Матрица Якоби. Лемма о выпрямлении векторного поля

Определение и основные свойства

Матрицей Якоби, системы из \( m \) функций \( \{f_1(x_1, x_2, \dots, x_n), \dots, f_m(x_1, x_2, \dots, x_n) \} \) по переменным \( x_1, \dots, x_n \) в точке \( \bar{x} = (\bar{x}_1, \dots, \bar{x}_n) \) называется матрица, составленная из всевозможных частных производных этих функций, взятых в рассматриваемой точке\[ J(\bar{x}) = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\ \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\ \end{pmatrix}. \] В частном случае, при \( m = 1 \) матрица Якоби состоит из одной строки: этот вектор называется градиентом функции \( f(x_1, \dots, x_n) \) в точке \( \bar{x} = (\bar{x}_1, \dots, \bar{x}_n): \)\[ \mathrm{grad} \ f(\bar{x}) = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\ \end{pmatrix}. \] Можно сказать, что в общем случае системы функций их матрица Якоби состоит из строк, являющихся градиентами этих функций.
В другом частном случае, когда \( m = n \), матрица Якоби становится квадратной и тогда ее определитель называется якобианом или определителем Якоби или функциональным определителем системы из \( n \) функций \( \{f_1(x_1, x_2, \dots, x_n), \dots, f_n(x_1, x_2, \dots, x_n) \} \) по переменным \( x_1, \dots, x_n: \)\[ \mathcal{J}(x_1, \dots, x_n) = \det D_x{f}(x)= \begin{vmatrix} \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_n}}(x) \\ \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_n}}(x) \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_n}}(x) \\ \end{vmatrix}. \]

Теорема о локальной обратимости

Теорема 1.

$$\quad$$ Пусть нам известно, что

• \( Y \subset \mathbb{R}^n \) — открытое множество;
• \( g(y): Y \rightarrow \mathbb{R}^n \), непрерывна вместе со своими частными производными в \( Y\);
• якобиан \( \det D_y g(y) \neq 0 \ \forall y \in Y\).

Тогда \( g(y) \) локально обратима, то есть \( \forall y_0 \in Y \) существует открытое множество \( Y_0: y_0 \in Y_0 \subset Y\) и обратное отображение \( (g(y)|_{Y_0})^{-1}: X_0 \rightarrow Y_0 \), где \( X_0 = g(Y_0)\).
Доказательство.
Зафиксируем \( \forall y_0 \in Y\). Обозначим \( x_0 = g(y_0) \). \( F(x, y)\) примем равным \( g(y) - x\). Применим к ней теорему о неявной функции, для этого покажем выполнимость её условий:

1. \( F(x_0, y_0) = g(y_0) - x_0 = 0\).
2. \( F(x, y)\) — непрерывна вместе со своими частными производными в окрестности точки \( (x_0, y_0)\) из условия.
3. Якобиан \( \det D_y{F(x_0, y_0)} = \det D_y{g(y_0)} \neq 0\) по условию.

Поэтому \( \exists \gamma > 0, \delta > 0 \) и непрерывно дифференцируемая функция \( \phi: U_{\gamma}(x_0) \rightarrow U_{\delta}(y_0)\) такая, что\[ \forall x \in U_{\gamma}(x_0), y \in U_{\delta}(y_0) \Rightarrow y = \phi(x) \Leftrightarrow F(x, y) = 0 \Leftrightarrow g(y) = x. \] Таким образом, мы доказали, что для \( x\) и \( y\), взятых из данных достаточно малых окрестностей, у функции \( g(y)\) существует обратная к ней \( \phi(x) \). $$\blacksquare$$

Лемма о выпрямлении векторного поля

Лемма.

