Теорема Хана-Банаха и её следствия

Формулировка и доказательство

Теорема (Хана-Банаха в линейном вещественном пространстве) Пусть $$X$$ -- вещественное линейное пространство, $$L \subset X$$ -- его линейное подпространство. Пусть также $$p(x)$$ ~--~ положительно-однородный выпуклый функционал на $$X,\ f(x)$$ ~--~ линейный вещественный функционал на $$L$$ и выполнено неравенство \begin{equation*} f(x) \leqslant p(x),\ \forall x \in L. \end{equation*}

Тогда существует $$f^*(x)$$ ~--~ линейный вещественный функционал на $$X$$ такой, что \begin{equation*} \begin{cases} f^*(x) = f(x),\ \forall x \in L,\\ f^*(x) \leqslant p(x),\ \forall x \in X. \end{cases} \end{equation*}

Доказательство проведем для случая сепарабельного пространства. В случае несепарабельного пространства доказательство можно найти в <<ссылка на Колмогоров-Фомин>>. Сначала докажем лемму.

Лемма (об элементарном продолжении) Пусть в условиях теоремы Хана-Банаха $L$ является собственным подпространством $$X$$ и $$x \not\in L.$$ Пусть $$L_1$$ ~--~ линейное многообразие всевозможных элементов вида $$y+tx,\ y\in L,\ t\in \mathbb{R}.$$ Тогда существует линейный вещественный функционал $$f^*(x)$$ на $$L_1$$ такой, что \begin{equation*} \begin{cases} f^*(x) = f(x),\ \forall x \in L,\\ f^*(x) \leqslant p(x),\ \forall x \in L_1. \end{cases} \end{equation*} \end{lemma}

Доказательство Пусть $$f^*$$ ~--~ искомое продолжение функционала. Тогда \begin{equation*} f^*(y + tx) = f^*(y) + tf^*(x). \end{equation*}

Положим $$f^*(x)= c.$$ Тогда равенство переписывается в виде \begin{equation} \label{eq1} f^*(y+tx) = f^*(y)+tc. \end{equation}

Выберем $$c$$ таким образом, чтобы неравенство \begin{equation*} f^*(y) + tc \leqslant p(y + tx) \end{equation*} выполнялось для всех $$y \in L,\ t\in \mathbb{R}.$$

При $$t > 0$$ оно равносильно следующему \begin{equation*} c \leqslant p\left(\frac{y}{t}+x\right) - f^*\left(\frac{y}{t}\right). \end{equation*}

При $$t < 0:$$ \begin{equation*} c \geqslant -p\left(-\frac{y}{t}+x\right) - f^*\left(\frac{y}{t}\right). \end{equation*}

Рассмотрим $$y'$$ и $$y''$$ ~--~ произвольные элементы $$L.$$ Тогда \begin{equation*} f(y'') - f(y') \leqslant p(y''-y') = p((y''+x)-(y'+x)) \leqslant p(y''+x) + p(-y' - x) \Longleftrightarrow -f(y'') + p(y'' + x) \geqslant -f(y') - p(-y'-x). \end{equation*}

Положим $$ c'' = \inf_{y''}(-f(y'') + p(y'' + x)),\ c'=\sup_{y'}(-f(y') - p(-y'-x)). $$

В силу произвольности $$y'$$ и $$y''$$ выполнено неравенство $$c'' \geqslant c'.$$ Выберем $$c'' \geqslant c \geqslant c'$$ и определим $$f^*$$ в соответствии с формулой \eqref{eq1}. Очевидно, он удовлетворяет требованиям леммы.

Теперь воспользуемся сепарабельностью пространства $$X.$$ Выберем систему элементов $$\{x_n\}_{n=1}^\infty,$$ порождающую $$X.$$ Тогда функционал $$f^*$$ строим по индукции, рассматривая возрастающую цепочку подпространств $$L^{(1)} = \{L,x_1\},\ L^{(2)}=\{L^{(1)},x_2\}, \dots$$ Здесь $$\{L^{(k),x_{k+1}}\}$$ ~--~ минимальное линейное подпространство в $$X,$$ содержащее $$L$$ и $$x.$$ Таким образом, будет построено продолжение $$f^*$$ функционала $$f$$ на все пространство $$X$$ с сохранением неравенства. $$~~\blacksquare$$

