Условия непрерывности функции максимума: различия между версиями

Материал из sawiki
Перейти к навигации Перейти к поиску
 
(не показаны 103 промежуточные версии этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
−
== Лемма о непрерывности функции максимума ==
+
== Введение и определения ==
 +
Введем некоторые необходимые понятия.
 +
 
 +
\(\mathcal{A} \in\) comp \(\mathbb{R}^n\) — непустой компакт в \(\mathbb{R}^n\).
 +
 
 +
\(\mathcal{A} \in\) conv \(\mathbb{R}^n\) — непустой выпуклый компакт в \(\mathbb{R}^n\).
 +
 
 +
\(\mathcal{B}_{R}(a)\) — шар радиуса \(R\) с центром в точке \(a\).
 +
 
 +
\(h_+(\mathcal{Z}_1,\mathcal{Z}_2) =  \inf \{\varepsilon \geqslant 0 : \mathcal{Z}_1 \subseteq \mathcal{Z}_2 + \varepsilon \cdot \mathcal{B}_1(0)\}|\) — '''полуметрика Хаусдорфа'''.
 +
 
 +
\(h(\mathcal{Z}_1,\mathcal{Z}_2) = \max \{h_+(\mathcal{Z}_1,\mathcal{Z}_2), h_+(\mathcal{Z}_2,\mathcal{Z}_1)\}\) — '''метрика Хаусдорфа''' [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D0%A5%D0%B0%D1%83%D1%81%D0%B4%D0%BE%D1%80%D1%84%D0%B0].
 +
 
 +
== О непрерывности опорной функции ==
 +
 
 +
'''Лемма 1''' (О непрерывности опорной функции к многозначному отображению по обеим переменным)
 +
 
 +
Пусть \(\mathcal{Z}: V \rightarrow\) conv \(\mathbb{R}^l, V \subseteq \mathbb{R}^k\). \(\mathcal{Z}\) непрерывно на \(V\). Следовательно, \(\rho(l|\mathcal{Z}(v))\) непрерывна на \((l,V) \in \mathbb{R}^l \times V\).
 +
 
 +
''Доказательство''.
 +
 
 +
Пусть \((l^0,v^0) \in \mathbb{R}^l \times V\). Покажем, что \(|\rho(l|\mathcal{Z}(v)) - \rho(l^0|\mathcal{Z}(v^0))| < \varepsilon\).
 +
\begin{equation}
 +
\rho(l|\mathcal{Z}(v)) - \rho(l^0|\mathcal{Z}(v^0)) = \rho(l|\mathcal{Z}(v)) - \rho(l|\mathcal{Z}(v^0)) + \rho(l|\mathcal{Z}(v^0)) - \rho(l^0|\mathcal{Z}(v^0))
 +
\end{equation}
 +
1) \(\rho(l|\mathcal{Z}(v^0))\) выпукла по \(l \Rightarrow\) непрерывна по \(l\) ''([3], Теорема 1)'' \( \Rightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0: \forall l, ||l - l^0|| < \delta \Rightarrow |\rho(l|\mathcal{Z}(v^0)) - \rho(l^0|\mathcal{Z}(v^0))| < \frac{\varepsilon}{2}\).
 +
 
 +
2) \(\mathcal{Z}\) непрерывно как многозначное отображение \(\Rightarrow \forall \tilde\varepsilon > 0 \exists \tilde\delta(\tilde\varepsilon) > 0: \forall v \in \cup_\delta(v^0) \cap V, h(\mathcal{Z}(v), \mathcal{Z}(v^0)) < \tilde\varepsilon.\)
 +
 
 +
\begin{equation}
 +
h(\mathcal{Z}(v), \mathcal{Z}(v^0)) = \underset{||l|| = 1}{\sup} |\rho(l|\mathcal{Z}(v) - \rho(l|\mathcal{Z}(v^0)|.
 +
\end{equation}
 +
 