$$\quad$$ Пусть нам задана система\[ \dfrac{d x_i}{dt} = f_i(x_1, \dots, x_n), \ \ \ i = \overline{1, n}, \] с непрерывно дифференцируемой правой частью \( f(x)\) и некоторая нестационарная точка \( a \) (\(f(a) \neq 0 \)), тогда найдётся такая окрестность \( U(a)\) и новые координаты \( y_1, \dots, y_n\), для которых \( x_i = \psi_i(y_1, \dots, y_n) \), такие, что\[ \dfrac{dy_i}{dt} = 0, \dfrac{dy_n}{dt} = 1, \ \ \ i = \overline{1, n-1}.\] Доказательство.
Будем считать, что \( f_n(a) \neq 0 \) (пользуемся тем, что \( f(a) \neq 0 \)). Рассмотрим задачу Коши\[ \begin{equation}\label{eq1} \begin{cases} \dfrac{dx_i}{dt} = f_i(x_1, \dots, x_n), \ \ \ i = \overline{1, n}, \\ x_1(0) = \xi_1, \ \dots, \ x_{n-1}(0) = \xi_{n-1}, \ x_n(0) = a_n. \end{cases} \end{equation} \] Обозначим за \( a' \) первые \( n - 1 \) координаты точки \( a \), а \( \xi' \) примем равным \( (\xi_1, \dots, \xi_{n-1}),\) причём \( \xi' \) будем брать из \( U(a') \). Тогда система \( \eqref{eq1}\) задаёт в зависимости от начальных условий фазовую траекторию, которую выпустили с \( U(a) \cap \{ x \ | \ x_n = a_n \}\). Тут важно отметить, что в силу \( \dot{x}_n(a) \neq 0\), нам достаточно анализировать только траектории, лежащие в малой окрестности точки \( a \), пересекающие \( \{ x \ | \ x_n = a_n \}\), ведь в случае касания обнуляется производная, а случай, когда решение не имеет общих точек с рассматриваемой гиперплоскостью, но лежит в окрестности \( a \), считаем несущественным, так как будет понятно в дальнейшем: на выпрямление векторного поля он не влияет.

Изначальное векторное поле в окрестности точки \( a \). Зелёным цветом изображено \( U(a) \cap \{ x \ | \ x_n = a_n \}\)

Приведённые рассуждения позволяют провести взаимнооднозначное соответствие между "существенными" траекториями из окрестности точки \( a \) и координатами их пересечений с \( \{ x \ | \ x_n = a_n \}\) (воспользовались тем, что в фазовом пространстве решения не пересекаются), что в совокупности с параметризацией по времени позволяет нам целиком восстанавливать решения.
Формализуем проведённый выше анализ и отталкиваясь от него докажем лемму. Взаимнооднозначное соответствие представим как \( x(t, (\xi', a_n)) = \psi(t, \xi')\), а начальные условия \( \eqref{eq1}\) перепишем в виде \( \psi_i(0, \xi') = \xi_i, \ \ \ i = \overline{1, n-1}, \psi_n(0, \xi') = a_n \) (в момент времени 0 находимся в точке \( (\xi', a_n) \)). Теперь покажем, что \( y_i = \xi_i, \ i = \overline{1, n-1}, y_n = t \) является искомой заменой координат, то есть, что в новых координатах получается требуемая система дифференциальных уравнений и якобиан перехода не вырожден (замена корректна).\[ \dfrac{dy_i}{dt} = 0, \ \ \ i = \overline{1, n-1}, \] поскольку со временем координата пересечения траектории с \( \{ x \ | \ x_n = a_n \}\) не изменяется. \( \dfrac{dy_n}{dt} = 1,\) по построению.
Корректность замены. Из того, что у исходной системы уравнений гладкая правая часть, мы можем воспользоваться теоремой о непрерывной дифференцируемости решений задачи Коши по начальным значениям и в совокупности с определением \( x(t, (\xi', a_n)) = \psi(t, \xi')\), получить, что \( \psi_i(t, \xi')\) имеет непрерывные частные производные в прообразе \( U(a)\). Это в свою очередь является достаточным условием дифференцируемости. Вычислим значения частных производных:

Прямое векторное поле после замены координат

\[ \dfrac{\partial{\psi}_i}{\partial{y}_j}\bigg{|}_{t = 0} = \delta_{ij}, \ \ \ i = \overline{1, n}, j = \overline{1, n-1}, \]

