Преобразование Лапласа

Преобразование Лапласа — интегральное преобразование, связывающее функцию $F(p)$ комплексного переменного (изображение) с функцией $f(t)$ вещественного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения. Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Так, свёртка двух функций сводится в пространстве изображений к операции умножения, а линейные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими.

Определение

Прямое преобразование

Преобразованием Лапласа действительнозначной функции $f(t)$ называется функция $F(p)$ комплексной переменной такая, что

$$\begin{equation}\label{intLapl} \boxed{F(p) = \int\limits^{+\infty}_0 f(t) e^{-pt} dt, \quad p=\mu+i \lambda \in \mathbb{C}.} \end{equation}$$

Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.

Для преобразования Лапласа используется обозначение $f(t) \supset F(t)$.

Выясним, при каких условиях существует интеграл Лапласа для заданной функции $f(t)$. Будем рассматривать функцию $f_\mu(t) = e^{-\mu t} f(t)$, $\mu \in \mathbb{R}$. Пусть существуют константы $A$, $\mu_0$ такие, что $|f(t)| \le Ae^{\mu_0 t}$ $\forall t\ge T$. Тогда для любого $\mu > \mu_0$ $\exists \int\limits_0^{+\infty} |e^{-\mu t} f(t)|dt < \infty$. Поставим в соответствие функции $f_\mu(t)$ функцию $F_\mu(t)$, определяемую как прямое преобразование Фурье функции $f_\mu(t)$: $$F_\mu(t) = \int\limits_0^{+\infty} f_\mu(t) e^{-i\lambda t} dt = \int\limits_0^{+\infty} f(t) e^{-\mu t} e^{-i\lambda t} dt = \left\{\text{обозначим } p = \mu + i\lambda\in \mathbb{C}\right\} = \int\limits_0^{+\infty} f(t) e^{-pt} dt \equiv F(p).$$ Получаем следующие достаточные условия существования прямого преобразования Лапласа:

1. Функция $f$ растёт не быстрее показательной функции, т.е.
   $$\begin{equation}\label{growth_cond} \exists A, \mu_0 \text{ такие, что } |f(t)|\le Ae^{\mu_0 t} \quad \forall t\ge T.\end{equation}$$
   
2. Интеграл $\int\limits_0^{+\infty}|f(t)| dt$ существует и конечен.

Обратное преобразование

Будем рассматривать физически реализуемую функцию $\chi(t)f_\mu(t)$, где функция $\chi(t)$ — функция Хевисайда: $$\chi(t) = \left\{\begin{align*} 1,\ &t\ge0,\\ 0,\ &t<0. \end{align*}\right.$$

В этом случае $t$ может иметь смысл времени, поэтому получаем, что функция $f(t)\chi(t)$ задана только на положительной полуоси $t\ge0$.

Рассмотрим обратное преобразование Фурье от функции $F_\mu(\omega)$: $$f(t) e^{-\mu t} \chi(t) = f_\mu(t) \chi(t) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} F_\mu(\lambda) e^{i\lambda t} d\lambda = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} F(p) e^{i\lambda t} d\lambda.$$

Сделаем замену $p = \mu + i\lambda$. Тогда $d\lambda = \frac{dp}{i}$, а верхний и нижний пределы интегрирования равны: $\lambda = +\infty \Rightarrow p = \mu + i\infty$, $\lambda = -\infty \Rightarrow p = \mu - i\infty$. Получаем:

$$f(t) e^{-\mu t} \chi(t) = \frac{1}{2\pi i} e^{-\mu t} \int\limits_{\mu-i\infty}^{\mu+i\infty} F(p) e^{pt} dp \quad \forall \mu > \tilde{\mu}.$$

Домножив обе части равенства на $e^{\mu t}$, окончательно получим формулу обратного преобразования Лапласа:

$$\begin{equation}\label{Mellins_formula} \boxed{f(t)\chi(t) = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_{\mu-i\infty}^{\mu+i\infty} F(p)e^{pt} dp.} \end{equation}$$

Правая часть этого выражения называется формулой Меллина.

Теорема об области существовании изображения

Область существования изображения.

Для всякого оригинала $f(t)$ изображение по Лапласу $F(p)$ определено в полуплоскости $\mathrm{Re} p > \mu_0$ и является в этой области аналитической функцией.