 +
Формула '''(2)''' верна тогда и только тогда, когда \(\mathcal{Z}\) непрерывна по \(v\), и используя положительную однородность получаем, что это верно тогда и только тогда, когда \(|\rho(l|\mathcal{Z}(v)) - \rho(l|\mathcal{Z}(v^0))| < \tilde\varepsilon||l||, \forall l\).
 +
 
 +
Можно выбрать \(\tilde\varepsilon\) так, что:
 +
 
 +
\begin{equation}
 +
||l^0|| - \delta = ||l|| \leqslant ||l^0|| + \delta \Rightarrow \tilde\varepsilon||l|| < \tilde\varepsilon(||l^0||+\delta) < \frac{\varepsilon}{2}.
 +
\end{equation}
 +
 
 +
Из этого следует:
 +
\begin{equation}
 +
\forall \varepsilon > 0, \exists \delta: ||l - l^0|| < \delta,
 +
\end{equation}
 +
\begin{equation}
 +
\forall \varepsilon > 0, \exists \tilde\delta: v \in \mathcal{B}_\tilde\delta (v^0) \cap V,
 +
\end{equation}
 +
Что приводит нас к условию леммы. Лемма доказана.<math>\blacksquare</math>
 +
 
 +
'''Утверждение 1''' (Следствие из леммы о непрерывности опорной функции к многозначному отображению по обеим переменным)
  
 
Пусть  
 
Пусть  
  
−
1) \(z: V \Rightarrow\) comp \(\mathbb{R}^l, V \subseteq \mathbb{R}^k, z\) непрерывна и равномерно ограничена на \(V\). То есть, \(V \in\) comp \(\mathbb{R}^k\).
+
1) \(V \in \) comp \(\mathbb{R}^n\).
 +
 
 +
2) Выполнены условия Леммы о непрерывности опорной функции к многозначному отображению по обеим переменным:
 +
 
 +
* \(\mathcal{Z}: V \rightarrow \) conv \(\mathbb{R}^l, V \subseteq \mathbb{R}^k\)
 +
 
 +
* \(\mathcal{Z}\) непрерывно на \(V\)
 +
 
 +
(То есть, по условию Леммы, \(\rho(l|Z(v))\) непрерывна на \((l,V) \in \mathbb{R}^l \times V\)).
 +
 
 +
Тогда, \(\exists R > 0: \forall v \in V, \mathcal{Z}(v) \subseteq \mathcal{B}_R(0) \subseteq \mathbb{R}^l\).
  
−
2) \(g: V \times \mathbb{R}^l \Rightarrow \mathbb{R}, g\) непрерывна по \((v,z) \in V \times \mathbb{R}^l\).
+
''Доказательство''.
  
−
Тогда \(H(v) = \underset{z \in \mathcal{Z} (v)}{max} \{g(v,z)\}\) - непрерывна на \(V\).
+
Пусть \(R = \max \{0, \underset{(l,v) \in \mathcal{B}_1(0) \times V}{max} \rho(l|\mathcal{Z}(v)\}, R \geqslant 0\).
  
−
== Доказательство леммы ==
+
\begin{equation}
 +
\forall l: ||l|| \leqslant 1 \Rightarrow \rho(l, \mathcal{Z}(v)) \leqslant R,
 +
\end{equation}
 +
\begin{equation}
 +
\forall l: ||l|| = 1 \Rightarrow \rho(l, \mathcal{Z}(v)) \leqslant R||l|| ; R||l|| \geqslant 0.
 +
\end{equation}
  
−
\(\mathcal{Z}(v) \in \mathcal{B}_R(0) \).
+
Условие непрерывности опорной функции необходимо, так как оно гарантирует, что максимум будет достигнут. Введем \(p = \alpha l\).
 +
 
