Метрическое пространство

Определение

Определение 1: Метрическим пространством $$(M, d)$$ называется множество элементов $$x, y,\dots,$$ в котором любой паре элементов $$x, y$$ поставлено в соответствие некоторое число $$d(x,y)$$, называемое метрикой или расстоянием, удовлетворяющее следующим аксиомам:

1. $$d(x,y) \geqslant 0$$, причем $$d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y~~\forall x,y \in M$$.
2. $$d(x,y) = d(y,x)~~\forall x,y \in M$$.
3. $$d(x,y) \leqslant d(x,z) + d(z,y)~~\forall x,y,z \in M$$.

Вспомогательные определения и утверждения

Примеры метрик:

• $$M$$ = $$\mathbb{R},~~d(x,y) = |x-y|$$.
• $$M$$ = $$\mathbb{R^n},~~d(x,y) = \sqrt{(x_1-y_1)^2+\dots+(x_n-y_n)^2}$$.
• $$M$$ = $$\mathbb{C},~~z=x+iy,~~d(z_{1},z_{2}) = |z_{1}-z_{2}|$$.
• $$M$$ = $$C[a,b],~~d(f,g) = \max \limits_{x \in [a,b]}|f(x) - g(x)|$$.
• $$M$$ = $$C^k[a,b],~~d(f,g) = \sum \limits_{i = 0}^{k}\max \limits_{x \in [a,b]}|f^{(i)}(x) - g^{(i)}(x)|$$.
• $$M$$ = $$L_{p}(X,\mu),~~p \geq 1, ~~d(f,g) = ||f-g||_{L_{p}}=(\int \limits_{X}{|f(x)-g(x)|^{p}d\mu} )^{\frac{1}{p}}$$.
• $$M$$ = $$L_{\infty}(X,\mu), ~~d(f,g) = ||f-g||_{L_{\infty}}=\underset{x \in X}{\text{esssup}}|f(x) - g(x)|$$.
• $$M$$ = $$l_{p}=\{x=(x_{1},x_{2},...):\sum_{k=1}^{\infty }{|x_{k}|^{p} < \infty} \},~~p \geq 1, ~~d(x,y) = ||x - y||_{l_{p}} = \sqrt[p]{\sum_{k=1}^{\infty }|x_{k}-y_{k}|^{p} } $$.
• $$M$$ = $$l_{\infty}=\{x=(x_{1},x_{2},...):\underset{n \in \mathbb{N}}{\text{sup}}|x_n| < \infty \},~~d(x,y) = \underset{n \in \mathbb{N}}{\text{sup}}|x_n - y_n|$$.

Лемма 1. Если $$d$$ $$-$$ метрика, то $$\dfrac{d}{1+d}$$ $$-$$ тоже метрика.

Доказательство: Из выполнения аксиом 1 и 2 для функции $$d$$ очевидно следует выполнение их и для функции $$\dfrac{d}{1+d}$$, поэтому достаточно доказать выполнение неравенства треугольника. Пусть $$d = d(x,y), d_1 = d(x,z), d_2 = d(z,y)$$, итак, мы хотим доказать, что выполнено неравенство: \[ \dfrac{d}{1+d} \leqslant \dfrac{d_1}{1+d_1} + \dfrac{d_2}{1+d_2}, \] что эквивалентно выполнению неравенства: \[ 1-\dfrac{1}{1+d} \leqslant 2 - \dfrac{1}{1+d_1} - \dfrac{1}{1+d_2}. \] Достаточно проверить, что \[ \dfrac{1}{1+d_1} + \dfrac{1}{1+d_2} \leqslant 1 + \dfrac{1}{1+d_1 + d_2}. \] Приведем к общему знаменателю: \[ \dfrac{d_1 + d_2 + 2}{(1+d_1)(1+d_2)} \leqslant \dfrac{d_1 + d_2 + 2}{1+d_1+d_2}. \] Данное неравенство верно, если \[ (1+d_1)(1+d_2) \geqslant 1+d_1+d_2, \] что равносильно $$d_1d_2 \geqslant 0$$ $$\blacksquare$$

Определение 2: Последовательность $$\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$$, где все $$x_{n} \in M$$, называется сходящейся к $$x \in M$$, если $$\lim _{n \rightarrow \infty} d\left(x_{n}, x\right)=0$$.

