|
|
| Строка 1: |
Строка 1: |
| | | | |
| − | == Модель с запаздыванием ==
| |
| − |
| |
| − | Моделью с дискретным временем с учетом эффекта запаздывания называется модель следующего вида:
| |
| − |
| |
| − | \begin{equation*}
| |
| − | u_{t+1} = f(u_{t}, u_{t-1}, ..., u_{t - T}), T \in \mathbb{N}, T \geqslant 1.
| |
| − | \end{equation*}
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Для определения системы необходимо ввести (T + 1) исходных данных: $$u_{0}, u_{1}, ..., u_{T}$$.
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | == Преобразование модели ==
| |
| − |
| |
| − | Модель с запаздыванием можно переписать в виде дискретной системы из (T + 1)-ого уравнения. Для этого введем следующие обозначения:
| |
| − | \begin{equation*}
| |
| − | v_{1}(t) = u(t), v_{2}(t) = u(t-1), ..., v_{T + 1}(t) = u(t-T).
| |
| − | \end{equation*}
| |
| − |
| |
| − | Тогда получаем:
| |
| − |
| |
| − | \begin{equation*}
| |
| − | v_{1}(t + 1) = f(v_{1}(t), v_{2}(t),..., v_{T+1}(t)),\\
| |
| − | v_{2}(t+1) = v_{1}(t),\\
| |
| − | ...\\
| |
| − | v_{T+1}(t+1) = v_{T}(t).
| |
| − | \end{equation*}
| |
| − |
| |
| − | Таким образом, системы с запаздыванием являются частным случаем многомерных дискретных систем.
| |
| − |
| |
| − | == Устойчивость неподвижных точек ==
| |
| − |
| |
| − | Рассмотрим уравнение $$v_{t+ 1} = f(v^{1}_{t}, v^{2}_{t},..., v^{T+1}_{t})$$. Для исследования неподвижных точек удобно воспользоваться линеаризацией и рассмотреть матрицу
| |
| − |
| |
| − | \begin{equation*}
| |
| − | A = \Vert a_{ij} \Vert_{(T+1)\times (T+1)} = \left(
| |
| − | \begin{array}{ccccc}
| |
| − | \dfrac{\partial f}{\partial v^{1}} & \dfrac{\partial f}{\partial v^{2}} & \ldots & \dfrac{\partial f}{\partial v^{T}} & \dfrac{\partial f}{\partial v^{T+1}}\\
| |
| − | 1 & 0 & \ldots & 0 & 0\\
| |
| − | 0 & 1 & \ldots & 0 & 0\\
| |
| − | \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
| |
| − | 0 & 0 & \ldots & 1 & 0\\
| |
| − | \end{array}
| |
| − | \right)
| |
| − | \end{equation*}
| |
| − |
| |
| − | === Характеристический многочлен ===
| |
| − | Характеристический многочлен матрицы А имеет вид
| |
| − | $$\sum\limits_{i = 0}^{t} a_{1(i+1)} \lambda^{T-i} - \lambda^{T+1} = 0.$$
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | ==== Доказательство ====
| |
| − |
| |
| − | Докажем по индукции. База индукции:
| |
| − |
| |
| − | \begin{equation*}
| |
| − | A = \left(
| |
| − | \begin{array}{cc}
| |
| − | a_{11} & a_{12}\\
| |
| − | 1 & 0\\
| |
| − | \end{array}
| |
| − | \right)
| |
| − | \end{equation*}
| |
| − |
| |
| − | \begin{equation*}
| |
| − | \left| A - \lambda E \right| = \lambda^{2} - a_{11} \lambda -a_{12} = 0 \Leftrightarrow a_{11} \lambda^{1} + a_{12} \lambda^{0} - \lambda^{2} = 0.
| |
| − | \end{equation*}
| |
| − |
| |
| − | Сделаем переход от n к (n+1):
| |
| − |
| |
| − | \begin{equation*}
| |
| − | \vert A - \lambda E \vert = \left|
| |
| − | \begin{array}{ccccc}
| |
| − | a_{11} - \lambda & a_{12} & \ldots & a_{1n} & a_{1(n+1)}\\
| |
| − | 1 & -\lambda & \ldots & 0 & 0\\
| |
| − | 0 & 1 & \ldots & 0 & 0\\
| |
| − | \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
| |
| − | 0 & 0 & \ldots & 1 & -\lambda\\
| |
| − | \end{array}
| |
| − | \right|
| |
| − | \end{equation*}
| |
| − |
| |
| − | Раскладывая матрицу по последнему столбцу:
| |
| − | \begin{equation*}
| |
| − | \vert A - \lambda E \vert = -\lambda \vert A_{n} - \lambda E \vert + a_{1(n+1)}\cdot 1\cdot = \sum\limits_{i = 0}^{t} a_{1(i+1)} \lambda^{T-i} - \lambda^{T+1}.$$
| |
| − | \end{equation*}
| |
| − |
| |
| − | Утверждение доказано.
| |
| − |
| |
| − | Таким образом, можно найти собственные значения матрицы, которые являются корнями характеристического многочлена. Если все $$\vert \lambda_{i} \vert < 1$$, то точка является асимптотически устойчивой.
| |
