Теорема Хана-Банаха и её следствия

Формулировка и доказательство

Определение. Линейным вещественным функционалом называется линейный оператор, действующий из некоторого вещественного линейного пространства $$X$$ во множество действительных чисел.

Теорема (Хана-Банаха в линейном вещественном пространстве). Пусть $$X$$ — вещественное линейное пространство, $$L \subset X$$ — его линейное подпространство. Пусть также $$p(x)$$ — положительно-однородный $$(p(\alpha x) = \alpha p(x), \forall \alpha > 0, \forall x)$$ выпуклый функционал на $$X,\ f(x)$$ — линейный вещественный функционал на $$L$$ и выполнено неравенство \begin{equation*} f(x) \leqslant p(x),\ \forall x \in L. \end{equation*}

Тогда существует $$f^*(x)$$ — линейный вещественный функционал на $$X$$ такой, что \begin{equation*} \begin{cases} f^*(x) = f(x),\ \forall x \in L,\\ f^*(x) \leqslant p(x),\ \forall x \in X. \end{cases} \end{equation*}

Доказательство проведем в предположении существования счётной системы элементов $$\{x_n\}_{n=1}^{+\infty}$$, порождающей пространство $$X.$$ В случае отсутствия такой системы доказательство можно найти в [1]. Сначала докажем лемму.

Лемма (об элементарном продолжении). Пусть в условиях теоремы Хана-Банаха $$L$$ является собственным подпространством $$X$$ и $$x \not\in L.$$ Пусть $$L_1$$ — линейное подпространство всевозможных элементов вида $$y+tx,\ y\in L,\ t\in \mathbb{R}.$$ Тогда существует линейный вещественный функционал $$f^*(x)$$ на $$L_1$$ такой, что \begin{equation*} \begin{cases} f^*(x) = f(x),\ \forall x \in L,\\ f^*(x) \leqslant p(x),\ \forall x \in L_1. \end{cases} \end{equation*}

Доказательство. Пусть $$f^*$$ — искомое продолжение функционала. Тогда \begin{equation*} f^*(y + tx) = f^*(y) + tf^*(x). \end{equation*}

Положим $$f^*(x)= c.$$ Тогда равенство переписывается в виде \begin{equation} \label{eq1} f^*(y+tx) = f^*(y)+tc. \end{equation}

Выберем $$c$$ таким образом, чтобы неравенство \begin{equation*} f^*(y) + tc \leqslant p(y + tx) \end{equation*} выполнялось для всех $$y \in L,\ t\in \mathbb{R}.$$

При $$t > 0$$ оно равносильно следующему \begin{equation*} c \leqslant p\left(\frac{y}{t}+x\right) - f^*\left(\frac{y}{t}\right). \end{equation*}

При $$t < 0:$$ \begin{equation*} c \geqslant -p\left(-\frac{y}{t}-x\right) - f^*\left(\frac{y}{t}\right). \end{equation*}

Рассмотрим $$y'$$ и $$y''$$ — произвольные элементы $$L.$$ Тогда \begin{equation*} f(y'') - f(y') \leqslant p(y''-y') = p((y''+x)-(y'+x)) \underset{p - \text{выпуклый}}{\leqslant} p(y''+x) + p(-y' - x) \Longleftrightarrow -f(y'') + p(y'' + x) \geqslant -f(y') - p(-y'-x). \end{equation*}

Положим $$ c'' = \underset{y''}{\inf}(-f(y'') + p(y'' + x)),\ c'=\underset{y'}{\sup}(-f(y') - p(-y'-x)). $$

В силу произвольности $$y'$$ и $$y''$$ выполнено неравенство $$c'' \geqslant c'.$$ Выберем $$c \in [c',\ c'']$$ и определим $$f^*$$ в соответствии с формулой \eqref{eq1}. Очевидно, он удовлетворяет требованиям леммы. Лемма доказана.

