Интегральное преобразование Фурье

Преобразование Фурье — операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами (подобно тому, как музыкальный аккорд может быть выражен в виде суммы музыкальных звуков, которые его составляют).

Определение

Прямое преобразование

Преобразование Фурье функции $$f(t)$$ вещественной переменной является интегральным и задаётся следующей формулой:

\[ F(\lambda) = \int\limits^{+\infty}_{-\infty} f(t) e^{-i\lambda t} dt, \quad F(\cdot): \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}. \]

Обратное преобразование

\[ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int\limits^{+\infty}_{-\infty} F(\lambda) e^{i\lambda t} d\lambda, \quad f(\cdot): \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}. \]

Cвойства

Обозначим Преобразование Фурье $$f(t) \leftrightarrow F(\lambda)$$, где

• $$\rightarrow$$ прямое
• $$\leftarrow$$ обратное

1. Из того, что $$f(x)\in L_1(\mathbb{R})$$ следует, что $$|F(\lambda)| \leq \int\limits^{+\infty}_{-\infty} |f(t)| dt < \infty$$. Отсюда следует, что для $$f(\cdot)\in L_1(\mathbb{R})$$ существует прямое преобразование Фурье. Аналогично для $$F(\lambda)\in L_1(\mathbb{R})$$ следует, что существует обратное преобразование Фурье.
2. Пусть $$f(x)$$ - дифференцируемая на $$\mathbb{R}$$ и существует $$\int\limits_{\mathbb{R}} |f(t)| dt < \infty$$ и $$\int\limits_{\mathbb{R}} |f'(t)| dt < \infty$$. Тогда

\[ F(\lambda) = \left(-\frac{1}{i\lambda}\right) f(t)e^{it\lambda}\Bigl|_{-\infty}^{+\infty} + \frac{1}{i\lambda}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f'(t) e^{-it\lambda} dt =\\ = \left\{ \begin{aligned} & f(+\infty)-f(0) = \int\limits_{0}^{+\infty} f'(t) dt < \infty \Rightarrow \exists f(+\infty) \\ & \text{Если}\quad f(+\infty)\not= 0 \Rightarrow \int\limits_{\mathbb{R}} |f(t)|dt = +\infty\Rightarrow \text{Противоречие} \quad\Rightarrow f(+\infty)= 0 \end{aligned} \right\} =\\ = \frac{1}{i\lambda}\int_{-\infty}^{+\infty} f'(t) e^{-it\lambda} dt \Rightarrow F(\lambda) \leq \frac{1}{|\lambda|} \int_{-\infty}^{+\infty} |f'(t)|dt = o\left(\frac{1}{|\lambda|}\right). \]
Аналогично, если $$f(t)\in C^m (\mathbb{R})$$, и существует $$\int\limits_{\mathbb{R}}|f^{(k)}(t)| dt < \infty, \quad \forall k = 1, \ldots m$$, то $$|F(\lambda)|=o\left(\frac{1}{|\lambda|^m}\right)$$ при $$\lambda\rightarrow\pm\infty$$.

Дифференцирование

---

$$(-it)^k f(t) \leftrightarrow F^{(k)}(\lambda).$$ $$f^{(k)}(t) \leftrightarrow (ik)^k F(\lambda).$$

Масштабирование

---

$$f(\alpha t) \leftrightarrow \frac{1}{|\alpha|}F\left(\frac{1}{\lambda}\right), \quad \alpha\not=0. $$

Следствие: Пусть $$\alpha = -1$$. Тогда $$f(-t)\leftrightarrow F(-\lambda) \Rightarrow$$ свойства чётности и нечётности переносится и на преобразование Фурье.

Линейность

---

$$f(t) \leftrightarrow F(\lambda)$$
$$g(t) \leftrightarrow G(\lambda)$$
$$\qquad \Downarrow$$

$$\forall \alpha, \beta \Rightarrow \alpha f(t) + \beta g(t)\leftrightarrow \alpha F(\lambda) + \beta G(\lambda).$$

Симметричность

---

$$f(t) \leftrightarrow F(\lambda)$$
$$\qquad \Downarrow$$

$$F(t) \leftrightarrow 2\pi f(-\lambda).$$

Распишем: $$F(\lambda) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-it\lambda} f(t) dt = \left\{ \text{Пусть } s=-t\right\} = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{is\lambda} f (-s) ds = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \left(2\pi f(-s)\right) e^{is\lambda}ds$$.
Важно: Не забыть знак и $$2\pi$$.

