Теория двойственности Фенхеля-Моро

Определения

Пусть $$X$$ — гильбертово пространство.
Через $$\overline{\mathbb{R}}$$ будем обозначать расширенную вещественную прямую, $$\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty; +\infty \right\}$$.
Будем рассматривать функции $$f: X \to \overline{\mathbb{R}}$$.
Определение 1. Надграфиком функции $$f$$ называется множество \[ \text{epi} \, f = \left\{ \left( x,\alpha \right) \in X\times \mathbb{R} : f(x) \leqslant \alpha\right\}. \]
Определение 2. Эффективным множеством функции $$f$$ называется множество \[ \text{dom} \, f = \left\{ x \in X : f(x) \lt +\infty \right\}. \]
Определение 3. Функция $$f$$ называется собственной, если $$\text{dom} \, f \neq \varnothing$$ и $$f(x) \gt -\infty \; \forall x$$.

Определение 4. Функция $$f$$ называется выпуклой, если ее надграфик $$\text{epi} \, f$$ является выпуклым множеством.

Определение 5. Функция $$f$$ называется замкнутой, если ее надграфик $$\text{epi} \, f$$ замкнут.

Сопряженная функция

Определение. Функцией, сопряженной к $$f$$, называется функция, определенная формулой \[ f^*(x^*) = \underset{x \in X}{\text{sup}}\left( \left\langle x^*,x \right\rangle - f(x) \right), \] где $$x^*$$ — обозначение для аргумента сопряженной функции.
Из определения сопряженной функции вытекает неравенство Юнга-Фенхеля \[ f^*(x^*) + f(x) \geqslant \left\langle x, x^* \right\rangle \; \forall x,x^* \in X. \] Вторая сопряженная функция $$f^{**}$$ определяется по формуле $$f^{**}=(f^*)^*$$.
Пример 1. Для аффинной функции $$f(x) = \left\langle a,x \right\rangle + b$$ сопряженная функция вычисляется по формуле \[ f^*(x^*) = \begin{cases} -b, &x^* = a;\\ +\infty, &x^* \neq a. \end{cases} \]
Пример 2. Для произвольной выпуклой функции $$f$$ умножение на положительный скаляр $$\lambda \gt 0$$ определяется соотношением \[ \left( \lambda f \right)(x) = \lambda f(x), \; \forall x \in X. \] Непосредственно вычисляется, что \[ \left( \lambda f \right)^*(x^*) \equiv \lambda f^*(x^*/\lambda), \; x^* \in X. \] Пример 3. Пусть $$M$$ — евклидово пространство, и пусть $$f: M \to \mathbb{R}$$ — функция $$f(x) = \left\langle a,x \right\rangle$$, где $$a \in M$$. Поскольку \[ \underset{x\in M}{\text{sup}}\left\{ \left\langle s,x \right\rangle - \left\langle a,x \right\rangle \right\} = \underset{x\in M}{\text{sup}} \left\langle s-a,x \right\rangle = \begin{cases} 0, &s = a;\\ +\infty, &s \neq a. \end{cases} \] для всех $$s \in M$$, то сопряженная функция $$f^*$$ — индикаторная функция $$\delta_\left\{ a \right\}$$ одноэлементного множества $$\left\{ a \right\}$$.

Вспомогательная лемма

Лемма. Пусть функция $$f$$ — выпуклая, замкнутая, собственная. Тогда $$f^*$$ — также собственная функция.