Определение 3: Две последовательности $$\left\{x_n\right\}$$ и $$\left\{y_n\right\}$$ называются эквивалентными, если $$d\left(x_n, y_n\right) \rightarrow 0, n \rightarrow \infty$$.

Определение 4: Открытым шаром с центром в точка $$x \in M$$ радиуса $$R>0$$ называется множество $$B(x,R) = \{y \in M| d(x,y) < R\}$$.

Определение 5: Множество $$G \subset M$$ называется открытым, если $$\forall x \in G \quad \exists B(x, R) \subset G$$.

Определение 6: Точка $$x \in M$$ называется предельной для множества $$F$$, если $$\{B(x, R) \backslash x\} \cap F \neq \varnothing~~\forall R>0$$.

Множество предельных точек множества $$F$$ обозначим через $$F^{\prime}$$.

Определение 7: Замыканием множества $$E$$ называется множество $$\bar{F}=F \cup F^{\prime}$$.

Определение 8: Множество $$F$$ называется замкнутым, если $$\bar{F}=F$$.

Теорема 1. Если $$G$$ $$-$$ открытое, то $$M \backslash G$$ $$-$$ замкнутое; если $$F$$ $$-$$ замкнутое, то $$M \backslash F-$$ открытое.

Доказательство:

Первое $$-$$ от противного: пусть $$x \in(M \backslash G)^{\prime}$$, но $$x \notin M \backslash G$$, тогда $$x \in G$$. Следовательно, $$\exists B(x, R) \subset G$$. Но тогда $$B(x, R) \cap(M \backslash G)=\varnothing$$, что означает, что точка $$x$$ не является предельной для множества $$M \backslash G$$ $$-$$ противоречие.

Второе $$-$$ от противного: пусть $$x \in M \backslash F$$, но нет ни одного шара с центром в точке $$x$$, содержащегося в $$M \backslash F$$, тогда $$\forall R>0\{B(x, R) \backslash x\} \cap F \neq \varnothing$$. Таким образом, точка $$x$$ является предельной для множества $$F$$, но не принадлежит ему $$-$$ противоречие. $$\blacksquare$$

Определение 9: Два метрических пространства $$\left(M_1, d_1\right)$$ и $$\left(M_2, d_2\right)$$ называются изометрическими $$\left(M_1 \sim M_2\right)$$, если существует взаимно однозначное соответствие между элементами этих пространств $$\varphi(\cdot): M_1 \rightarrow M_2$$, и $$ \forall x_1, y_1 \in M_1~~d_1\left(x_1, y_1\right)=d_2\left(\varphi\left(x_1\right), \varphi\left(y_1\right)\right) .$$

Полнота метрического пространства

Определение 10: Метрическое пространство $$M$$ называется полным, если любая фундаментальная последовательность точек этого пространства является сходящейся.

Замечание 1: Последовательность точек $$\left\{x_n\right\}$$ в метрическом пространстве $$M$$ называется фундаментальной, если $$ \forall \varepsilon>0 \exists N=N(\varepsilon) \in \mathbb{N}: \forall n, m>N \Rightarrow d\left(x_n, x_m\right)<\varepsilon . $$

Замечание 2: Последовательность $$\left\{x_n\right\}$$ называется сходящейся к пределу $$x \in M$$, если $$ \forall \varepsilon>0 \exists N=N(\varepsilon) \in \mathbb{N}: \forall n>N ~~d\left(x_n, x\right)<\varepsilon . $$ Обозначение: $$\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=x$$.