Доказательство. Докажем, сначала, что интеграл Лапласа $\eqref{intLapl}$ сходится абсолютно в области $\mathrm{Re} p = \mu > \mu_0$. Наименьшее такое число $\mu_0$ называют \textit{абсциссой сходимости} преобразования Лапласа.

В силу общего признака сравнения и условия роста $\eqref{growth_cond}$ получаем, что

$$\left|\int\limits_0^{+\infty} f(t) e^{pt} dt\right| \le \int\limits_0^{+\infty} |f(t)| e^{-\mu t} dt < A \int\limits_0^{+\infty} e^{-(\mu-\mu_0)t} dt.$$

Итак, для $\mu>\mu_0$: $$\begin{equation}\label{int_bounds} \left| \int\limits_0^{+\infty} f(t) e^{-pt} dt \right| < \frac{A}{\mu-\mu_0}, \end{equation}$$ то есть интеграл Лапласа сходится абсолютно.

Докажем теперь существование производной несобственного интеграла $\eqref{intLapl}$ по параметру $p$. Для этого убедимся в равномерной сходимости в области $\mathrm{Re}\,p \ge \mu_1$ (для любого $\mu_1 > \mu_0$) интеграла $$F'(p) = J(p) = \int\limits_0^{+\infty} (-t) f(t) e^{(\mu + i\omega)t} dt.$$

Выберем произвольное положительное действительное число $\mu_1$ такое, что $\mathrm{Re}\,p \ge \mu_1 > \mu_0$. Тогда, в соответствии с признаком Вейерштрасса равномерной сходимости получаем, что

$$|J(p)| \le \int\limits_0^{+\infty} t |f(t)| e^{-\mu_1 t} dt < A\int\limits_0^{+\infty} t e^{-(\mu_1-\mu_0)t} dt = \frac{A}{(\mu_1-\mu_0)^2} < \infty,$$

что и доказывает возможность дифференцирования интеграла $\eqref{intLapl}$ по параметру $p$ в области $\mathrm{Re}\,p \ge \mu_1 > \mu_0$. В силу произвольности выбора $\mu_1$ мы доказали аналитичность изображения в области $\mathrm{Re}\,p > \mu_0$. $\blacksquare$

Замечание. Из неравенства $\eqref{int_bounds}$ вытекает, что $\lim\limits_{\mu \to +\infty} F(p) = 0$. Отсюда следует, что изображение $F(p)\to 0$ при $p \to \infty$, оставаясь внутри угла $-\frac{\pi}{2} + \delta < \arg p < \frac{\pi}{2} - \delta$, где $\delta$ — сколь угодно малое положительное число.

Элементарные преобразования

Будем обозначать за $F(p),\ G(p)$ изображение по Лапласу функций $f(t),\ g(t)$. Выпишем таблицу основных преобразований:

$f(t)$	$F(t)$
$$\chi(t)$$	$$\frac{1}{p}$$
$$\chi(t) e^{\beta t}$$	$$\frac{1}{p-\beta}$$
$$\chi(t) g(t)e^{\beta t}$$	$$G(p-\beta)$$
$$\chi(t) g(t)e^{-\beta t}$$	$$G(p+\beta)$$
$$\chi(t) t^\alpha e^{\beta t}$$	$$\frac{\Gamma(\alpha + 1)}{(p-\beta)^{\alpha + 1}}$$
$$\chi(t) t^n, n\in\mathbb{N}$$	$$\frac{n!}{p^{n+1}}$$
$$\chi(t) t^\alpha, \alpha\in\mathbb{R}$$	$$\frac{\Gamma(\alpha+1)}{p^{\alpha+1}}$$
$$\chi(t) \sin \beta t$$	$$\frac{\beta}{p^2+\beta^2}$$
$$\chi(t) \cos \beta t$$	$$\frac{p}{p^2+\beta^2}$$
$$\chi(t) t^\alpha \sin \beta t$$	$$\frac{\Gamma(\alpha + 1)}{2i}\left( \frac{1}{(p-i\beta)^{\alpha + 1}} - \frac{1}{(p + i\beta)^{\alpha+1}} \right)$$
$$\chi(t) t^\alpha \cos \beta t$$	$$\frac{\Gamma(\alpha + 1)}{2}\left( \frac{1}{(p-i\beta)^{\alpha + 1}} + \frac{1}{(p + i\beta)^{\alpha+1}} \right)$$
$$\chi(t) \mathrm{sh} t$$	$$\frac{\beta}{p^2-\beta^2}$$
$$\chi(t) \mathrm{ch} t$$	$$\frac{p}{p^2-\beta^2}$$
$$\chi(t) t^\alpha \mathrm{sh} t$$	$$\frac{\Gamma(\alpha + 1)}{2} \left( \frac{1}{(p-\beta)^{\alpha + 1}} - \frac{1}{(p+\beta)^{\alpha + 1}} \right)$$
$$\chi(t) t^\alpha \mathrm{ch} t$$	$$\frac{\Gamma(\alpha + 1)}{2} \left( \frac{1}{(p-\beta)^{\alpha + 1}} + \frac{1}{(p+\beta)^{\alpha + 1}} \right)$$
$$\delta(t)$$	$$1$$