Сдвиг

---

$$f(t) \leftrightarrow F(\lambda)$$
$$\qquad \Downarrow$$

$$f(t-t_0)\leftrightarrow F(\lambda) e^{-it_0\lambda}.$$

Распишем: Пусть $$g(t) = f(t - t_0)$$.
$$G(\lambda) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-it\lambda} g(t) dt = \left\{ \begin{aligned} &t-t_0=s \\ &t=t_0+s \end{aligned} \right\} = \underbrace{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-is\lambda} f(s) ds}_{F(\lambda)} \cdot e^{-it_0\lambda}.$$
Тогда $$g(t)\leftrightarrow G(\lambda) = F(\lambda) e^{-it\lambda}$$.

Свёртка (интегральная конволюция)

---

Для любых $$f(t)$$, $$g(t)$$ выполняется $$(f * g)(t) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t-s)g(s)ds = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(s) g(t-s) ds$$.

• $$f(t) \leftrightarrow F(\lambda)$$
  $$g(t)\leftrightarrow G(\lambda)$$

$$(f * g)(t) \leftrightarrow F(\lambda)G(\lambda).$$

Распишем: $$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-it\lambda} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t-s)g(s)dsdt =$$ Т. Фубини $$= \left( \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t-s) e^{-i\lambda (t-s)} \left( \int\limits_{-\infty}^{+\infty} g(s) e^{-is\lambda} ds \right) d(t-s)\right) = F(\lambda)G(\lambda).$$

• $$f(t) \leftrightarrow F(\lambda)$$
  $$g(t)\leftrightarrow G(\lambda)$$
  $$F(t)\leftrightarrow 2\pi f(-\lambda)$$
  $$G(t) \leftrightarrow 2\pi g(-\lambda)$$
  $$\qquad \Downarrow$$

$$f(t)g(t)\leftrightarrow \frac{1}{2\pi}(F*G)(\lambda).$$

Распишем: $$(F * G)(t) \leftrightarrow 4\pi^2 f(-\lambda)g(-\lambda) \Leftrightarrow \frac{1}{2\pi}(F*G)(t) \leftrightarrow 2\pi f(-\lambda)g(-\lambda).$$

Интегрирование

---

$$f(t) \leftrightarrow F(\lambda)$$
$$\qquad \Downarrow$$

$$\int\limits_{-\infty}^{t} f(\xi) d\xi \leftrightarrow \frac{1}{i\lambda}F(\lambda).$$

Пусть $$\int\limits_{-\infty}^{t} f(\xi) d\xi = g(t)\in L_1(\mathbb{R}), \quad f(t)\in L_1(\mathbb{R}) \Rightarrow g(t)\rightarrow0$$ при $$t\rightarrow \pm\infty$$.
Распишем: $$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-it\lambda} \int\limits_{-\infty}^{t} f(\xi) d\xi dt = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \int\limits_{-\infty}^{t} f(\xi)d\xi \frac{d(e^{-it\lambda})}{-i\lambda}$$ = $$\left.\left( \underbrace{\left( \int\limits_{-\infty}^{t} f(\xi) d\xi\right)}_{g(t)\rightarrow 0} \frac{e^{-it\lambda}}{-i\lambda}\right)\right|_{-\infty}^{+\infty}$$ + $$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) \frac{e^{-it\lambda}}{i\lambda} dt$$ = $$\frac{1}{i\lambda}F(\lambda).$$

Равенство Парсеваля-Планшереля

---

$$f(t) \leftrightarrow F(\lambda)$$
$$g(t)\leftrightarrow G(\lambda)$$
$$\qquad \Downarrow$$

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} F(\lambda)\overline{G(\lambda)}d\lambda = 2\pi \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t)\overline{g(t)}dt.$$

Распишем: $$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} F(\lambda)\overline{G(\lambda)}d\lambda = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\left( \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-it\lambda} dt\right) \overline{G(\lambda)}d\lambda =$$ Т. Фубини $$= \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \overline{G(\lambda) e^{it\lambda}}d\lambda dt = 2\pi \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) \underbrace{ \overline{\left( \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} G(\lambda) e^{it\lambda} d\lambda\right)}}_{g(t)} dt = 2\pi \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t)\overline{g(t)}dt$$.
Следствие: $$\underbrace{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} |F(\lambda)|^2 d\lambda}_{\text{Энергия в пространстве образов}} = 2\pi\underbrace{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} |f(t)|^2 dt}_{\text{Энергия в исходном пространстве}}.$$