Замечание 3: Из сходимости последовательности (существования предела) всегда следует её фундаментальность: $$ d\left(x_n, x_m\right) \leqslant d\left(x_n, x\right)+d\left(x, x_m\right)<\varepsilon, \text { при } n, m>N(\varepsilon / 2) . $$

Пример 1: Рассмотрим пространство изолированных точек $$M$$ с дискретной метрикой: $$ d(x,y) = \left\{\begin{matrix} 1&x \ne y \\ 0&x =y \end{matrix}\right. $$

В этом пространстве любая фундаментальная последовательность ($$d\left(x_n, x_m\right)<\varepsilon$$) удовлетворяет лишь случаю $$x_n=x_m$$, начиная с некоторого номера: $$x_n \equiv$$ const, $$\forall n \geqslant N$$. Следовательно, она является сходящейся, и пространство является полным.

Пример 2: Пространства $$\mathbb{R}$$, $$\mathbb{R}^n$$ являются полными.

Пример 3: Пространства $$L_{p}[0,1]$$, $$l_{p}$$, $$L_{\infty}[0,1]$$, $$l_{\infty}$$ являются полными.

Пример 4: Пространство $$[a, b],~~\rho(x, y) = |x - y|$$ является полным.

Пример 5: Пространства $$C[a, b]$$ и $$C^{(k)}[a, b]$$ являются полными. Докажем для $$C[a, b]$$:

Пусть $$\left\{x_n(t)\right\}: x_n(t) \in C[a, b], \forall n \in \mathbb{N}, t \in[a, b]$$. Предположим, что последовательность $$\left\{x_n\right\}$$ является фундаментальной в $$C[a, b]$$ : $$ \forall \varepsilon>0 ~~\exists N \in \mathbb{N}: \forall n, m \geqslant N \max _{t \in[a, b]}\left|x_n(t)-x_m(t)\right|<\varepsilon . $$

Используем критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности. Следовательно, $$x_n(t) \stackrel{[a, b]}{\Longrightarrow} x(t)$$ для некоторой функции $$x(t), t \in[a, b]$$. По теореме о равномерной сходимости и непрерывности (Если \(\{f_n\}\) $$-$$ последовательность функций, непрерывных на множестве \(E\), и если \(f_n \to f\) равномерно на \(E\), то функция \(f\) непрерывна на множестве \(E\)) следует, что последовательность непрерывных функций равномерно сходится к непрерывной функции. Следовательно, $$x(t) \in C[a, b]$$ (Сходимость в $$C[a, b]$$ $$-$$ это равномерная сходимость).

Следовательно, последовательность $$\left\{x_n(t)\right\}$$ является сходящейся, и пространство $$C[a, b]$$ $$-$$ полное метрическое.

Пример 6: Приведем пример неполного пространства. Рассмотрим $$X = (0,1],~~\rho(x, y) = |x - y|$$.

Для доказательства неполноты достаточно рассмотреть последовательность $$x_n = \dfrac{1}{n}$$. Из свойств числовых последовательностей она фундаментальна, при этом $$\forall x_0 \in X \Rightarrow x_0 \neq \lim \limits_{n \rightarrow \infty}x_n$$. Следовательно, пространство неполное.

Теорема о вложенных шарах

Приведём одну из фундаментальных теорем функционального анализа.

Теорема 2. Для того, чтобы метрическое пространство было полным необходимо и достаточно, чтобы в нём всякая последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к нулю, имела непустое пересечение.

Доказательство:

Необходимость:

Рассмотрим полное метрическое пространство $$M$$ и последовательность $$B_n$$ вложенных друг в друга замкнутых шаров с центрами $$x_n$$ и радиусами $$r_n:$$ $$B_n = B(x_n, r_n)$$.

Последовательность центров \(x_n\) является фундаментальной, так как $$d(x_n, x_m) < r_n$$, и $$\lim_{n \to \infty} r_n = 0$$. Так как пространство $$M$$ является полным, то последовательность $$x_n$$ сходится и $$x = \lim_{n \to \infty} x_n \in M$$. Шар $$B_n$$ содержит все точки последовательности $$x_n$$ кроме, быть может, точек $$x_1,...,x_{n-1}$$, а следовательно $$x$$ — предельная точка для любого из шаров $$B_n$$, так как шары предполагаются замкнутыми, отсюда следует, что $$\forall n : x \in B_n$$. По определению пересечения множеств $$x \in \bigcap_{n=1}^{\infty} B_n$$. Таким образом, пересечение шаров $$B_1,...,B_n,...$$ действительно является непустым множеством.