 +
\begin{equation}
 +
R||p|| = \rho(p|\mathcal{B}_R(0)) \Rightarrow \rho(p|\mathcal{Z}(v)) \leqslant R||p||, \forall p \Leftrightarrow \mathcal{Z}(v) \subseteq \mathcal{B}_R(0)
 +
\end{equation}
 +
 
 +
Утверждение доказано.<math>\blacksquare</math>
 +
 
 +
== О непрерывности функции максимума ==
  
−
\(g|_{V \times \mathcal{B}_R(0)\) - непрерывна
+
'''Лемма 2''' (О непрерывности функции максимума)
  
−
\[
+
Пусть
−
  <B^Tl^0, u^*> = \max_{u \in \mathcal{P}}<B^Tl^0, u>,
+
 
−
\]
+
1) \(\mathcal{Z}: V \rightarrow\) comp \(\mathbb{R}^l, V \subseteq \mathbb{R}^k, \mathcal{Z}\) непрерывна и равномерно ограничена на \(V\). То есть, \(V \in\) comp \(\mathbb{R}^k\).
  
 +
2) \(g: V \times \mathbb{R}^l \rightarrow \mathbb{R}, g\) непрерывна по \((v,z) \in V \times \mathbb{R}^l\).
  
 +
Тогда \(H(v) = \underset{z \in \mathcal{Z} (v)}{\max} \{g(v,z)\}\) - непрерывна на \(V\).
  
−
Рассматривается линейное неоднородное дифференциальное уравнение:
+
''Доказательство''.
−
\[
 
−
\begin{cases}
 
−
\dot x(t) = A(t)x(t) + c(t), \\
 
−
x(t_0) = x^0.
 
−
\end{cases}
 
−
\]
 
−
В оптимальном управлении в неоднородность включено еще и управление, то есть $$c(t) = B(t)u(t) + f(t)$$.
 
  
−
Пусть $$X(t, \tau)$$ — [[фундаментальная матрица Коши]].
+
\(\mathcal{Z}(v) \in \mathcal{B}_R(0) \).
−
Тогда решение данного уравнения находится по '''формуле Коши''':
 
−
\[
 
−
x(t) = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t, \tau)c(\tau)\,d\tau,
 
−
\]
 
−
Причем $$t$$ может быть как больше, так и меньше $$t_0$$, вид формулы не меняется.
 
  
 +
\(g|_{V \times \mathcal{B}_R(0)}\) непрерывна, следовательно, по теореме Кантора, \(\forall \varepsilon > 0,  \exists \delta(\varepsilon) > 0\) такие, что \( \forall v', v'' \in V, ||v' - v''||< \delta, \forall z', z'' \in \mathcal{B}_{R}(0), ||z'-z''|| < \delta\) верно: \(|g(v',z')-g(v'',z'')| < \varepsilon \).
  
 +
Исследуем непрерывность \(H(v)\) при \(v = v^0 \in V\).
  
−
Рассмотрим, как на данное дифференциальное уравнение действует линейная замена переменных $$y(t) = F(t)x(t)$$,
+
\(\mathcal{Z}\) непрерывна на V, следовательно, для данного \(\delta\) существует \(\tilde\delta(\delta(\varepsilon)) > 0\) такая, что \(\forall v \in \mathcal{B}_{\tilde\delta}(v^0) \cap V, h(\mathcal{Z}(v), \mathcal{Z}(v^0)) < \delta\). Это верно тогда и только тогда, когда
−
где матрица $$F(t)$$ не вырождена в любой момент времени.
 
−
Тогда:
 
−
\[
 
−
\dot y(t) = \dot F(t)x(t) + F(t) \dot x(t) = \dot F(t) F^{-1}(t) y(t) + F(t) \left( A(t) F^{-1}(t) y(t) + c(t) \right) = \\
 
−
= \left( \dot F(t) + F(t) A(t) \right) F^{-1}(t) y(t) + F(t) c(t).
 