Приведём доказательства для некоторых из этих формул.

1. Пусть $f(t)=1$.
   $$\int\limits_0^{+\infty} t e^{-pt} dt = \left. -\frac{1}{p} e^{-pt} \right|^{+\infty}_0 = \frac{1}{p}.$$
   Легко видеть, что данный интеграл сходится при любом $\mu>0$.
2. Пусть теперь $f(t) \supset F(p)$.
   $$\int\limits_0^{+\infty} f(t) e^{(\beta-p)t} dt = F(p-\beta).$$
3. Найдём преобразование Лапласа для функции $f(t) = \chi(t) t^\alpha$, $\alpha > 0$.
   $$\forall p\in\mathbb{R} : \int\limits_0^{+\infty} t^\alpha e^{-\pt} dt = \left\{ \begin{matrix} pt = s \\ ds = pdt \end{matrix} \right\} = \int\limits_0^{+\infty} \left( \frac{s}{p} \right)^\alpha e^{-s} \frac{1}{p} ds = \frac{1}{p^{\alpha + 1}} \int\limits_0^{+\infty} s^\alpha e^{-s} ds = \frac{1}{p^{\alpha + 1}} \Gamma(\alpha + 1).$$
   Эту функцию можно аналитически продолжить на всю комплексную плоскость, т.е. $$\forall p\in\mathbb{C} : \chi(t) t^\alpha \supset \frac{\Gamma(\alpha + 1)}{p^{\alpha + 1}} \quad \forall \alpha > 0.$$
4. Рассмотрим функции $\chi(t) t^\alpha \cos \beta t$ и $\chi(t) t^\alpha \sin \beta t$. По формуле Эйлера: $$\cos \beta t = \frac{e^{i\beta t} + e^{-i\beta t}}{2}, \quad \sin \beta t = \frac{e^{i\beta t} - e^{-i\beta t}}{2}.$$
   Отсюда, используя результаты пункта 3, легко получить формулы изображений для указанных функций.
   Аналогично выводятся формулы для гиперболических тригонометрических функций: $$\mathrm{sh} x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \quad \mathrm{ch} x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}.$$

Свойства преобразования Лапласа

Будем обозначать через $F(p)$, $G(p)$, $H(p)$ и т.д. изображения по Лапласу оригиналов $f(t)$, $g(t)$, $h(t)$ и тд.

Линейность

Для любых $\alpha,\ \beta \in \mathbb{C}$ справедливо:

$$\alpha f(t) + \beta g(t) \supset \alpha F(p) + \beta G(p).$$

Это соотношение является прямым следствием линейности преобразования Фурье.

Масштабируемость

$$\begin{matrix} \dfrac{1}{a} f\left( \dfrac{t}{a} \right) \supset F(pa) \\ f(ta) \supset \dfrac{1}{a} F\left( \dfrac{p}{a} \right) \end{matrix} \quad \forall a>0.$$

Доказательство. Рассмотрим преобразование Лапласа функции $f\left( \frac{t}{a} \right)$: $$\int\limits_0^{+\infty} f\left( \dfrac{t}{a} \right) e^{-pt} dt = \left\{ \begin{matrix} z = at \\ dz = adt \end{matrix} \right\} = \int\limits_0^{+\infty} f(z) e^{-paz} a\,dz = aF(pa).$$

Аналогично доказывается вторая формула. $\blacksquare$

Сдвиг №1

Запаздывающий сигнал.

