Системы множеств

Аннотация

В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории меры.

Операции над множествами

Определение. Объединением множеств $A$ и $B$ называется множество $C$ (обозначается $C = A \cup B$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $A$ или $B$.

Множество $C$ называется объединением множеств $A_\alpha$, где $\alpha$ пробегает множество индексов $I$, и обозначается $C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $A_\alpha$, т.е. $$x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .$$

Определение. Пересечением множеств $A$ и $B$ называется множество $C$ (обозначается $C= A \cap B)$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $A$ и $B$.

Множество $C$ называется пересечением множеств $A_\alpha$, где $\alpha$ пробегает множество индексов $I$, и обозначается $C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $A_\alpha$, т.е. $$x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .$$

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими свойствами:

1) коммутативность: $$A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;$$

2) ассоциативность: $$(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);$$

3) дистрибутивность: $$A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)\\ A \cap(B \cup C) =(A \cap B) \cup(A \cap C).$$

Определение. Разностью множеств $A$ и $B$ называется множество $C$ (обозначается $A \backslash B$ ), состоящее из элементов множества $A$, не принадлежащих множеству $B$.

Определение. Симметрической разностью множеств $A$ и $B$ называется множество $A \Delta B=$ $(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$.

Ключевые инструменты

Определение. Непустая система множеств $K$ называется кольцом, если для любых $A,\ B \in K$: $$1) A \Delta B \in K,$$

$$2) A \cap B \in K.$$

Так как для любых $A$ и $B$: $A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$ и $A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$,то из $A, B \in K$ вытекает также принадлежность к $K$ множеств $A \cup B$ и $A \backslash B$.

Таким образом, кольцо множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида $$C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k$$

Любое кольцо содержит пустое множество $\varnothing$, так как $A \backslash A=\varnothing$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

Определение. Множество $E$ называется единицей системы множеств $S$, если оно принадлежит $S$ и если для любого $A \in S$ имеет место равенство: $$A \cap E=A.$$

Таким образом, единица системы множеств $S$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $S$ множества.

Определение. Минимальным кольцом $K(S)$, где $S$ – некоторое семейство множеств, называется кольцо $K$, которое содержится в любом кольце, содержащем $S$.

Рассмотрим все кольца, содержащие $S$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $S$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $K(S)$. Таким образом, минимальное кольцо существует. В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.

Объединение попарно непересекающихся множеств $A_1, A_2, ..., A_n$ будем обозначать $\coprod_{k=1}^n A_k$.

Определение. Непустое семейство множеств $S$ из $X$ называется полукольцом, если для любых множеств $A, B \in S \quad A \cap B \in S$ и $A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$, где $A_1, A_2, ..., A_n \in S$.

Пример. Множество полусегментов ${[a, b)}$ вещественной прямой образует полукольцо.

Замечание. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:

а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;

б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости);

в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $[0; \pi].$

Определение. Кольцо $K$ называется $\sigma$-кольцом, если для любой последовательности множеств $\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$, объединение $\cup_{n=1}^{\infty} A_n$ также содержится в $K$.

Определение. Кольцо $K$ называется $\delta$-кольцом, если для любой последовательности множеств $\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$, пересечение $\cap_{n=1}^{\infty} A_n$ также содержится в $K$.

Определение. Кольцо множеств с единицей называется алгеброй, $\sigma$-кольцо множеств с единицей называется $\sigma$-алгеброй, $\delta$-кольцо множеств с единицей называется $\delta$-алгеброй.

Лемма № 1

Пусть $S$ — полукольцо, множества $A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$, причем множества $B_1, B_2, \ldots, B_n$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$ таких, что $A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$.

Доказательство.

По индукции. Пусть $n=1$. Представим рассматриваемое множество в виде $A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$. В силу определения полукольца $A \cap B_1 \in S$, поэтому возможно представление $A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$, где все $A_j \in S$, откуда и следует утверждение.

Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $n$. Докажем его для $n+1$. Представим рассматриваемое множество в виде $$\begin{equation*} A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\\ =\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right), \end{equation*}$$ где все $C_{i j} \in S$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.

Лемма доказана.

Лемма № 2 (о конечном разложении)

Пусть:

1) $S$ — полукольцо,

2) $A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$,

3) $\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$,

4) $\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$.

Тогда $\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$ такие, что $A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$.

Доказательство.

Докажем это утверждения по индукции.

При $n=1$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца.

Пусть теперь утверждение доказано для $n=k$, докажем его для $n=k+1$.

Итак, пусть $A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $A_k$ ). Пусть также $A_{k+1}$ не пересекается с $A_1, \ldots A_k$. Для каждого $B_i (i=\overline{1, l})$ рассмотрим $B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$. Тогда исходное множество $A$ можно представить в виде

$$\begin{equation*} A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right). \end{equation*}$$

Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$, поскольку множества $B_i$ дают разложение $A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$ и $A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$, $i=\overline{1, k}$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:

$$\begin{equation*} A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\\ =\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) . \end{equation*}$$ Лемма доказана.

Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом

Пусть $S$ — полукольцо, $K(S)$ — минимальное кольцо, порожденное $S$, тогда $K(S)$ состоит из элементов вида $\coprod_{k=1}^n A_k$, где $A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$.

Доказательство. Пусть $K(S)$ — совокупность всевозможных множеств вида $\coprod_{k=1}^n A_k$, где $A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$. Докажем, что $K(S)$ —минимальное кольцо над $S$.

Рассмотрим два множества указанного вида: $A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$.

Сначала докажем, что $A \cup B \in K(S)$. Если $A \cap B=\varnothing$, то это очевидно. Если же $A \cap B \neq \varnothing$, то докажем, что $A \backslash B \in K(S)$. Для этого рассмотрим два случая:

а) Частный случай: $A \in S$. Тогда в силу леммы $A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$, где все $C_i \in S$. Стало быть, $A \backslash B \in K(S)$;

б) Общий случай: $A$ не обязательно принадлежит $S$. Но тогда $A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$.

Теперь докажем, что $A \triangle B \in K(S)$. В самом деле, $A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$. Теорема доказана.

Примеры

1. Для любого множества $A$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $E=A$.

2. Для любого непустого множества $A$ система, состоящая из множества $A$ и пустого множества $\varnothing$, образует алгебру множеств с единицей $E=A$.

3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $A$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $A$ конечно.

Борелевские множества

Введем понятие канторова множества. Из отрезка $[0,1]$ удалим интервал $(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$, из оставшегося множества – интервалы $(\frac{1}{9}, \frac{2}{9})$ и $(\frac{7}{9}, \frac{8}{9})$, и т.д. В итоге получится множество, не содержащее ни одного интервала. Оно замкнуто, так как его дополнение открыто, имеет меру нуль, так как дополнение к нему имеет меру единица: $\frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{4}{27} + \dots = 1$, и имеет мощность континуума, так как входящие в него числа в троичной системе – это всевозможные бесконечные дроби, состоящие из нулей и двоек.

Определение. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.

Заметим, что мощность всех борелевских множеств на прямой – континуум (это следует из того, что всякое открытое множество представимо в виде объединения попарно непересекающихся интервалов). Кроме того, борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма-алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна).

Утверждение. Борелевская мера неполна.

Доказательство. Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $K$. По определению оно получается путем удаления счетного числа интервалов из отрезка, поэтому канторово множество является борелевским. Рассмотрим множество всех его подмножеств $2^K$. По определению полной меры любое множество $A \in 2^K$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $2^K$, а это гиперконтинуум — противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.

Теорема Любое открытое множество $G \subset \mathrm{R}^m$ измеримо по Лебегу.

Доказательство. Накроем все пространство $\mathrm{R}^m$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $G$. Обозначим их $\Delta_i^{0}$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $\Delta_i^{1}$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{i=1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$, но справедливо и обратное включение $\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{i=1}^{\infty} \Delta_i^n \supset G$, откуда следует равенство. Теорема доказана.

Множество Витали: пример неизмеримого по Лебегу множества

Опираемся на аксиому выбора. Рассмотрим отрезок $[0,1]$. Для каждого $x \in[0,1]$ определим класс $K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $[0,1]$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $[0,1]$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны. Более подробно о построении множества Витали можно изучить [5].

Пример измеримого по Лебегу, но не по Борелю множества

Рассмотрим функцию $f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$ на отрезке $[0,1]$, где $c(x)$ - канторова лестница. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $g$. Мера образа канторова множества равна $\frac{1}{2}$, так как мера образа его дополнения равна $\frac{1}{2}$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $A$. Тогда его прообраз $D=f^{-1}(A)$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $A$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $D$ при измеримом отображении $g$ ).

Определение. Борелевская сигма-алгебра — минимальная сигма-алгебра, порожденная топологией. Под топологией понимаем введение класса открытых множеств.

Замечание 1. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.

Замечание 2. Легко видеть, что пересечение произвольного числа $\sigma$-алгебр — снова некоторая $\sigma$-алгебра, поэтому наименьшая $\sigma$-алгебра $\sigma(R)$, содержащая данное множество $R \subset 2^X$ совпадает с пересечением всех $\sigma$-алгебр, содержащих $R$. В частности, если в качестве $R$ взять некоторую топологию, то соответствующая $\sigma(R)$ называется борелевской $\sigma$-алгеброй, соответствующей топологии R, а элементы этой $\sigma$-алгебры — борелевскими подмножествами $X$. Ясно, что борелевская $\sigma$-алгебра $\sigma(R)$ содержит не только все открытые, но и все замкнутые множества топологии $R$, и может быть также определена как наименьшая $\sigma$-алгебра, содержащая все замкнутые множества.

Список литературы

1. Точилин П. А., Курс занятий "Функциональный анализ", 2021-2022 г.

2. Моисеев Е. И., Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

3. Полосин А. А., Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.

5. Гелбаум, Б., Олмстед, Дж. "Контрпримеры в анализе", М: ЛКИ, 2007 г.