−
\]
 
−
Заметим, что тогда $$y(t)$$ удовлетворяет дифференциальному уравнению:
 
−
\[
 
−
\dot y(t) = \tilde A(t) y(t) + \tilde c(t),
 
−
\]
 
−
где $$\tilde A(t) = \left( \dot F(t) + F(t) A(t) \right) F^{-1}(t)$$ и $$\tilde c(t) = F(t) c(t)$$.
 
−
Тогда мы можем выбрать такую замену переменной, что $$\tilde A(t) \equiv 0$$.
 
−
Для этого должно выполняться:
 
−
\[
 
−
\dot F(t) = -F(t)A(t).
 
−
\]
 
−
Тогда положим $$F(t) = X(t_0, t)$$, чтобы также выполнялось $$y(t_0) = F(t_0)x^0 = x^0$$.
 
−
Таким образом, пришли к следующей задаче Коши для $$y(t)$$:
 
 
\[
 
\[
 
\begin{cases}
 
\begin{cases}
−
\dot y(t) = X(t_0, t)c(t), \\
+
\mathcal{Z}(v) \subseteq \mathcal{Z}(v^0) + \delta\mathcal{B}_1(0),\\
−
y(t_0) = x^0,
+
\mathcal{Z}(v^0) \subseteq \mathcal{Z}(v) + \delta\mathcal{B}_1(0).
 
\end{cases}
 
\end{cases}
−
\]
 
−
Причем правая часть не зависит от $$y(t)$$, а значит решением будет просто интеграл:
 
−
\[
 
−
y(t) = x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t_0, \tau)c(\tau)\,d\tau.
 
−
\]
 
−
Возвращаясь к исходной переменной и используя полугрупповое свойство и его следствие $$\left( X(t_0, t)\right)^{-1} = X(t, t_0)$$, получаем формулу Коши:
 
−
\[
 
−
x(t) = F^{-1} y(t) = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t, t_0) X(t_0, \tau)c(\tau)\,d\tau =\\
 
−
= X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t, \tau)c(\tau)\,d\tau.
 
−
\]
 
−
В оптимальном управлении обычно $$c(t) = B(t)u(t) + f(t)$$, и формула Коши принимает вид:
 
−
\[
 
−
x(t) = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t, \tau) \left[B(\tau)u(\tau) + f(\tau)\right]\,d\tau.
 
 
\]
 
\]
  
−
== Обобщение на случай матричных ЛДУ ==
+
Выберем любое \(v\), такое, что \(||v - v^0|| < \delta\), и проверим, следует ли из этого \(|H(v)-H(v^0)| < \varepsilon\).
  
−
Рассмотрим следующую задачу Коши:
+
Пусть \(z^{0*} \in \) Argmax \( \{g(v^0,z^0) | z^0 \in \mathcal{Z}(v^0)\}, z^{*} \in\) Argmax \(\{g(v,z) | z \in \mathcal{Z}(v)\}, \)
 
\[
 
\[
 
\begin{cases}
 
\begin{cases}
−
\dot X(t) = A(t)X(t) - X(t)B(t) + C(t), \\
+
z^{*} \in \mathcal{Z}(v) \subseteq \mathcal{Z}(v^0) + \delta\mathcal{B}_1(0),\\
−
X(t_0) = X^0.
+
z^{0*} \in \mathcal{Z}(v^0) \subseteq \mathcal{Z}(v) + \delta\mathcal{B}_1(0).
 
