Теорема А.А. Фельдбаума о числе переключений

Постановка задачи

Закон движения объекта записывается в виде линейной системы дифференциальных уравнений: \begin{equation} \frac{dx}{dt} = Ax + Bu, \end{equation} где $$A$$ — матрица коэффициентов, имеющая все действительные собственные значения.
Будем рассматривать задачу быстродействия, то есть задачу о минимизации времени перехода: \[t_1 - t_0 = \int\limits_{t_0}^{t_1}dt.\]
Множество допустимых управлений $$U$$ представляет собой параллелепипед, определенный неравенствами: \begin{equation} \alpha_i \leq u_i \leq \beta_i, i = 1, ..., m. \end{equation}
Сопряженная система уравнений записывается следующим образом: \begin{equation} \frac{d\psi}{dt} = -A^{T}\psi. \end{equation} На основании принципа максимума можно заключить, что если $$u(t)$$ — оптимальное управление, переводящее точку $$x_0(t)$$ в точку $$x_k(t)$$, то существует такое решение $$\psi(t)$$ вспомогательной системы $$(3)$$, что: \begin{equation} (\psi(t), Bu(t)) = M(\psi(t)), \end{equation} где $$M(\psi, x) = \sup\limits_{u \in U} \mathscr{H}(\psi, x, u).$$

Теорема А.А.Фельдбаума о числе переключений

Определение.
Точку разрыва оптимального управления называют точкой переключения.

Формулировка теоремы.
Пусть множество допустимых управлений $$U$$ представляет собой параллелепипед, определенный неравенствами $$(2)$$, и все собственные значения матрицы $$A$$ действительны. Тогда для каждого ненулевого решения $$\psi(t)$$ уравнений $$(3)$$ соотношение $$(4)$$ однозначно определяет управление $$u(t) = (u_1(t), ..., u_m(t)).$$ При этом каждая из функций $$u_k (k = 1, ..., m)$$ кусочно-постоянна, принимает только значения $$\alpha_k$$ и $$\beta_k$$ и имеет не более $$(n - 1)$$ переключений (не более $$n$$ интервалов постоянства), где $$n$$ — порядок системы уравнений $$(1)$$.

Доказательство.
Запишем функцию $$(\psi(t), Bu)$$ в виде: \[ (\psi(t), Bu) = \sum\limits_{j = 1}^n \sum\limits_{i = 1}^m \psi_jb_{ji}u_i = \sum\limits_{i = 1}^m \left(\sum\limits_{j = 1}^n \psi_jb_{ji}u_i\right). \]
Эта функция достигает максимума при условии, что каждое из слагаемых: \[ \sum\limits_{j = 1}^n \psi_jb_{ji}u_i ,\, i = 1, ..., m, \] принимает максимальное значение. Следовательно, \[ u_i = \begin{cases} \alpha_i, & \text{если} \sum\limits_{j = 1}^m \psi_jb_{ji} < 0,\\ \beta_i, & \text{если} \sum\limits_{j = 1}^m \psi_jb_{ji} > 0. \end{cases} \] Таким образом, точками переключения для управления $$u_t$$ будут те значения $$t$$, при которых $$\sum\limits_{j = 1}^m \psi_jb_{ji} = 0.$$
Если известно решение линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами, то каждая из функций $$\psi_1(t), ..., \psi_n(t)$$ записывается в виде: \[ f_1(t)e^{\lambda_1t} + f_2(t)e^{\lambda_2t} + ... + f_n(t)e^{\lambda_nt}, \] где $$\lambda_1, ..., \lambda_n$$ — попарно различные собственные значения матрицы $$A^T$$; $$f_1(t), ..., f_n(t)$$ — многочлены, степень которых на единицу меньше кратности соответствующих собственных чисел.
Все числа $$\lambda_1, ..., \lambda_r$$ действительны, так как по условию все собственные значения матрицы $$A$$, а, следовательно, и матрицы $$A^T$$ действительны. Обозначим через $$\nu_i$$ кратность собственного значения $$\lambda_i$$, тогда степень многочлена $$f_i(t)$$ не превышает числа $$\nu_i - 1$$. Поэтому по вспомогательной лемме число действительных корней функции $$\sum\limits_{j = 1}^m \psi_jb_{ji}$$ не превышает: \[ (\nu_1 - 1) + (\nu_2 - 1) + ... + (\nu_r - 1) + r - 1 = \nu_1 + ... + \nu_r - 1 = n - 1. \] Таким образом, теорема доказана. $$\blacksquare$$

Вспомогательная лемма

Пусть $$\lambda_1, ..., \lambda_r$$ — действительные попарно различные числа; $$f_1(t), ..., f_n(t)$$ — многочлены с действительными коэффициентами, имеющими степени соответственно $$\nu_1, \nu_2, ..., \nu_r.$$ Тогда функция \begin{equation} f_1(t)e^{\lambda_1t} + f_2(t)e^{\lambda_2t} + ... + f_n(t)e^{\lambda_nt} \end{equation} имеет не более $$ \nu_1 + ... + \nu_r + r - 1 $$ действительных корней.

Доказательство.
При $$r = 1$$ лемма справедлива, так как функция $$f_1(t)e^{\lambda_1t}$$ имеет не более $$\nu_1$$ действительных корней. Пусть лемма справедлива для $$(m - 1)$$ слагаемых, докажем ее для $$m$$ слагаемых.
Предположим, что лемма неверна, тогда функция имеет, по крайней мере, $$\nu_1 + ... + \nu_r + m$$ действительных корней. Умножим функцию $$(5)$$ на $$e^{-\lambda_rt}$$, что не меняет числа ее корней, тогда: \[ f_1(t)e^{(\lambda_1 - \lambda_r)t} + ... + f_{r - 1}(t)e^{(\lambda_{r - 1} - \lambda_r)t} + f_r(t). \] Эта функция также имеет не менее $$\nu_1 + ... + \nu_r + m$$ действительных корней. $$(\nu_{r + 1})$$-ая производная этой функции имеет не менее \begin{equation} (\nu_1 + ... + \nu_r + m) - (\nu_r + 1) = \nu_1 + ... + \nu_{r - 1} + (m - 1) \end{equation} действительных корней. Легко получить $$(\nu_{r + 1})$$-ую производную в виде: \begin{equation} g_1(t)e^{(\lambda_1 - \lambda_r)t} + ... + g_{r - 1}(t)e^{(\lambda_{r - 1} - \lambda_r)t}, \end{equation} где числа $$\lambda_1 - \lambda_r, ..., \lambda_{r - 1} - \lambda_r$$ попарно различны, а степени многочленов $$g_i(t)$$ соответственно равны $$\nu_i$$. По индукции функция $$(7)$$ имеет не более $$\nu_1 + ... + \nu_{r - 1} + (r - 1) - 1$$ действительных корней, что противоречит $$(6)$$. Следовательно, лемма справедлива. $$\blacksquare$$