Достаточность:

Пусть $$x_n$$ — фундаментальная последовательность, тогда можно указать такой номер $$n_1$$, что для $$n > n_1$$ будет выполняться неравенство: \[ d(x_{n_1}, x_n) < \frac{1}{2}. \] Обозначим $$B_1 = B(x_{n_1}, 1)$$.

Следующий номер $$n_2 > n_1$$ выберем таким образом, чтобы при $$n > n_2$$ выполнялось неравенство: \[ d(x_{n_2}, x_n) < \frac{1}{4}. \] Обозначим $$B_2 = B\left(x_{n_2}, 2^{-1}\right)$$.

Пусть мы уже выбрали номера $$n_1 < n_2 < ... < n_k$$.

Номер $$n_{k+1} > n_k$$ выберем так, чтобы при $$n > n_{k+1}$$ выполнялось неравенство: \[ d(x, x_{n_{k+1}}) < \frac{1}{2^k}, \] обозначим $$B_{k+1} = B\left(x_{n_{k+1}}, 2^{-k} \right)$$.

Продолжая этот процесс, мы получим последовательность замкнутых вложенных шаров, по предположению теоремы эта последовательность имеет общую точку, обозначим эту точку как $$x$$. Очевидно, что эта точка служит пределом последовательности $$x_{n_k}$$. Фундаментальная последовательность, содержащая сходящуюся подпоследовательность, сходится к тому же пределу, следовательно $$x = \lim_{n \to \infty}x_n$$. Так как последовательность взята произвольно, то метрическое пространство $$M$$ является полным. $$\blacksquare$$

Теорема Хаусдорфа о пополнении метрического пространства

Теорема 3. Пусть $$(M, d)$$ $$-$$ произвольное неполное метрическое пространство. Тогда существует единственное (с точностью до изометрии) полное метрическое пространство $$(\tilde{M}, \tilde{d})$$, такое, что существует $$M_0 \subset \tilde{M},$$ такое что $$(M_0, \tilde{d})$$ изометрично $$(M, d)$$.

Доказательство:

Шаг 0: Рассмотрим фундаментальные последовательности $$\left\{x_n\right\}$$ в метрическом пространстве $$M$$.

Пусть $$\tilde{M}$$ $$-$$ множество классов эквивалентности из эквивалентных между собой фундаментальных последовательностей.

На $$\tilde{M}$$ введём метрику $$\tilde{d}$$ : $$ \forall X, Y \in \tilde{M} \Rightarrow \tilde{d}(X, Y)=\lim _{n \rightarrow \infty} d\left(x_n, y_n\right), \text { где }\left\{x_n\right\} \in X,\left\{y_n\right\} \in Y . $$

Шаг 1: Докажем существование предела последовательности $$\lim _{n \rightarrow \infty} d\left(x_n, y_n\right):$$

$$ d\left(x_n, y_n\right)-d\left(x_m, y_m\right) \leqslant d\left(x_n, x_m\right)+d\left(x_m, y_m\right)+d\left(y_m, y_n\right)-d\left(x_m, y_m\right)=d\left(x_n, x_m\right)+d\left(y_n, y_m\right) \rightarrow 0, n, m \rightarrow \infty \text {. } $$

Аналогично, $$d\left(x_m, y_m\right)-d\left(x_n, y_n\right) \leqslant d\left(x_n, x_m\right)+d\left(y_n, y_m\right) \rightarrow 0$$.

Следовательно, числовая последовательность $$\left\{d\left(x_n, y_n\right)\right\}$$ является фундаментальной, а значит и сходящейся.