Пусть $\chi(t) f(t) \supset F(t)$. Тогда $\forall \tau>0$ справедливо: $$\chi(t-\tau)f(t-\tau) \supset e^{-p\tau}F(p).$$

Доказательство. Применим преобразование Лапласа к функции $\chi(t-\tau) f(t-\tau)$. Сделав замену переменной $\xi = t-a$, получим $$\int\limits_\tau^{+\infty} f(t-\tau) e^{-pt} dt = \int_0^{+\infty} f(\xi) e^{-p(\tau+\xi)} d\xi = e^{-p\tau} F(\xi). \quad \blacksquare$$

Сдвиг №2

Оригинальный и сдвинутый сигналы.

Пусть $\chi(t) f(t) \supset F(t)$. Тогда $\forall \tau>0$ справедливо:

$$\chi(t) f(t+a) \supset e^{pa} \left( F(p) - \int\limits_0^a f(\xi) e^{-p\xi} d\xi \right).$$

Доказательство. Найдём преобразование Лапласа для функции $\chi(t) f(t+a)$: $$\int\limits_0^{+\infty} f(t+a)e^{-pt} dt = \int\limits_0^{+\infty} e^{-p(\xi-a)} d\xi - \int\limits_0^a f(\xi) e^{-p(\xi-a)} d\xi. \quad \blacksquare$$

Заметим, что вычитаемое в этой формуле соответствует утерянной части сигнала.

Дифференцирование оригинала

Если функция $f(t) \in C'(0, +\infty)$ и она удовлетворяет достаточным условиям существования прямого преобразования Лапласа, тогда выполнено следующее соотношение: $$\begin{equation}\label{LT_Deriv} f'(t) \supset pF(p) -f(0+0). \end{equation}$$

В общем случае: если $f(t) \in C^{(k)}(0,+\infty)$ и выполнены достаточные условия существования прямого преобразования, то $$\begin{equation}\label{LT_Derivk} f^{(k)}(t) \supset p^k F(p) - p^{k-1} f(0+0) - p^{k-2} f'(0+0) - \dots - pf^{(k-2)}(0+0) - f^{(k-1)}(0+0). \end{equation}$$

Доказательство. Посчитаем преобразование Лапласа от функции $f'(t)$. Используя интегрирование по частям, получаем: $$\int\limits_0^{+\infty} f'(t) e^{-pt} dt = f(t) e^{-pt} \bigg|_0^{+\infty} - \int\limits_0^{+\infty} f(t) (-p) e^{-pt} dt = 0 - f(0+0) + pF(p).$$

Далее найдём изображение второй производной, дважды применив формулу $\eqref{LT_Deriv}$: $$f''(t) = \left( f(t) \right)' \supset p\Bigl( pF(p) - f(0+0) \Bigr) - f'(0+0) = p^2 F(p) - pf(0+0) - f'(0+0).$$

Далее, по методу математической индукции, находим: $$f^{(k)} = \left( f^{(k-1)}(t) \right) \supset p \left( p^{k-1} F(p) -\sum\limits_{l=1}^{k-2} p^{k-2-l} f^{(l)}(0+0) \right) - f^{(k-1)}(0+0).$$

Раскрывая скобки, перейдём к выражению $\eqref{LT_Derivk}$. $\blacksquare$

Дифференцирование изображения

$$(-t)^k f(t) \supset F^{(k)} (p).$$

Доказательство. Как уже было установлено, изображение $F(p)$ является аналитической функцией в полуплоскости $\mathrm{Re}\,p = \mu > \mu_0$, а значит её можно дифференцировать по $p$ как интеграл, зависящий от параметра. Применим к формуле $\eqref{intLapl}$ $k$-кратное дифференцирование: $$F^{(k)}(p) = \int\limits_0^{+\infty} (-t)^k f(t) e^{-pt} dt. \quad \blacksquare$$

Интегрирование оригинала

$$\int\limits_0^t f(\tau) d\tau \supset \dfrac{F(p)}{p}.$$

Доказательство. По формуле $\eqref{intLapl}$ получаем, что $$F(p) = \int\limits_0^{+\infty} e^{-pt} f(t) dt = \int\limits_0^{+\infty} e^{-pt} d\left( \int\limits_0^t f(\tau) d\tau \right).$$ Далее применим формулу интегрирования по частям: $$\int\limits_0^{+\infty} e^{-pt} d\left( \int\limits_0^t f(\tau) d\tau \right) = e^{-pt} \int\limits_0^t f(t) dt \Bigg|_{t=0}^{+\infty} + p\int_0^{+\infty} e^{-pt} dt \int\limits_0^t f(\tau) d\tau = p\int\limits_0^{+\infty} e^{-pt} dt\int\limits_0^t f(\tau) d\tau.$$ Так как функция $f(t)$ возрастает не быстрее показательной, то мы можем избавиться от первого слагаемого. $\blacksquare$

