta_0$$ определяется в зависимости от направления оси $$\vec{l}$$.

$$\chi_{\gamma} = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{\gamma} d\theta ~-~$$вращение векторного поля вдоль кривой $$\gamma$$.

$$\begin{multline*} d\theta = \dfrac{1}{1+\left(\frac{f_2}{f_1}\right)^2} \cdot d\left(\frac{f_2}{f_1}\right) = \dfrac{f_1^2}{f_1^2+f_2^2} \cdot \dfrac{df_2\cdot f_1 - df_1 \cdot f_2}{f_1^2} =\\ = \dfrac{f_1\left(\frac{\partial f_2}{\partial x_1}\cdot dx_1 + \frac{\partial f_2}{\partial x_2}\cdot dx_2\right) - f_2\left(\frac{\partial f_1}{\partial x_1}\cdot dx_1 + \frac{\partial f_1}{\partial x_2}\cdot dx_2\right)}{f_1^2 + f_2^2}. \end{multline*}$$

Таким образом, вращение векторного поля можно вычислить по формуле:

$$ \chi_{\gamma} = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{\gamma} P(x_1, x_2)dx_1 + Q(x_1, x_2)dx_2, $$

где

$$~ P(x_1, x_2) = \dfrac{f_1\cdot \frac{\partial f_2}{\partial x_1} - f_2 \cdot \frac{\partial f_1}{\partial x_1}}{f_1^2 + f_2^2}, ~~ Q(x_1, x_2) = \dfrac{f_1\cdot \frac{\partial f_2}{\partial x_2} - f_2 \cdot \frac{\partial f_1}{\partial x_2}}{f_1^2 + f_2^2}.$$

Свойства вращения векторного поля

1. Если $$\gamma = \gamma_1 \cup \gamma_2, ~\gamma_1 \cap \gamma_2 = \{a\} \implies \chi_{\gamma} = \chi_{\gamma_1} + \chi_{\gamma_2}.$$

Доказательство:

Вращение векторного поля определяется как:

$$ \chi_{\gamma} = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{\gamma} d\theta. $$

Рассмотрим интеграл по объединённой кривой:

$$ \int\limits_{\gamma} d\theta = \int\limits_{\gamma_1 \cup \gamma_2} d\theta. $$

Так как $$\gamma_1$$ и $$\gamma_2$$ пересекаются только в точке $$a$$, можно записать:

$$ \int\limits_{\gamma_1 \cup \gamma_2} d\theta = \int\limits_{\gamma_1} d\theta + \int\limits_{\gamma_2} d\theta. $$

Следовательно:

$$ \chi_{\gamma} = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{\gamma} d\theta = \frac{1}{2\pi} \left( \int\limits_{\gamma_1} d\theta + \int\limits_{\gamma_2} d\theta \right) = \chi_{\gamma_1} + \chi_{\gamma_2}. $$

◼

2. Если $$\gamma ~-~$$замкнутая кривая $$\implies ~ \chi_{\gamma} \in \mathbb{Z}$$ (целое число).

Доказательство:

Вращение векторного поля определяется как:

$$ \chi_{\gamma} = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{\gamma} d\theta. $$

Так как кривая замкнута, начальная и конечная точки совпадают. Векторное поле должно вернуться к своему начальному направлению (с точностью до целого числа полных оборотов).

Интеграл от полного дифференциала угла по замкнутому контуру:

$$\int\limits_{\gamma} d\theta = 2\pi \cdot n, \quad n \in \mathbb{Z}. $$

Следовательно:

$$ \chi_{\gamma} = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{\gamma} d\theta = \frac{1}{2\pi} \cdot 2\pi n = n \in \mathbb{Z}. $$

◼

3. Рассмотрим $$\gamma ~-~$$замкнутую кривую, удовлетворяющую следующим условиям:

• Кривая $$\gamma$$ не проходит через особые точки системы (1).
• Кривая $$\gamma$$ допускает гладкую деформацию (непрерывное и гладкое изменение формы кривой, при котором сохраняются гладкие свойства).