\end{cases}
 
\end{cases}
 
\]
 
\]
−
Тогда ее решением будет:
+
 
 +
Из этого следует, что:
 
\[
 
\[
−
X(t) = U(t,t_0) X^0 V(t_0,t)+\int\limits_{t_0}^t U(t,\tau)C(\tau)V(\tau,t)\,d\tau,
+
\begin{cases}
 +
\exists z' \in \mathcal{Z}(v^0): ||z^* - z'|| < \delta,\\
 +
\exists z'' \in \mathcal{Z}(v): ||z^{*0} - z'|| < \delta.
 +
\end{cases}
 
\]
 
\]
−
где $$U(t, \tau)$$ и $$V(t, \tau)$$ — фундаментальные матрицы для задач Коши с матрицами $$A(t)$$ и $$B(t)$$ соответственно.
+
 
 +
Тогда:
 +
\begin{equation}
 +
|H(v) - H(v^0)| = |\underset{z \in \mathcal{Z} (v)}{\max}g(v,z) - \underset{z^0 \in \mathcal{Z} (v^0)}{\max}g(v^0,z^0)| \leqslant |g(v,z^*) - g(v^0, z')| < \varepsilon.
 +
\end{equation}
 +
 
 +
При этом,
 +
\begin{equation}
 +
|H(v^0) - H(v)| \leqslant |g(v^0,z^{0*}) - g(v, z'')| < \varepsilon.
 +
\end{equation}
 +
 
 +
Следовательно, \(H\) непрерывна. Лемма доказана.<math>\blacksquare</math>
 +
 
 +
== Список литературы ==
 +
1) Комаров Ю. Лекции по курсу "Оптимальное управление", 2020/2021.
 +
 
 +
2) Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. "Математическая теория оптимальных процессов", М.: Наука, 1983.
 +
 
 +
[https://moiseev-aa.ru/media/Lecture_21-22.pdf 3)] Моисеев А.А. "Лекции по математическому анализу", 2021.

Текущая версия на 22:47, 21 декабря 2021

Введение и определения

Введем некоторые необходимые понятия.

\(\mathcal{A} \in\) comp \(\mathbb{R}^n\) — непустой компакт в \(\mathbb{R}^n\).

\(\mathcal{A} \in\) conv \(\mathbb{R}^n\) — непустой выпуклый компакт в \(\mathbb{R}^n\).

\(\mathcal{B}_{R}(a)\) — шар радиуса \(R\) с центром в точке \(a\).

\(h_+(\mathcal{Z}_1,\mathcal{Z}_2) = \inf \{\varepsilon \geqslant 0 : \mathcal{Z}_1 \subseteq \mathcal{Z}_2 + \varepsilon \cdot \mathcal{B}_1(0)\}|\) — полуметрика Хаусдорфа.

\(h(\mathcal{Z}_1,\mathcal{Z}_2) = \max \{h_+(\mathcal{Z}_1,\mathcal{Z}_2), h_+(\mathcal{Z}_2,\mathcal{Z}_1)\}\) — метрика Хаусдорфа [1].

О непрерывности опорной функции

Лемма 1 (О непрерывности опорной функции к многозначному отображению по обеим переменным)

Пусть \(\mathcal{Z}: V \rightarrow\) conv \(\mathbb{R}^l, V \subseteq \mathbb{R}^k\). \(\mathcal{Z}\) непрерывно на \(V\). Следовательно, \(\rho(l|\mathcal{Z}(v))\) непрерывна на \((l,V) \in \mathbb{R}^l \times V\).

Доказательство.

Пусть \((l^0,v^0) \in \mathbb{R}^l \times V\). Покажем, что \(|\rho(l|\mathcal{Z}(v)) - \rho(l^0|\mathcal{Z}(v^0))| < \varepsilon\). \begin{equation} \rho(l|\mathcal{Z}(v)) - \rho(l^0|\mathcal{Z}(v^0)) = \rho(l|\mathcal{Z}(v)) - \rho(l|\mathcal{Z}(v^0)) + \rho(l|\mathcal{Z}(v^0)) - \rho(l^0|\mathcal{Z}(v^0)) \end{equation} 1) \(\rho(l|\mathcal{Z}(v^0))\) выпукла по \(l \Rightarrow\) непрерывна по \(l\) ([3], Теорема 1) \( \Rightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0: \forall l, ||l - l^0|| < \delta \Rightarrow |\rho(l|\mathcal{Z}(v^0)) - \rho(l^0|\mathcal{Z}(v^0))| < \frac{\varepsilon}{2}\).