Интегрирование образа

Если интеграл $\int_p^\infty F(\xi) d\xi$ сходится по любому пути, целиком лежащему в области $\mathrm{Re}\,p > \mu_0$, то он является изображением функции $f(t)/t$, т.е. $$\dfrac{f(t)}{t} \supset \int\limits_p^\infty F(\xi) d\xi.$$

Доказательство. Согласно $\eqref{intLapl}$: $$\begin{equation}\label{double_int} \int_p^\infty F(\xi) d\xi = \int_p^\infty d\xi \int\limits_0^{+\infty} f(t) e^{-\xi t} dt. \end{equation}$$

Предположим, что путь интегрирования $(p,\infty)$ целиком лежит в полуплоскости $\mathrm{Re}\,\xi \ge \mu > \mu_0$. Дадим оценку внутреннего интеграла: $$\left| \int\limits_0^{+\infty} f(t) e^{-qt} dt \right| < A \int\limits_0^{+\infty} e^{-(\mu-\mu_0)t} dt = \dfrac{M}{\mu-\mu_0} < \infty.$$

Отсюда по достаточному признаку Вейерштрасса следует равномерная сходимость данного интеграла по параметру $\xi$ в области $\mathrm{Re}\,p > \mu_0$. Тогда в интеграле $\eqref{double_int}$ можно сменить порядок интегрирования: $$\int\limits_p^\infty F(\xi) d\xi = \int\limits_0^{+\infty} f(t) dt \int\limits_p^\infty e^{-\xi t} d\xi = \int_0^{+\infty} f(t) \dfrac{e^{-pt}}{t} dt. \quad \blacksquare$$

Свёртка

Напомним, что свёрткой функций $f(t)$ и $g(t)$ называют функцию вида: $$f(t)*g(t) \equiv \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(\tau)g(t-\tau) d\tau = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} g(\tau) f(t-\tau) d\tau.$$ Для функций-оригиналов с учётом того, что $f(t)\equiv 0$ и $g(t)\equiv 0$ при $t<0$ получаем, что $$\begin{equation}\label{convolution} f(t)*g(t) \equiv \int\limits_0^t f(\tau)g(t-\tau) d\tau. \end{equation}$$

Свёртка оригиналов соответствует произведению изображений: $$(f*g)(t) \supset F(p) \cdot G(p).$$

Доказательство. Сначала покажем, что свёртка оригиналов $\eqref{convolution}$ является оригиналом, то есть выполняются достаточные условия существования прямого образования Лапласа. Очевидно, что $f(t)*g(t) \equiv 0$ при $t<0$. Покажем, что свёртка имеет скорость сходимости не выше экспоненциальной. Так как оригиналы удовлетворяют следующим условиям: $$|f(t)| < A e^{\mu_0 t}, \quad |g(t)| < B e^{\mu_1 t},$$ то мы имеем следующую оценку абсолютной величины свёртки: $$|f(t) * g(t)| = \left| \int\limits_0^t f(\tau) g(t-\tau) d\tau \right| < AB \int\limits_0^t e^{\mu_0 \tau} e^{\mu_1 (t-\tau)} d\tau \le AB te^{\mu t},$$ где $\mu = \max\{ \mu_0, \mu_1 \}$. Отсюда получаем, что $|f(t) * g(t)| < C e^{(\mu + \varepsilon) t}$.

Докажем теперь справедливость формулы для образа свёртки. Согласно $\eqref{intLapl}$: $$f(t) * g(t) \supset \int\limits_0^{+\infty} e^{-pt} dt \int_0^t f(\tau) g(t-\tau) d\tau.$$

Поменяем порядок интегрирования в двойном интеграле: $$\int\limits_0^{+\infty} e^{-pt} dt \int_0^t f(\tau) g(t-\tau) d\tau = \int_0^{+\infty} f(\tau) d\tau \int\limits_\tau^{+\infty}g(t-\tau) e^{-pt} dt = \Bigl\{ t-\tau = \theta \Bigr\} = \int\limits_0^{\infty} f(\tau) d\tau \int\limits_0^{+\infty} g(\theta) e^{-p(\theta + \tau)} d\theta. \quad \blacksquare$$

Периодическая функция

Пусть $f(t)$ — периодическая функция с периодом $T>0$.

$$\int\limits_0^{+\infty} f(t) e^{-pt} dt = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} \int_{(k-1)T}^{kT} f(t) e^{-pt} dt = \left\{ t = (k-1)T + s \right\} = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} \int_0^T f(s) e^{-ps} e^{-p(k-1)T} ds = \left( \sum\limits_{k=1}^{+\infty} e^{-p(k-1)T} \right) \int\limits_0^T f(s) e^{-ps} ds = \dfrac{1}{1-e^{-pT}} \int\limits_0^T f(s) e^{-ps} ds,$$ то есть в случае периодической функции достаточно посчитать интеграл Лапласа на одном периоде.