Тогда $$\chi_{\gamma}$$ остается постоянным при деформации, когда $$\widetilde{\gamma}$$ (деформированная $$\gamma$$) не проходит через особые точки.

Доказательство:

Если бы вращение векторного поля $$\chi_{\gamma_t}$$ изменялось в процессе деформации, это изменение было бы непрерывным по параметру $$t$$.

Но величина $$\chi_{\gamma_t}$$ принимает только целочисленные значения (по предыдущему свойству для замкнутых кривых).

Следовательно, непрерывная и целочисленная функция $$\chi_{\gamma_t}$$ должна оставаться постоянной:

$$ \chi_{\gamma} = \chi_{\gamma_t} = \chi_{\widetilde{\gamma}} \quad \text{для всех } t \in \mathbb{R}. $$

◼

4. Рассмотрим $$\gamma~-~$$замкнутую кривую, внутри области, которую ограничивает $$\gamma$$, нет особых точек системы (1). Тогда $$\chi_{\gamma} = 0$$.

Доказательство:

Для малой окрестности неособой точки справедлива $$\href{https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Матрица_Якоби._Лемма_о_выпрямлении_векторного_поля#.D0.9B.D0.B5.D0.BC.D0.BC.D0.B0_.D0.BE_.D0.B2.D1.8B.D0.BF.D1.80.D1.8F.D0.BC.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B8_.D0.B2.D0.B5.D0.BA.D1.82.D0.BE.D1.80.D0.BD.D0.BE.D0.B3.D0.BE_.D0.BF.D0.BE.D0.BB.D1.8F} {\textit{лемма о выпрямлении векторного поля}}$$.

Пусть $$\widetilde{\gamma}~-~$$кривая, ограничивающая малую окрестность неособой точки $$a$$. Тогда существует такая замена переменных, заданная в окрестности неособой точки $$a$$, что в новых переменных система (1) принимает вид:

$$ (3) ~~ \begin{cases} \dot{\widetilde{x_1}} = 0, \\ \dot{\widetilde{x_2}} = 1. \end{cases} \implies \widetilde{x_1} = C_1, \widetilde{x_2} = t+C_2, ~~C_1, C_2 \in \mathbb{R}. $$

$$\implies \chi_{\widetilde{\gamma}} = 0$$ (вектор поля не может сделать полный оборот, и потому вращение, будучи целым числом, равно нулю).

Стоит отметить, что деформации позволяют от окрестности неособой точки перейти к множеству большего объема, сохранив вращение (свойство 3).

А значит, $$~\chi_{\gamma} = \chi_{\widetilde{\gamma}} = 0.$$

◼

5. Пусть $$\gamma~-~$$замкнутая траектория системы $$\implies ~ \chi_{\gamma} = 1.$$

Доказательство:

Пусть $$\gamma$$ — замкнутая траектория динамической системы:

$$ \frac{dx}{dt} = F(x) .$$

Рассмотрим векторное поле $$F$$ вдоль траектории $$\gamma$$. В каждой точке траектории вектор поля направлен по касательной к $$\gamma$$.

При полном обходе замкнутой траектории вектор поля совершает ровно один полный оборот относительно самой кривой.

Следовательно, изменение угла $$\theta$$ равно $$2\pi$$. Вычисляя вращение, имеем:

$$ \chi_{\gamma} = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{\gamma} d\theta = \frac{1}{2\pi} \cdot 2\pi = 1 .$$

◼

6. Внутри замкнутой траектории есть хотя бы одна особая точка.

Доказательство:

От противного: пусть внутри замкнутой траектории $$\gamma$$ нет особых точек векторного поля.

По свойству 3 для замкнутой траектории:

$$ \chi_{\gamma} = 1 .$$

С другой стороны, по свойству 4: $$\chi_{\gamma} = 0.$$

Получаем противоречие:

$$ 1 = \chi_{\gamma} = 0 .$$

Следовательно, внутри замкнутой траектории должна существовать хотя бы одна особая точка векторного поля.