Доказательство

Докажем, что $$f^∗(x^∗) \gt -\infty$$ $$\forall x^∗ \in X$$. Возьмем $$x_0 \in \text{dom} \, f \neq \varnothing$$. Тогда $$f^∗(x^∗) \geqslant \left\langle x_0, x^∗\right\rangle − f(x_0) \gt -\infty$$, так как $$f(x_0) \lt +\infty$$.
Остается доказать существование вектора $$y^∗ \in X$$, для которого $$f^∗(y^∗) \lt +\infty$$.
Очевидно, точка $$(x_0, f(x_0) − 1)$$ не принадлежит замкнутому выпуклому множеству $$\text{epi} \, f$$. Следовательно, по теореме об отделимости ее можно строго отделить от выпуклого замкнутого множества $$\text{epi} \, f$$. Поэтому существуют $$y^∗ \in X$$ и $$\beta \in \mathbb{R}$$ такие, что \begin{equation} \label{1} \underset{(x,\alpha) \in \text{epi} \, f}{\text{sup}}\left\{ \beta\alpha + \left\langle y^*,x \right\rangle \right\} \lt \beta (f(x_0) - 1) + \left\langle y^*, x_0 \right\rangle. \end{equation} Докажем, что $$\beta \lt 0$$. Действительно, предположим обратное. Случай $$\beta \gt 0$$ невозможен, так как $$(x_0, \alpha) \in \text{epi} \, f\;$$ $$\forall \alpha \geqslant f(x_0) \neq +\infty$$ и, значит, при $$\beta \gt 0$$ имеет место $$\underset{(x_0,\alpha) \in \text{epi} \, f}{\text{sup}}\beta \alpha = +\infty$$, что противоречит неравенству ($$\ref{1}$$).
Пусть теперь $$\beta = 0$$. Тогда \[ \underset{(x,\alpha) \in \text{epi} \, f}{\text{sup}} \left\langle y^*, x \right\rangle \lt \left\langle y^*, x_0 \right\rangle, \] хотя \[ (x_0, f(x_0)) \in \text{epi} \, f \implies \underset{(x,\alpha) \in \text{epi} \, f}{\text{sup}} \left\langle y^*, x \right\rangle \geqslant \left\langle y^*, x_0 \right\rangle. \] Полученное противоречие доказывает, что $$\beta \lt 0$$. Поэтому, в силу положительной однородности неравенства ($$\ref{1}$$) по переменной $$(y^∗, \beta)$$, не теряя общности, будем считать, что $$\beta = -1$$.
В силу ($$\ref{1}$$) имеем \[ f^*(y^*) = \underset{x}{\text{sup}} \left\{ -f(x) + \left\langle y^*,x \right\rangle \right\} = \underset{(x,\alpha) \in \text{epi} \, f}{\text{sup}} \left\{ -\alpha + \left\langle y^*,x \right\rangle \right\} \lt -(f(x_0) - 1) + \left\langle y^*, x_0 \right\rangle \implies f^*(y^*) \lt +\infty. \] Значит, функция $$f^*$$ является собственной.$$\;\;\blacksquare$$

Теорема Фенхеля-Моро

Теорема. Пусть функция $$f$$ — выпуклая, замкнутая, собственная. Тогда $$f^{**} = f$$.

Доказательство

Покажем, что $$f^{**} \leqslant f$$. В силу неравенства Юнга-Фенхеля $$\forall x \in X$$ имеем \[ f(x) \geqslant \left\langle x, x^* \right\rangle - f^*(x^*) \; \forall x^* \in X \implies f(x) \geqslant \underset{x^*}{\text{sup}}\left\{ \left\langle x, x^* \right\rangle - f^*(x^*) \right\} = f^{**}(x). \] Остается показать, что $$f^{**} \geqslant f$$. Предположим противное. Тогда существует $$x_0 \in X$$, для которого $$f^{∗∗}(x_0) \lt f(x_0)$$. Поэтому точка $$(x_0, f^{∗∗}(x_0))$$ строго отделима от выпуклого замкнутого множества $$\text{epi} \, f$$. Значит, существуют $$y^∗ \in X$$ и $$\beta \in \mathbb{R}$$ такие, что \begin{equation} \label{2} \beta f^{**}(x_0) + \left\langle y^*,x_0 \right\rangle \gt \underset{(y,\alpha) \in \text{epi} \, f}{\text{sup}}\left( \beta\alpha + \left\langle y^*,y \right\rangle \right). \end{equation} Докажем, что $$\beta \lt 0$$. Действительно, случай $$\beta \gt 0$$ невозможен, что обосновывается так же, как и при доказательстве вспомогательной леммы, с учетом того, что $$\text{dom} \, f \neq \varnothing$$.
Пусть теперь $$\beta = 0$$. Тогда \[ \gamma = \left\langle y^*, x_0 \right\rangle - \underset{y \in \text{dom} \, f}{\text{sup}} \left\langle y^*, y \right\rangle \gt 0. \] В силу леммы функция $$f^*$$ является собственной. Поэтому существует $$y^*_1 \in \text{dom} \, f^* \neq \varnothing$$. Для $$t \gt 0$$ имеем \[ f^*(y^*_1+ty^*) = \underset{y \in \text{dom} \, f}{\text{sup}} \left( \left\langle y^*_1 + ty^*, y \right\rangle - f(y) \right) \leqslant \underset{y \in \text{dom} \, f}{\text{sup}} \left( \left\langle y^*_1, y \right\rangle - f(y) \right) + t \underset{y \in \text{dom} \, f}{\text{sup}} \left\langle y^*, y \right\rangle = f^*(y^*_1) + t \underset{y \in \text{dom} \, f}{\text{sup}} \left\langle y^*, y \right\rangle. \] Отсюда в силу неравенства Юнга-Фенхеля для функции $$f^*$$ вытекает \[ f^{**}(x_0) \geqslant \left\langle y^*_1 + ty^*, x_0 \right\rangle - f^*(y^*_1 + ty^*) \geqslant \left\langle y^*_1, x_0 \right\rangle + t \left\langle y^*, x_0 \right\rangle - f^*(y^*_1) - t \underset{y \in \text{dom} \, f}{\text{sup}} \left\langle y^*, y \right\rangle = \left\langle y^*_1, x_0 \right\rangle - f^*(y^*_1) + t\gamma, \;\forall t\gt 0. \] Получили противоречие, так как $$\gamma \gt 0$$ и, значит, при больших $$t$$ значение $$t\gamma$$ может быть сделано как угодно большим и, следовательно, при достаточно больших $$t \gt 0$$ последнее неравенство выполняться не может.
Таким образом, доказано, что $$\beta \lt 0$$; значит, не теряя общности рассуждений, будем считать, что $$\beta = -1$$. В силу неравенства ($$\ref{2}$$) имеем \[ -f^{**}(x_0) + \left\langle y^*, x_0 \right\rangle \gt \underset{y \in \text{dom} \, f}{\text{sup}} \left( -f(y) + \left\langle y^*,y \right\rangle\right) = f^*(y^*), \] откуда \[ \left\langle y^*, x_0 \right\rangle \gt f^*(y^*) + f^{**}(x_0), \] что противоречит неравенству Юнга–Фенхеля для функции $$f^∗$$. Полученное противоречие доказывает, что $$f^{**} \geqslant f$$ и, значит, $$f^{∗∗} = f$$. $$\;\;\blacksquare$$