2) \(\mathcal{Z}\) непрерывно как многозначное отображение \(\Rightarrow \forall \tilde\varepsilon > 0 \exists \tilde\delta(\tilde\varepsilon) > 0: \forall v \in \cup_\delta(v^0) \cap V, h(\mathcal{Z}(v), \mathcal{Z}(v^0)) < \tilde\varepsilon.\)

\begin{equation} h(\mathcal{Z}(v), \mathcal{Z}(v^0)) = \underset{||l|| = 1}{\sup} |\rho(l|\mathcal{Z}(v) - \rho(l|\mathcal{Z}(v^0)|. \end{equation}

Формула (2) верна тогда и только тогда, когда \(\mathcal{Z}\) непрерывна по \(v\), и используя положительную однородность получаем, что это верно тогда и только тогда, когда \(|\rho(l|\mathcal{Z}(v)) - \rho(l|\mathcal{Z}(v^0))| < \tilde\varepsilon||l||, \forall l\).

Можно выбрать \(\tilde\varepsilon\) так, что:

\begin{equation} ||l^0|| - \delta = ||l|| \leqslant ||l^0|| + \delta \Rightarrow \tilde\varepsilon||l|| < \tilde\varepsilon(||l^0||+\delta) < \frac{\varepsilon}{2}. \end{equation}

Из этого следует: \begin{equation} \forall \varepsilon > 0, \exists \delta: ||l - l^0|| < \delta, \end{equation} \begin{equation} \forall \varepsilon > 0, \exists \tilde\delta: v \in \mathcal{B}_\tilde\delta (v^0) \cap V, \end{equation} Что приводит нас к условию леммы. Лемма доказана.\(\blacksquare\)

Утверждение 1 (Следствие из леммы о непрерывности опорной функции к многозначному отображению по обеим переменным)

Пусть

1) \(V \in \) comp \(\mathbb{R}^n\).

2) Выполнены условия Леммы о непрерывности опорной функции к многозначному отображению по обеим переменным:

  • \(\mathcal{Z}: V \rightarrow \) conv \(\mathbb{R}^l, V \subseteq \mathbb{R}^k\)
  • \(\mathcal{Z}\) непрерывно на \(V\)

(То есть, по условию Леммы, \(\rho(l|Z(v))\) непрерывна на \((l,V) \in \mathbb{R}^l \times V\)).

Тогда, \(\exists R > 0: \forall v \in V, \mathcal{Z}(v) \subseteq \mathcal{B}_R(0) \subseteq \mathbb{R}^l\).

Доказательство.

Пусть \(R = \max \{0, \underset{(l,v) \in \mathcal{B}_1(0) \times V}{max} \rho(l|\mathcal{Z}(v)\}, R \geqslant 0\).

\begin{equation} \forall l: ||l|| \leqslant 1 \Rightarrow \rho(l, \mathcal{Z}(v)) \leqslant R, \end{equation} \begin{equation} \forall l: ||l|| = 1 \Rightarrow \rho(l, \mathcal{Z}(v)) \leqslant R||l|| ; R||l|| \geqslant 0. \end{equation}

Условие непрерывности опорной функции необходимо, так как оно гарантирует, что максимум будет достигнут. Введем \(p = \alpha l\).

\begin{equation} R||p|| = \rho(p|\mathcal{B}_R(0)) \Rightarrow \rho(p|\mathcal{Z}(v)) \leqslant R||p||, \forall p \Leftrightarrow \mathcal{Z}(v) \subseteq \mathcal{B}_R(0) \end{equation}

Утверждение доказано.\(\blacksquare\)

О непрерывности функции максимума

Лемма 2 (О непрерывности функции максимума)

Пусть

1) \(\mathcal{Z}: V \rightarrow\) comp \(\mathbb{R}^l, V \subseteq \mathbb{R}^k, \mathcal{Z}\) непрерывна и равномерно ограничена на \(V\). То есть, \(V \in\) comp \(\mathbb{R}^k\).

