Ряд Фурье

На протяжении всей своей истории человечество стремилось придумать способ, как приближать функции на отрезке какими-то хорошими функциями с известными и приятными свойствами, легко поддающимися анализу. Одно из решений проблемы придумал Жан-Батист Фурье, когда решал уравнение теплопроводности. Здесь изложены самые общие сведения о рядах Фурье.

Тригонометрический ряд Фурье

Наглядная иллюстрация принципа работы тригонометрического ряда Фурье.

Пусть функция $$f(\cdot)$$ ограничена на $$\mathbb{R}$$, $$(2\pi)$$-периодична и интегрируема по Риману на любом конечном отрезке $$[a, b] \subset \mathbb{R}$$. Тогда рядом Фурье для этой функции будем называть следующую формальную запись: \[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} (a_k \cos kx + b_k \sin kx), \] где коэффициенты $$a_k$$ и $$b_k$$ вычисляются по следующим формулам: \[ a_k = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t) \cos kt \,dt, \quad k \in \mathbb{N}_0, \\ b_k = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t) \sin kt \,dt, \quad k \in \mathbb{N}. \]

Сходимость ряда

Ряды хороши тем, что они сходятся. Ряд Фурье хорош тем, что иногда он сходится к значению функции, которую мы разложили (то есть вычислили коэффициенты $$a_k$$ и $$b_k$$) в ряд. Что-то проясняет следующая теорема.
Достаточные условия Дирихле: пусть $$f(\cdot)$$ имеет на $$[-\pi, \pi]$$

• конечное число локальных экстремумов,
• не более счетное число разрывов I рода.

Тогда в любой точке на отрезке $$[-\pi, \pi]$$ ряд сходится поточечно к $$\frac{1}{2}\bigl( f(x+0) + f(x-0) \bigr)$$.

Также представляет интерес и равномерная сходимость рада Фурье. Если

• $$f'(x)$$ существует и кусочно-непрерывна на $$[-\pi, \pi]$$,
• $$f(-\pi) = f(\pi)$$.

Тогда тригонометрический ряд Фурье сходится равномерно и абсолютно.

Обобщением данной теоремы можно считать теорему о почленном дифференцировании рядя Фурье. Пусть

• $$f(x)$$ и ее производные до порядка $$m$$ включительно непрерывны на $$[-\pi, \pi]$$,
• $$f^{(i)}(-\pi) = f^{(i)}(\pi), \quad i = \overline{0,m}$$,
• $$f^{(m + 1)}$$ кусочно-непрервына на $$[-\pi, \pi]$$.

Тогда тригонометрический ряд Фурье можно $$m$$ раз почленно дифференцировать на $$[-\pi, \pi]$$.

Комплексная форма записи

Только что произошло разложение функции в пространстве $$L^2$$ по полной ортогональной системе $$\left\{1, \cos kx, \sin kx \right\},\ k \in \mathbb{N}$$. Попробуем переписать это через комплексную экспоненту, вспомнив представление через нее для перечисленных функций: \[ 1 = e^{i0x}, \quad \cos kx = \frac{e^{ikx} + e^{-ikx}}{2}, \quad \sin kx = \frac{e^{ikx} - e^{-ikx}}{2}, k \in \mathbb{N}. \]

Затем положим

\begin{align*} \begin{cases} c_{-k} &= (a_k + ib_k)/2, \quad k \in \mathbb{N}, \\ c_0 &= a_0 / 2, \\ c_k &= (a_k - ib_k)/2, \quad k \in \mathbb{N}. \end{cases} \end{align*}

Тогда ряд Фурье записывается в виде:

\[ f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} c_k e^{ikx},\\ c_k = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{-ikt}\,dt, \quad k \in \mathbb{Z}. \]

Этот ряд можно представлять как сумму бесконечного числа гармонических колебаний, где

• $$\lvert c_k \rvert$$ — амплитуда колебаний,
• $$k$$ — их частота,
• $$\arg c_k$$ — начальная фаза.

Ряд Фурье в гильбертовом пространстве

Идею разложения функции в ряд можно обобщить. Рассмотрим гильбертово пространство $$H$$ и в нем ортогональная система $$\{ \varphi_1,\ldots,\varphi_n \}$$. Хотим представить любой элемент пространства в виде: \[ f = \sum\limits_{n=1}^\infty c_n \varphi_n. \] Домножая скалярно ряд на $$\varphi_k$$ и используя условие ортогональности, получаем следующее выражение для коэффициентов ряда: \[ c_k = \frac{\left< f, \varphi_k \right>}{\| \varphi_k \|^2}. \] Ряд с такими коэффициентами называется рядом Фурье элемента $$f$$ по ортогональной системе $$\{ \varphi_1,\ldots,\varphi_n \}$$. Данный ряд всегда сходится для ортогональной системы, но его сумма может быть не равна $$f$$. Однако всегда справедливо неравенство Бесселя: \[ \sum\limits_{n=1}^\infty c_n^2 \leqslant \|f\|^2. \] Если система является полной (то есть если для любого $$n$$ $$\left< g, \varphi_n \right> = 0$$, то $$g=0$$), то система является также замкнутой (то есть для которой неравенство Бесселя переходит в равенство Парсеваля: \[ \sum\limits_{n=1}^\infty c_n^2 = \|f\|^2. \]