Приложения теории двойственности

Связь опорной и индикаторной функций множества

Определим опорную функцию множества $$A \subset X$$ на $$X$$ соотношением \begin{equation} \label{3} \rho(x^*|A) = \underset{y \in A}{\text{sup}} \left\langle x^*, y \right\rangle, x^* \in X. \end{equation} Введем индикаторную функцию следующим образом \[ \delta_A(x) = \begin{cases} 0, &x \in A;\\ +\infty, &x \notin A. \end{cases} \] Предложение 1. Пусть $$\delta_A(\cdot)$$ — индикаторная функция выпуклого замкнутого множества $$A$$. Тогда $$\rho^*(\cdot|A) = \delta_A(\cdot)$$.
Доказательство
Функция $$\delta_A$$ является выпуклой, замкнутой и собственной. Поэтому по теореме Фенхеля-Моро $$\delta_A^{**} = \delta_A$$. Кроме того, для произвольного $$x^*$$ имеем \[ \delta_A^*(x^*) = \underset{x}{\text{sup}}\left\{ \left\langle x, x^* \right\rangle - \delta_A(x)\right\} = \underset{x \in A}{\text{sup}} \left\{ \left\langle x, x^* \right\rangle \right\} = \rho(x^*| A). \] Следовательно, $$\delta_A = \delta_A^{**} = \rho^*(\cdot|A)$$. $$\;\;\blacksquare$$

Евклидово расстояние от точки до множества

Для евклидова расстояния $$d(x,ℳ) = \underset{y \in ℳ}{\text{min}} \left\| x -y \right\|$$ от точки $$x$$ до множества $$ℳ$$, $$ℳ \in \text{conv} \;\mathbb{R}^n$$ — выпуклый компакт, справедливы следующие соотношения двойственности \[ d(x,ℳ) = \underset{\left\| l \right\| \leqslant 1}{\text{max}} \left\{ \left( l,x \right) - \rho\left( l|ℳ \right) \right\}, \] \[ d^2(x,ℳ) = \underset{l}{\text{max}} \left\{ \left( l,x \right) - \rho\left( l|ℳ \right) - \frac{1}{4} \left( l,l \right) \right\}, \] где $$\rho\left( l|ℳ \right)$$ — опорная функция множества $$ℳ$$.
Покажем справедливость второго соотношения.
Имеем функцию $$\varphi(x) = d^2(x,ℳ) = \underset{y \in ℳ}{\text{min}}\left( x-y, x-y \right)$$. Поскольку функция $$\varphi$$ является выпуклой, замкнутой и собственной, по теореме Фенхеля-Моро $$\varphi^{**} = \varphi$$.
Найдем сопряженную функцию к $$\varphi(x)$$ \[ \varphi^*(l) = \underset{x}{\text{sup}}\left\{ \left( l,x \right) - \varphi(x) \right\} = \underset{x}{\text{sup}}\;\underset{y \in ℳ}{\text{max}} \left\{ \left( l,x \right) - \left( x-y,x-y \right)\right\} = \underset{y \in ℳ}{\text{max}} \;\underset{x}{\text{sup}} \left\{ \left( l,x \right) - \left( x-y,x-y \right)\right\} = \underset{y \in ℳ}{\text{max}} \left(\left( l, \frac{l}{2} + y \right) - \frac{1}{4}\left( l,l \right)\right)= \rho\left( l|ℳ \right) + \frac{1}{4}\left( l,l \right), \] откуда, очевидно, следует второе соотношение. $$\;\;\blacksquare$$

