Модель Рамсея и задачи оптимального управления для неё: различия между версиями
Ivan22 (обсуждение | вклад) |
Ivan22 (обсуждение | вклад) |
||
| (не показано 15 промежуточных версий этого же участника) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
== Определение== | == Определение== | ||
| − | Модель Рамсея (модель Рамсея-Касса-Купманса)(модель репрезентативного агента) — неоклассическая модель оптимального экономического роста, являющаяся обобщением экономической модели Солоу. | + | Модель Рамсея (модель Рамсея-Касса-Купманса) (модель репрезентативного агента) — неоклассическая модель оптимального экономического роста, являющаяся обобщением экономической модели Солоу. |
В модели Солоу норма сбережений предполагалась заданной экзогенно. В реальности она зависит от поведения жителей страны (макрорегиона), а, значит, от их собственных предпочтений. Поэтому в модели Рамсея норма сбережений определяется эндогенно. | В модели Солоу норма сбережений предполагалась заданной экзогенно. В реальности она зависит от поведения жителей страны (макрорегиона), а, значит, от их собственных предпочтений. Поэтому в модели Рамсея норма сбережений определяется эндогенно. | ||
== Описание модели == | == Описание модели == | ||
| − | === | + | === Обозначения === |
Для описания модели введём следующие обозначения, применяемые в теории экономической математики. | Для описания модели введём следующие обозначения, применяемые в теории экономической математики. | ||
* $$ u( \cdot ) $$ — функция полезности, | * $$ u( \cdot ) $$ — функция полезности, | ||
* $$ \rho > 0 $$ — норма субъективных межвременных предпочтений, субъективно выбранный положительный параметр дисконтирования, | * $$ \rho > 0 $$ — норма субъективных межвременных предпочтений, субъективно выбранный положительный параметр дисконтирования, | ||
| − | * $$ L( \cdot )~= L(t)$$ — численность населения в момент времени $$ t $$ , | + | * $$ L( \cdot )~= L(t)$$ — численность населения в момент времени $$ t $$ , неэластичное предложение труда, |
* $$ C( \cdot )~= C(t)$$ — общие потребительские расходы в момент времени $$t$$, | * $$ C( \cdot )~= C(t)$$ — общие потребительские расходы в момент времени $$t$$, | ||
* $$ с( \cdot )~= с(t)$$ — потребительские расходы на душу населения в момент времени $$t$$, | * $$ с( \cdot )~= с(t)$$ — потребительские расходы на душу населения в момент времени $$t$$, | ||
| Строка 13: | Строка 13: | ||
* $$ Y( \cdot )~= Y(t) $$ — объём выпуска в момент времени $$t$$, | * $$ Y( \cdot )~= Y(t) $$ — объём выпуска в момент времени $$t$$, | ||
* $$ I( \cdot )~= I((t)$$ — объём валовых инвестиций в момент времени $$t$$, | * $$ I( \cdot )~= I((t)$$ — объём валовых инвестиций в момент времени $$t$$, | ||
| − | * $$r( \cdot ) ~= r(t) $$ — реальная доходность сбережений, | + | * $$r( \cdot ) ~= r(t) $$ — реальная доходность сбережений, ставка процента в момент времени $$t$$, |
| − | + | * $$ \delta $$ — норма амортизации капитала. | |
| − | * $$ \delta$$ — норма амортизации капитала | + | |
=== Производство в экономике с репрезентативными домохозяйствами === | === Производство в экономике с репрезентативными домохозяйствами === | ||
'' Репрезентативное домохозяйство '' — домохозяйство, предпочтения которого при рациональном поведении (в задаче потребителя), приводят к таким решениям об уровне потребления и сбережения, что они эквивалентны совокупному потреблению (спросу) и сбережениям всех домохозяйств в экономике. | '' Репрезентативное домохозяйство '' — домохозяйство, предпочтения которого при рациональном поведении (в задаче потребителя), приводят к таким решениям об уровне потребления и сбережения, что они эквивалентны совокупному потреблению (спросу) и сбережениям всех домохозяйств в экономике. | ||
| − | Также предполагаем, что численность населения растёт с некоторым постоянным коэффициентом (темпом) $$ | + | Также предполагаем, что численность населения растёт с некоторым постоянным коэффициентом (темпом) $$n$$ и $$L(0)~=1$$, итого $$ L(t)~= e^{nt} $$. |
Далее формализуем объём выпуска некоторого одного продукта $$Y(t)$$. Будем предполагать, что объём выпуска зависит от капитала $$K(t)$$ и от предложения труда $$L(t) $$. Объём выпуска описывается линейно-однородной ''производственной'' функцией: | Далее формализуем объём выпуска некоторого одного продукта $$Y(t)$$. Будем предполагать, что объём выпуска зависит от капитала $$K(t)$$ и от предложения труда $$L(t) $$. Объём выпуска описывается линейно-однородной ''производственной'' функцией: | ||
