Неограниченная продолжаемость решений ОДУ

Будем рассматривать действительную систему \begin{equation}\label{syst} \frac{dx}{dt} = f(t, x), \end{equation} где \begin{equation*} f(t, x) \in C_{t, x}^{(0, 1)} (\mathcal{I}_t^{+} \times \mathcal{R}_x^n) \Leftrightarrow \begin{cases} f(t, x) \in C_t(\mathcal{I}_t^{+}) \; \forall x \in \mathcal{R}_x^n, \\ f(t, x) \in C_x^1(\mathcal{R}_x^n) \; \forall t \in \mathcal{I}_t^{+}, \end{cases} \end{equation*}

Здесь \begin{equation*} \mathcal{I}_t^{+} = \{ t \ge 0 \}, \\ \mathcal{R}_x^n \subseteq \mathbb{R}^n \end{equation*}

Пусть $$x[t] \equiv x(t; t_0, x_0)$$ - решение (\ref{syst}) с начальным условием \begin{equation}\label{start_cond} x(t_0) = x_0 \end{equation}

Основные понятия

Если $$x[t]$$ - решение системы (\ref{syst})-(\ref{start_cond}), то

1. $$x[t]$$ неограниченно продолжаемо вправо (defined in the future), если $$x[t]$$ имеет смысл на промежутке $$[t_0, +\infty), \ t_0 \in \mathcal{I}_t^{+}$$,
2. $$x[t]$$ имеет конечное время определения (finite escape time), если $$x[t]$$ определено лишь на конечном промежутке $$t_0 \le t < T < +\infty, \ t_0 \in \mathcal{I}_t^{+}$$.

Непродолжаемость вправо решения, имеющего конечное время определения

Лемма

Если решение $$x[t]$$ имеет конечное время определения $$t_0 \le t < T < +\infty$$, то $$\|x(t)\| \rightarrow +\infty \ при \ t \rightarrow T - 0$$.

Доказательство. Пусть $$\|x(t)\| \nrightarrow +\infty \ при \ t \rightarrow T - 0$$. Тогда $$\exists \ t_k \rightarrow T - 0: x(t_k) \rightarrow y \neq \infty \ при \ k \to +\infty $$. Рассмотрим решение $$y[t] \equiv y(t; T, y)$$, которое существует и единственно согласно теореме Коши и определено в некотором интервале $$(T - \alpha, T + \alpha), \ \alpha > 0$$. Тогда при $$t_k > T - \frac{\alpha}{4}$$ имеем \begin{equation*} x(t; t_k, x(t_k)) \equiv x(t; t_0, x_0), \\ y(t; t_k, y(t_k)) \equiv y(t; T, y). \end{equation*}

Т.к. $$x[t_k]$$ может быть выбрано сколь угодно близко к $$y$$ и $$t_k \to T$$, то при достаточно большом $$k$$ точки $$x[t_k], y[t_k]$$ сколько угодно близки между собой. А тогда на основании свойства интегральной непрерывности получим, что решение $$x(t; t_0, x_0)$$ определено, во всяком случае, на промежутке $$(t_k, t_k + \frac{\alpha}{2}) \supset (T, T + \frac{\alpha}{4})$$. А это противоречит максимальности промежутка $$[t_0, T)$$ существования решения $$x(t)$$ при $$t \ge t_0$$. Таким образом, $$\| x[t] \| \to +\infty$$ при $$t \to T - 0$$.

Следствие. Если решение $$x[t] \equiv x(t; t_0, x_0)$$ ограничено в своём максимальном промежутке существования $$t_0 \le t < t_0 + T$$, то оно бесконечно продолжаемо вправо, т.е. $$T = +\infty$$.