Формулировка в нормированном пространстве

Теорема (Хана-Банаха в нормированном пространстве) Пусть $$X$$ ~--~ вещественное нормированное пространство, $$Y \subset X$$ ~--~ его линейное подпространство. Пусть $$f$$ ~--~ ограниченный линейный функционал на $$Y.$$ Тогда этот функционал может быть продлен до некоторого линейного функционала $$f^*$$ на всем пространстве $$X$$ так, что \[ ||f^*||_{\text{на }X}=||f||_{\text{на }L}. \] \end{Theorem}

Доказательство Пусть $$||f||_{\text{на }L} = k.$$ Функционал $$p(x)=k||x||$$ является положительно-однородным и выпуклым. Применяя теорему Хана-Банаха для линейных вещественных пространств, получим требуемое. $$~~\blacksquare$$

В данной формулировке теорема допускает следующую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим уравнение $$f(x) = 1.$$ Оно определяет в подпространстве $$L$$ гиперплоскость, лежащую на расстоянии $$\frac{1}{||f||}$$ от нуля. Продолжая $$f$$ без увеличения нормы до функционала $$f^*$$ на всем $$X,$$ мы проводим через эту <<частичную>> гиперплоскость <<большую>> гиперплоскость во всем $$X,$$ находящуюся на не меньшем расстоянии от нуля.

Приведем также комплексный аналог теоремы Хана-Банаха. В <<ссылка на Треногина>> он называется теоремой Сухомлинова.

Теорема (Сухомлинова)

   Пусть $$X$$ ~--~ комплексное нормированное пространство, $$L$$ ~--~ его линейное подпространство. Пусть $$f$$ ~--~ линейный ограниченный функционал, определенный на $$L.$$ Тогда существует $$f^*$$ ~--~ линейный ограниченный функционал на $$X$$ такой, что

\[ \begin{cases} f^*(x) = f(x),\ \forall x \in L\\ ||f^*||_{\text{на X}}=||f||_{\text{на L}}. \end{cases} \]

Следствия

Теорема (об отделимости множеств)

   Пусть $$A,\ B$$ - непустые выпуклые подмножества $$X$$, $$intA \not= \emptyset$ и $$intA \cap intB = \emptyset.$$ Тогда множества $$A$$ и $$B$$ можно отделить.

Доказательство для конечномерного случая можно найти на [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Отделимость_множеств этой странице].

'''Теорема (об аннуляторе)'''
    Пусть $$L \subset X$$ - собственное подпространство нормированного пространства $$X.$$ Тогда существует ненулевой непрерывный линейный функционал $$f,$$ равный нулю на $$L.$$

'''Доказательство'''
    Пусть $$x_0 \not\in L,\ f$$ - непрерывный линейный функционал, [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Отделимость_множеств строго разделяющий] $$x_0$$ и $$L:$$
    \[
        f(x_0) > \sup_{x\in L}f(x).
    \]
    Если $$\exists x\in L:f(x) \not=0,$$ то супремум в правой части равен $$+\infty.$$ Значит, $$f(x) \equiv 0, \forall x \in L.$$
$$~~\blacksquare$$

'''Теорема'''
    Пусть $$x_0 \in X$$ - ненулевой элемент в нормированном пространстве $$X.$$ Тогда существует такой непрерывный линейный функционал $$f$$, что
    \[
    ||f||=1,\ f(x_0) = ||x_0||.
    \]

'''Доказательство'''
    Пусть $$f_0(\alpha x_0) = \alpha ||x_0||, \forall \alpha \in \mathbb{R}.$$ Этот функционал определен на подпространстве $$L = \{x\in X\mid \exists \alpha \in \mathbb{R}:\ x = \alpha x_0\}.$$ Применяя теорему Хана-Банаха, получим требуемый функционал, поскольку $$||f|| \leqslant ||f_0|| = 1, ||f(x_0)||=||x_0|| \implies ||f|| = 1.$$
$$~~\blacksquare$$

Список литературы

1. Колмогоров A.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. 7-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
2. Треногин В.А. Функциональный анализ: учебник. 3-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.
3. Треногин В.А., Писаревский Б.М., Соболева Т.С. Задачи и упражнения по функциональному анализу, 1984.
4. Точилин П.А. Семинары по функциональному анализу, 2024.