Шаг 2: Докажем, что пределы эквивалентных последовательностей равны:

Пусть $$\left\{x_n\right\} \sim\left\{x_n^{\prime}\right\},\left\{y_n\right\} \sim\left\{y_n^{\prime}\right\}$$. Покажем, что $$\lim _{n \rightarrow \infty} d\left(x_n, y_n\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} d\left(x_n^{\prime}, y_n^{\prime}\right)$$ :

$$ d\left(x_n, y_n\right)-d\left(x_n^{\prime}, y_n^{\prime}\right) \leqslant d\left(x_n, x_n^{\prime}\right)+d\left(x_n^{\prime}, y_n^{\prime}\right)+d\left(y_n^{\prime}, y_n\right)-d\left(x_n^{\prime}, y_n^{\prime}\right)=d\left(x_n, x_n^{\prime}\right)+d\left(y_n, y_n^{\prime}\right) \rightarrow 0, n \rightarrow \infty $$

Аналогично доказывается, что

$$ d\left(x_n^{\prime}, y_n^{\prime}\right)-d\left(x_n, y_n\right) \leqslant d\left(x_n, x_n^{\prime}\right)+d\left(y_n, y_n^{\prime}\right) \rightarrow 0, n \rightarrow \infty . $$

Следовательно, определение метрики $$\tilde{d}(X, Y)$$ является корректным (не зависит от конкретной фундаментальной последовательности из класса эквивалентности).

Шаг 3: Проверим, что определение метрики $$\tilde{d}(X, Y)$$ удовлетворяет аксиомам метрики:

• $$\tilde{d}(X, Y) \geqslant 0, \forall X, Y$$: $$ \tilde{d}(X, Y)=0 \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} d\left(x_n, y_n\right)=0 \Leftrightarrow\left\{x_n\right\} \sim\left\{y_n\right\} \Leftrightarrow X=Y $$

• $$\tilde{d}(X, Y)=\tilde{d}(Y, X)$$;

• $$\tilde{d}(X, Y) \leqslant \tilde{d}(X, Z)+\tilde{d}(Z, Y)$$: $$ d\left(x_n, y_n\right) \leqslant d\left(x_n, z_n\right)+d\left(z_n, y_n\right) \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} d\left(x_n, y_n\right) \leqslant \lim _{n \rightarrow \infty} d\left(x_n, z_n\right)+\lim _{n \rightarrow \infty} d\left(z_n, y_n\right) . $$

Доказано, что пространство $$\tilde{M}$$ является метрическим.

Пусть $$M_0$$ $$-$$ множество элементов $$X$$, содержащих стационарные последовательности $$\{c, c, c, \ldots\} \in$$ $$X$$, где $$c \in M$$. Тогда $$M \sim M_0$$, так как $$ \forall x \in M \Rightarrow\{x, x, x, \ldots\} \in X, X \in M_0 $$

причём при $$x \neq y, x, y \in M ~~x \sim X, ~~y \sim Y, X \neq Y$$, так как $$d(x, y) \nrightarrow 0$$. При этом $$d(x, y)=\tilde{d}(X, Y)>0$$.

Шаг 4: Докажем, что $$\bar{M}_0=\tilde{M}$$.

$$\forall X \in \tilde{M}$$ рассмотрим последовательность $$\left\{x_n\right\} \in X$$. Для каждого $$n=1,2, \ldots \exists X_n \in M_0$$ : $$\left\{x_n, x_n, x_n, \ldots\right\} \in X_n, \tilde{d}\left(X, X_n\right)=\lim _{m \rightarrow \infty} d\left(x_m, x_n\right)$$.

Используем фундаментальность $$\left\{x_n\right\}:$$

$$\forall \varepsilon>0 \exists N \in \mathbb{N}: \forall n, m \geqslant N d\left(x_n, x_m\right)<\varepsilon \Rightarrow \lim _{m \rightarrow \infty} d\left(x_m, x_n\right) \leqslant \varepsilon, \forall n \geqslant N \Rightarrow \tilde{d}\left(X, X_n\right) \leqslant \varepsilon, \forall n \geqslant N$$.

Следовательно, $$X_n \rightarrow X$$, и $$\bar{M}_0=\tilde{M}$$ (замыкание множества $$M_0$$ совпадает с множеством $$\tilde{M}$$ ).