Вычисление обратного преобразования Лапласа

Общий случай

.

Рассмотрим формулу Меллина $\eqref{Mellins_formula}$: $$f(t)\chi(t) = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_{\mu - i\infty}^{\mu + i\infty} F(p)e^{pt} dp.$$

В области $\mu > \mu_0$ функция $F(p)$ является аналитичной (по теореме об области существования). Пусть функция $F(p)$ имеет конечное число особых точек $p_1, p_2, \dots, p_n$, лежащих в конечной части плоскости (т.е. существует такая полуокружность, которая содержит все эти особые точки). Тогда для этой функции применима лемма Жордана, то есть $F(p) e^{pt} \overset{\Omega_R}{\underset{\R \to +\infty}{\rightrightarrows}} 0$. Отсюда получаем: $$f(t)\chi(t) = \frac{1}{2\pi i } \cdot 2\pi i \sum\limits_{i=1}^n \mathbb{res}\,(F(p)e^{pt}, p_i) = \sum\limits_{i=1}^n \mathbb{res}\,(F(p)e^{pt}, p_i).$$

Рациональный образ

Напомним, что $\delta(t) \supset 1$. Используя элементарные преобразования и свойства преобразования Лапласа можем выписать следующие выражения: $$\begin{equation}\label{delta} \delta^{(k)}(t) \supset p^k, \quad \delta(t-\alpha) \supset e^{-p\alpha}, \quad \delta^{(k)}(t-\alpha) \supset e^{-p\alpha} p^k. \end{equation}$$

Пусть функция $F(p)$ — рациональная, то есть она имеет вид $F(p) = \dfrac{Q(p)}{P(p)}$, где $Q(p)$ и $P(p)$ — многочлены от переменной $p$.

• Пусть $\deg Q \ge \deg P$. Тогда можем выполнить деление многочленов и воспользоваться выражениями $\eqref{delta}$.
• Пусть $\deg Q \le deg P$. Тогда эту дробь можно разложить в следующую сумму:

$$\dfrac{Q(p)}{P(p)} = \dfrac{A_{1m_1}}{(p-\alpha_1)^{m_1}} + \dfrac{A_{1(m_1-1)}}{(p-\alpha_1)^{m_1-1}} + \dots + \dfrac{A_{11}}{p-\alpha_1} + \dfrac{A_{2m_2}}{(p-\alpha_2)^{m_2}} + \dots + \dfrac{A_{21}}{p-\alpha_2} + \dots + \dfrac{B_{11}(p-\eta) + C_{11}}{p^2 + \beta_1 p + \gamma_1} + \dots + \dfrac{B_{1n_1}p + C_{1n_1}}{(p^2 + \beta_1 p + \gamma_1)^{n_1}} + \dots .$$

Теперь, пользуясь линейностью преобразования Лапласа, можем искать прообразы каждого слагаемого по-отдельности. В случае, если в знаменателе стоит выражение степени $k>1$, нужно воспользоваться свойством дифференцирования для понижения степени. Иначе, используя элементарные преобразования, получаем, что $$A_{11} e^{\alpha_1 t} \supset \dfrac{A_{11}}{p-\alpha_1}.$$

Для дробей с квадратным трёхчленом в знаменателе воспользуемся методом выделения полного квадрата: $$\dfrac{B_{11}p + C_{11}}{p^2 + \beta_1 p + \gamma_1} = \dfrac{B_{11}(p-\eta) + \left( C_{11} + B_{11}\eta \right)}{(p-\eta)^2 + w^2)} = \dfrac{B_{11}(p-\eta)}{(p-\eta)^2 + w^2)} + \dfrac{C_{11} + B_{11}\eta}{(p-\eta)^2 + w^2} \supset B_{11}e^{\eta t} \cos wt + \tilde{C} e^{\eta t} \sin wt .$$