Рассмотрим систему элементов $$\{x_n\}_{n=1}^\infty,$$ порождающую $$X.$$ Функционал $$f^*$$ будем строить по индукции с помощью доказанной леммы, рассматривая неубывающую цепочку подпространств $$L^{(1)} = \{L,x_1\},\ L^{(2)}=\{L^{(1)},x_2\}, \dots$$ Здесь $$\{L^{(k)},x_{k+1}\}$$ — минимальное линейное подпространство в $$X,$$ содержащее $$L^{(k)}$$ и $$x_{k+1}.$$ Таким образом, будет построено продолжение $$f^*$$ функционала $$f$$ на все пространство $$X$$ с сохранением неравенства. $$~~\blacksquare$$

Формулировка в нормированном пространстве

Теорема (Хана-Банаха в нормированном пространстве). Пусть $$X$$ — вещественное нормированное пространство, $$Y \subset X$$ — его линейное подпространство. Пусть $$f$$ — ограниченный линейный функционал на $$Y.$$ Тогда этот функционал может быть продлен до некоторого линейного функционала $$f^*$$ на всем пространстве $$X$$ так, что \[ ||f^*||_{\text{на }X}=||f||_{\text{на }L}. \]

Здесь $$||f^*||_{\text{на } M} = \underset{x \in M,\ x \not= 0}{\sup}\dfrac{|f^*(x)|}{||x||_M},$$ где $$M$$ — линейное нормированное пространство.

Доказательство. Пусть $$||f||_{\text{на }L} = k.$$ Функционал $$p(x)=k||x||$$ является положительно-однородным и выпуклым. Применяя теорему Хана-Банаха для линейных вещественных пространств, получим требуемое. $$~~\blacksquare$$

В данной формулировке теорема допускает следующую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим уравнение $$f(x) = 1.$$ Оно определяет в подпространстве $$L$$ гиперплоскость, лежащую на расстоянии $$\frac{1}{||f||}$$ от нуля. Продолжая $$f$$ без увеличения нормы до функционала $$f^*$$ на всем $$X,$$ мы проводим через эту "частичную" гиперплоскость "большую" гиперплоскость во всем $$X,$$ находящуюся на не меньшем расстоянии от нуля.

Приведем также комплексный аналог теоремы Хана-Банаха. В [2] он называется теоремой Сухомлинова.

Теорема (Сухомлинова). Пусть $$X$$ — комплексное нормированное пространство, $$L$$ — его комплексно-линейное (т.е. коэффициенты при проверке принадлежности линейной комбинации подпространству должны быть комплексными) подпространство. Пусть $$f$$ — линейный ограниченный функционал, определенный на $$L.$$ Тогда существует $$f^*$$ — линейный ограниченный функционал на $$X$$ такой, что \[ \begin{cases} f^*(x) = f(x),\ \forall x \in L\\ ||f^*||_{\text{на } X}=||f||_{\text{на } L} \end{cases}. \]

Доказательство этой теоремы можно найти в [2].

Следствия

Теорема (об отделимости множеств). Пусть $$A,\ B$$ — непустые выпуклые подмножества $$X$$, $$intA \not= \emptyset$$ и $$intA \cap intB = \emptyset.$$ Тогда множества $$A$$ и $$B$$ можно отделить.

Доказательство для конечномерного случая можно найти на этой странице.

Теорема (об аннуляторе). Пусть $$L \subset X$$ — собственное подпространство нормированного пространства $$X.$$ Тогда существует ненулевой непрерывный линейный функционал $$f,$$ определенный на $$X$$ и равный нулю на $$L.$$

Доказательство. Пусть $$x_0 \not\in L,\ f$$ — непрерывный линейный функционал, строго разделяющий $$x_0$$ и $$L:$$ \[ f(x_0) > \sup_{x\in L}f(x). \] Если $$\exists x\in L:f(x) \not=0,$$ то супремум в правой части равен $$+\infty.$$ Значит, $$f(x) \equiv 0, \forall x \in L.$$ $$~~\blacksquare$$

Теорема. Пусть $$x_0 \in X$$ — ненулевой элемент в нормированном пространстве $$X.$$ Тогда существует такой непрерывный линейный функционал $$f$$, что \[ ||f||=1,\ f(x_0) = ||x_0||. \]

Доказательство. Пусть $$f_0(\alpha x_0) = \alpha ||x_0||, \forall \alpha \in \mathbb{R}.$$ Этот функционал определен на подпространстве $$L = \{x\in X\mid \exists \alpha \in \mathbb{R}:\ x = \alpha x_0\}.$$ Применяя теорему Хана-Банаха, получим требуемый функционал, поскольку $$||f|| \leqslant ||f_0|| = 1, ||f(x_0)||=||x_0|| \implies ||f|| = 1.$$ $$~~\blacksquare$$

Список литературы

1. Колмогоров A.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. 7-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
2. Треногин В.А. Функциональный анализ: учебник. 3-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.
3. Треногин В.А., Писаревский Б.М., Соболева Т.С. Задачи и упражнения по функциональному анализу, 1984.
4. Точилин П.А. Семинары по функциональному анализу, 2024.