так как частные производные берём не по \( n\)-ой координате, то можем её значение \( y_n = t = 0\) подставить в числитель сразу \(( \psi_i(0, y') = \xi_i = y_i )\). \( \delta_{ij}\) — это символ Кронекера. \[ \dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{y}_n}\bigg{|}_{t = 0} = \dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{t}}\bigg{|}_{t = 0} = \bigg{\{} \dfrac{dx_n}{dt} = \sum_{k=1}^{n}{\dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{y}_k}} \dfrac{d{y}_k}{d{t}} = \dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{t}} \bigg{\}} = \dfrac{d{x}_n}{d{t}}\bigg{|}_{t = 0} = f_n(\xi', a_n) \neq 0, \] окрестность \( U(a)\) подбирается таким образом, чтобы в ней сохранялось \( f_n(\xi', a_n) \neq 0 \). Записывая якобиан для замены переменных в момент времени \( t = 0\), получим\[ \det D_y\psi(0, \xi') = \begin{vmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 & * \\ 0 & 1 & \dots & 0 & * \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0& \dots & 1 & * \\ 0 & 0 & \dots & 0 & f_n(\xi', a_n) \\ \end{vmatrix} = f_n(\xi', a_n) \neq 0. \] Подытожим некоторые факты, доказанные выше:

1. \( \psi(y)\) является непрерывной вместе со своими частными производными для \( y\), соответствующих прообразу \( U(a)\).
2. Якобиан \( \det D_y\psi(0, \xi') \neq 0\).

Что позволяет нам использовать теорему о локальной обратимости для функции \( \psi(y) \) в окрестности точки \( y_0 = (a', 0) \) и тем самым завершить доказательство. $$\blacksquare$$

Используемые теоремы

Теорема 2. (О неявной функции)

$$\quad$$ Пусть

• \( F_1(x, y_1, \dots, y_m), \dots, F_m(x, y_1, \dots, y_m)\) непрерывны в окрестности точки \( (x^0, y_1^0, \dots, y_m^0) \) вместе со своими частными производными;
• \( F_i(x^0, y_1^0, \dots, y_m^0) = 0, i = \overline{1, m}\);
• якобиан \( \det D_y{F(x^0, y_1^0, \dots, y_m^0)} \neq 0\).

Тогда существует окрестность точки \( (x^0, y_1^0, \dots, y_m^0) \), в которой \( y = \phi(x) \Leftrightarrow F(x, y) = 0 \) и, кроме того, функции \( \phi_i(x), i = \overline{1, m}\) непрерывно дифференцируемы в окрестности точки \( x^0\).

Теорема 3. (О непрерывной дифференцируемости решений задачи Коши по начальным данным)

$$\quad$$ Рассмотрим в области \( Q_{\mu} = \{ (t, y, \mu): |t - t_0| \leqslant T, \ A \leqslant y \leqslant B, \ \mu_1 \leqslant \mu \leqslant \mu_2 \}\) задачу Коши\[ \begin{cases} y'(t) = f(t, y, \mu), \\ y(t_0) = y_0(\mu). \end{cases} \] Пусть для неё выполняются следующие условия

• \( f(t, y, \mu)\) непрерывна в \( Q_{\mu}\) и имеет в \( Q_{\mu}\) непрерывные частные производные \( f_y(t, y, \mu), f_{\mu}(t, y, \mu)\);
• функция \( y_0(\mu)\) непрерывно дифференцируема на отрезке \( [\mu_1, \mu_2] \).

Тогда, если \( y(t, \mu)\) — решение задачи Коши на отрезке \( [t_0 - T, t_0 + T]\) для всех \( \mu \in [\mu_1, \mu_2]\), то функция \( y(t, \mu)\) имеет в \( t \in [t_0 - T, t_0 + T], \mu \in [\mu_1, \mu_2]\) непрерывную производную по \( \mu \).

Теорема 4. (Достаточное условие дифференцируемости)

$$\quad$$ Если функция определена на множестве и имеет в точке непрерывные частные производные по всем переменным, то она в этой точке дифференцируема.

Список литературы

1. Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. Динамические системы и модели биологии 2011.
2. Абрамова В.В. Лекции по курсу "Динамические системы и биоматематика", 2023.
3. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения, М.: Наука, 1985

\( \)