◼

---

Рис. 2: Замкнутая кривая $$\gamma$$, содержащая особую точку $$x^*$$

Индекс Пуанкаре

Пусть $$(x_1^*, x_2^*)~-~$$особая точка системы (1). $$ip(x)~-~$$вращение векторного поля вокруг кривой $$\gamma$$, которая ограничивает область, содержащую единственную особую точку.

Это вращение $$ip(x)$$ называется индексом Пуанкаре.

Справедливо равенство:

$$ip(x^*) = \chi_{\gamma}$$

(см. рис. 2).

Примеры:

• $$ip(x^*) = 1$$, если $$x^*~-~$$узел, фокус, центр;
• $$ip(x^*) = -1$$, если $$x^*~-~$$седло.

---

Рис. 3: Иллюстративный рисунок для понимания доказательства свойства 7

7. Пусть внутри области, ограниченной кривой $$\gamma$$, находятся особые точки $$x_1^*, x_2^*, ..., x_n^*$$ (изолированные). Тогда

$$ \chi_{\gamma} = \sum\limits_{i = 1}^{n} ip(x_i^*). $$

Доказательство:

Пусть n = 2:

$$ \begin{cases} \dot{x_1} = a_{11}x_1+a_{12}x_2, \\ \dot{x_2} = a_{21}x_1+a_{22}x_2. \end{cases} $$

Если $$det(A) = 0 \implies$$ особые точки лежат на прямой, т.е. являются неизолированными. Далее рассматриваются только изолированные особые точки, так как для неизолированных (например, лежащих на прямой или кривой особых точек) понятие индекса Пуанкаре теряет смысл$$~-~$$нельзя построить замкнутую кривую, которая содержала бы ровно одну такую точку.

Кривую $$\gamma$$ можно задать следующим образом: $$\gamma = \gamma_2 \cup \gamma_3.$$ $$\gamma_1^+ ~-~$$противоложная $$\gamma_1^-$$.

Тогда:

$$ \chi_{\gamma_3\cup\gamma_1^+} = \chi_{\gamma_3}+\chi_{\gamma_1^+} = ip(x_2^*), ~~ \chi_{\gamma_2\cup\gamma_1^-} = \chi_{\gamma_2}+\chi_{\gamma_1^-} = ip(x_1^*). $$

$$ \implies \chi_{\gamma} = \chi_{\gamma_2}+\chi_{\gamma_3} = \chi_{\gamma_2} \pm \chi_{\gamma_1^-} + \chi_{\gamma_3} = \chi_{\gamma_2}+\chi_{\gamma_1^-}+\chi_{\gamma_1^+} + \chi_{\gamma_3} = ip(x_1^*)+ip(x_2^*). $$

Для n > 2 проводятся аналогичные действия.

◼

8. Пусть $$\gamma~-~$$замкнутая траектория системы (1), в области, ограниченной $$\gamma$$, содержится конечное число особых точек типа узел, фокус, центр, седло. Тогда общее количество особых точек нечетно, а седел на единицу меньше общего числа точек других типов.

Доказательство:

Пусть $$n~-~$$седел, $$m~-~$$фокусов, узлов и центров. Тогда:

$$ \chi_\gamma = 1 = \sum\limits_{i=1}^{n+m}ip(x_i^*) = (-1)\cdot n + 1\cdot m = m - n \implies $$

$$ \implies m-n-1 = 0 \implies n = m-1. $$

Таким образом, получили, что общее количество точек $$n+m = 2m-1~-~$$нечетно, а седел ($$n$$) на единицу меньше общего числа других точек ($$m$$).

◼

Список литературы

1. Абрамова В.В. Лекции по курсу "Динамические системы и биоматематика", 2025.

2. Мышкис А. Д. "Вращение плоского векторного поля", 1997.