2) \(g: V \times \mathbb{R}^l \rightarrow \mathbb{R}, g\) непрерывна по \((v,z) \in V \times \mathbb{R}^l\).

Тогда \(H(v) = \underset{z \in \mathcal{Z} (v)}{\max} \{g(v,z)\}\) - непрерывна на \(V\).

Доказательство.

\(\mathcal{Z}(v) \in \mathcal{B}_R(0) \).

\(g|_{V \times \mathcal{B}_R(0)}\) непрерывна, следовательно, по теореме Кантора, \(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta(\varepsilon) > 0\) такие, что \( \forall v', v'' \in V, ||v' - v''||< \delta, \forall z', z'' \in \mathcal{B}_{R}(0), ||z'-z''|| < \delta\) верно: \(|g(v',z')-g(v'',z'')| < \varepsilon \).

Исследуем непрерывность \(H(v)\) при \(v = v^0 \in V\).

\(\mathcal{Z}\) непрерывна на V, следовательно, для данного \(\delta\) существует \(\tilde\delta(\delta(\varepsilon)) > 0\) такая, что \(\forall v \in \mathcal{B}_{\tilde\delta}(v^0) \cap V, h(\mathcal{Z}(v), \mathcal{Z}(v^0)) < \delta\). Это верно тогда и только тогда, когда \[ \begin{cases} \mathcal{Z}(v) \subseteq \mathcal{Z}(v^0) + \delta\mathcal{B}_1(0),\\ \mathcal{Z}(v^0) \subseteq \mathcal{Z}(v) + \delta\mathcal{B}_1(0). \end{cases} \]

Выберем любое \(v\), такое, что \(||v - v^0|| < \delta\), и проверим, следует ли из этого \(|H(v)-H(v^0)| < \varepsilon\).

Пусть \(z^{0*} \in \) Argmax \( \{g(v^0,z^0) | z^0 \in \mathcal{Z}(v^0)\}, z^{*} \in\) Argmax \(\{g(v,z) | z \in \mathcal{Z}(v)\}, \) \[ \begin{cases} z^{*} \in \mathcal{Z}(v) \subseteq \mathcal{Z}(v^0) + \delta\mathcal{B}_1(0),\\ z^{0*} \in \mathcal{Z}(v^0) \subseteq \mathcal{Z}(v) + \delta\mathcal{B}_1(0). \end{cases} \]

Из этого следует, что: \[ \begin{cases} \exists z' \in \mathcal{Z}(v^0): ||z^* - z'|| < \delta,\\ \exists z'' \in \mathcal{Z}(v): ||z^{*0} - z'|| < \delta. \end{cases} \]

Тогда: \begin{equation} |H(v) - H(v^0)| = |\underset{z \in \mathcal{Z} (v)}{\max}g(v,z) - \underset{z^0 \in \mathcal{Z} (v^0)}{\max}g(v^0,z^0)| \leqslant |g(v,z^*) - g(v^0, z')| < \varepsilon. \end{equation}

При этом, \begin{equation} |H(v^0) - H(v)| \leqslant |g(v^0,z^{0*}) - g(v, z'')| < \varepsilon. \end{equation}

Следовательно, \(H\) непрерывна. Лемма доказана.\(\blacksquare\)

Список литературы

1) Комаров Ю. Лекции по курсу "Оптимальное управление", 2020/2021.

2) Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. "Математическая теория оптимальных процессов", М.: Наука, 1983.

3) Моисеев А.А. "Лекции по математическому анализу", 2021.

Источник — http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=Условия_непрерывности_функции_максимума&oldid=1628