Шаг 5: Докажем полноту $$\tilde{M}$$:

Пусть $$\left\{X_n\right\}$$ $$-$$ фундаментальная последовательность в $$\tilde{M}$$. Так как $$\bar{M}_0=\tilde{M}$$, то $$ \forall X_n \in \tilde{M} ~~\exists Y_n \in M_0: \tilde{d}\left(X_n, Y_n\right) \leqslant \frac{1}{n},\left\{y_n, y_n, y_n, \ldots\right\} \in Y_n . $$

Пусть $$\left\{y_1, y_2, y_3, \ldots\right\} \in X$$.

Докажем фундаментальность $$\left\{Y_n\right\}$$ : $$ \tilde{d}\left(Y_n, Y_m\right) \leqslant \tilde{d}\left(Y_n, X_n\right)+\tilde{d}\left(X_n, X_m\right)+\tilde{d}\left(X_m, Y_m\right) \leqslant \frac{1}{n}+\tilde{d}\left(X_n, X_m\right)+\frac{1}{m} \rightarrow 0, n, m \rightarrow \infty . $$

Следовательно, $$\left\{Y_n\right\}$$ фундаментальна. Так как $$\tilde{d}\left(Y_n, Y_m\right)=d\left(y_n, y_m\right)$$, то последовательность $$\left\{y_n\right\}$$ тоже фундаментальная, и $$X \in \tilde{M}$$.

Докажем теперь сходимость: $$ \tilde{d}\left(X, X_n\right) \leqslant \tilde{d}\left(X, Y_n\right)+\tilde{d}\left(Y_n, X_n\right) \leqslant \lim _{m \rightarrow \infty} d\left(y_m, y_n\right)+\frac{1}{n} \rightarrow 0, n \rightarrow \infty . $$

Следовательно, $$X_n \rightarrow X$$, а значит последовательность $$\left\{X_n\right\}$$ является сходящейся. Значит пространство $$\tilde{M}$$ является полным.

Шаг 6: Докажем единственность $$\tilde{M}$$ с точностью до изометрии:

Пусть существует другое пополнение $$M^*$$ пространства $$M$$. Тогда

$$ \begin{gathered} M \sim M_0 \subset \tilde{M}, \bar{M}_0=\tilde{M}, \\ M \sim M_1 \subset M^*, \bar{M}_1=M^* . \end{gathered} $$

Следовательно, $$M_0 \sim M_1$$ (следует из транзитивности понятия изометрии). Соответствие элементов этих множеств в силу изометрии будем обозначать следующим образом:

$$ X \leftrightarrow Y, \quad X \in M_0,~~ Y \in M_1 . $$

Пусть $$X, Y \in \tilde{M}, X, Y \notin M_0$$. Тогда

$$ \begin{aligned} & \exists X_n, Y_n \in M_0: X_n \rightarrow X, Y_n \rightarrow Y, \\ & X_n \leftrightarrow X_n^* \in M_1, Y_n \leftrightarrow Y_n^* \in M_1, \lim _{n \rightarrow \infty} X_n^*=X^* \in M^*, \lim _{n \rightarrow \infty} Y_n^*=Y^* \in M^* . \end{aligned} $$

Эти соотношения позволяют построить взаимно однозначное соответствие между $$\tilde{M}$$ и $$M^*: X \leftrightarrow X^*$$, $$Y \leftrightarrow Y^*$$. При этом

$$ \tilde{d}(X, Y)=\lim _{n \rightarrow \infty} \tilde{d}\left(X_n, Y_n\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \tilde{d}\left(X_n^*, Y_n^*\right)=\tilde{d}\left(X^*, Y^*\right) . $$

То есть построена изометрия между $$\tilde{M}$$ и $$M^*$$. $$\blacksquare$$

Список литературы

1. Точилин П. А. Лекции по функциональному анализу, 2021г.

2. Моисеев Е. И. Лекции по функциональному анализу, 2021г.

3. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М: Наука, 1965.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.