Расстояние по Хаусдорфу между двумя компактами

Пусть $$X = \mathbb{R}^n$$, $$A$$ и $$B$$ — выпуклые компакты.
Лемма 1. \[ h\left( A, B \right) = \underset{\left\| l \right\| \leqslant 1}{\text{max}}\left| \rho\left( l|A \right) - \rho\left( l|B \right)\right|, \] где $$h\left( A, B \right)$$ — расстояние по Хаусдорфу между множествами $$A$$ и $$B$$.
Замечание 1. $$d\left( x, B \right) = h\left( x, B \right) = \underset{\left\| l \right\| \leqslant 1}{\text{max}}\left| \left( l,x \right) - \rho\left( l|B \right)\right|$$.

Опорная функция пересечения множеств

Приведем три вспомогательных утверждения без доказательства $$^{[1]}$$.
Лемма 2. Для любых функций $$f_1,{...},f_n$$ имеет место \[ \left( f_1 \oplus f_2 \oplus {...} \oplus f_n \right)^* = f_1^* + f_2^* + {...} + f_n^*. \] Предложение 2. Пусть $$f$$ — выпуклая собственная функция и $$X = \mathbb{R}^n$$. Тогда ее замыкание $$\text{cl} \, f$$ также является собственной функцией.
Предложение 3. Для выпуклой функции $$f$$ имеет место \[ (\text{cl} \, f)^* = f^*. \]
Определим опорную функцию соотношением ($$\ref{3}$$).
Предложение 4. Пусть $$A, B$$ — выпуклые ограниченные подмножества $$\mathbb{R}^n$$ и $$\text{int} \, A \cap \text{int} \, B \neq \varnothing$$. Тогда \[ \rho\left( \cdot | A\cap B \right) = \text{cl}\left( \rho\left( \cdot |A \right) \oplus \rho\left( \cdot |B \right) \right). \] Доказательство
Для ограниченного множества опорная функция выпукла и непрерывна на $$\mathbb{R}^n$$. Поэтому в силу леммы 2 и предложения 1 для произвольного $$x$$ имеем \[ \left( \rho\left( \cdot |A \right) \oplus \rho\left( \cdot |B \right) \right)^*(x) = \rho^*(x| A) + \rho^*(x| B) = \delta_A(x) + \delta_B(x) = \delta_{A\cap B}(x) = \rho^*( x | A\cap B ), \] откуда в силу предложения 3 имеем \begin{equation} \label{4} (\text{cl} \, \varphi)^* = \rho^*( \cdot | A\cap B ), \end{equation} где функция $$\varphi$$ определяется соотношением $$\varphi(x) = \left( \rho\left( \cdot |A \right) \oplus \rho\left( \cdot |B \right) \right)(x)$$. Здесь мы использовали легко проверяемое свойство индикаторных функций, а именно, что для любых двух множеств $$A, B$$ выполняется $$\delta_A + \delta_B = \delta_{A\cap B}$$. Функция $$\varphi$$ является собственной, так как она сама не равна тождественно $$+\infty$$, и в силу доказанного выше сопряженная к ней функция также не равна тождественно $$+\infty$$. Поэтому в силу предложения 2 функция $$\text{cl} \, \varphi$$ также является собственной. Применяя к равенству ($$\ref{4}$$) теорему Фенхеля-Моро, имеем $$\rho\left( \cdot | A\cap B \right) = \text{cl}\left( \rho\left( \cdot |A \right) \oplus \rho\left( \cdot |B \right) \right).$$ $$\;\;\blacksquare$$

Список литературы

1. Арутюнов А. В. "Лекции по выпуклому и многозначному анализу", М.: ФИЗМАТЛИТ, 2014.
2. Востриков И.В. "Лекции по динамическому программированию и процессам управления", 2022.