| Строка 25: | Строка 25: | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Где $$ F'_{K} > 0, F'_{L} > 0, F"_{KK} < 0, F"_{LL} < 0$$. | Где $$ F'_{K} > 0, F'_{L} > 0, F"_{KK} < 0, F"_{LL} < 0$$. | ||
| − | |||
Введём $$y(t) = \frac{Y(t)}{L(t)}$$ и $$ k(t) = \frac{K(t)}{L(t)} $$ — объём выпуска и объём капитала на душу населения в момент времени $$t$$. Тогда в силу линейно-однородности производственной функции запишем предыдущее выражение в интенсивной форме: | Введём $$y(t) = \frac{Y(t)}{L(t)}$$ и $$ k(t) = \frac{K(t)}{L(t)} $$ — объём выпуска и объём капитала на душу населения в момент времени $$t$$. Тогда в силу линейно-однородности производственной функции запишем предыдущее выражение в интенсивной форме: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
| − | y(t) = f\left(k(t)\right) | + | y(t) = f\left(k(t)\right) \label{eq_y} |
\end{equation} | \end{equation} | ||
| − | Структура валовых инвестиций $$I(t)$$ включает прирост капитала со временем, | + | Структура валовых инвестиций $$I(t)$$ включает прирост капитала со временем, то есть $$ \dot{K(t)} $$ и амортизацией капитала $$\delta K$$ с нормой амортизации $$\delta $$. Тогда получим: |
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
| − | I(t)= \dot{K(t)} + \delta K(t) | + | I(t)= \dot{K(t)} + \delta K(t) \label{prb:1:1} |
\end{equation} | \end{equation} | ||
Далее, в силу предположения о закрытой экономики, получим следующую зависимость потребительских расходов $$C(t)$$, объёма инвестиций $$I(t)$$ и объёма выпуска $$Y(t)$$: | Далее, в силу предположения о закрытой экономики, получим следующую зависимость потребительских расходов $$C(t)$$, объёма инвестиций $$I(t)$$ и объёма выпуска $$Y(t)$$: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
| − | Y(t)~= C(t) + I(t) | + | Y(t)~= C(t) + I(t) \label{prb:1:2} |
| + | \end{equation} | ||
| + | Тогда в силу \eqref{prb:1:1} и \eqref{prb:1:2} получим: | ||
| + | \begin{equation} | ||
| + | \dot{K(t)}~= Y(t) - C(t) - \delta K(t) \label{prb:1:3} | ||
| + | \end{equation} | ||
| + | Для получения уравнения \eqref{prb:1:3} в интенсивной форме выведем формулу для $$\dot{k(t)}$$: | ||
| + | \begin{gather*} | ||
| + | L(t)~=e^{nt} \rightarrow L'(t)~=nL(t) \\ | ||
| + | \dot{k(t)}~= \left(\frac{K(t)}{L(t)}\right)'~= \frac{\dot{K(t)}L(t) - K(t)L'(t)}{L^2(t)}= \\ | ||
| + | = \frac{\dot{K(t)}L(t) - K(t)n L(t)}{L^2(t)} ~= \frac{\dot{K(t)} - nK(t)}{L(t)} ~= \frac{\dot{K(t)}}{L(t)} - nk(t)\\ | ||
| + | \end{gather*} | ||
| + | Таким образом, получили: | ||
| + | \begin{equation} | ||
| + | \frac{\dot{K(t)}}{L(t)}~= \dot{k(t)} +nk(t) \label{prb:1:4} | ||
| + | \end{equation} | ||
| + | Аналогично $$y(t)$$ и $$k(t)$$ введём потребление на душу населения $$c(t)= \frac{C(t)}{L(t)}$$. Поделим обе части уравнения \eqref{prb:1:3} на $$L(t)$$ и, учитывая \eqref{prb:1:4} и \eqref{eq_y}, получим: | ||
| + | \begin{gather*} | ||
| + | \frac{\dot{K(t)}}{L(t)}~= y(t) - c(t) - \delta k(t) \\ | ||
| + | \dot{k(t)} +nk(t)~= y(t) - c(t) - \delta k(t) \\ | ||
| + | \dot{k(t)} ~= y(t) - c(t) - (\delta + n)k(t) \\ | ||
| + | \dot{k(t)} ~= y(t) - c(t) - (\delta + n)k(t) \\ | ||
| + | \dot{k(t)} ~= f\left(k(t) \right) - c(t) - (\delta + n)k(t) \\ | ||
| + | \end{gather*} | ||
| + | Таким образом, получили аналог уравнения \eqref{prb:1:3} в интенсивной форме: | ||
| + | \begin{equation} | ||
| + | \dot{k(t)} ~= f\left(k(t) \right) - c(t) - (\delta + n)k(t) \label{res_ogr} | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
| − | + | Уравнение в дальнейшем будем использовать, как ресурсное ограничение в задачи социального планировщика и в соответствующей задачи оптимального управления. | |
| − | === | + | === Трудовой доход и ставка процента === |
| + | Определелим ставку процента $$r(t)$$, учитывая амортизацию $$\delta$$, и заработную плату(трудовой доход) $$w(t)$$: | ||
| + | \begin{gather} | ||
| + | w(t)~= F'_{L}\left(K(t),L(t) \right), \label{eq_w} \\ | ||
| + | r(t)~= F'_{K}\left(K(t),L(t) \right) - \delta \label{eq_r} | ||
| + | \end{gather} | ||
| + | Далее, по аналогии с рассуждениями выше удобно рассмотреть выражения для $$r(t)$$ и $$w(t)$$ в интенсивной форме. Из определения производственной функции в интенсивной форме и её линейно-однородности верны следующие свойства: | ||
| + | \begin{equation*} | ||
| + | f'(k)~=F'_{K}\left(K(t),L(t) \right), y = f(k(t))~= F'_{K}k + F'_{L} | ||
| + | \end{equation*} | ||
| + | Тогда в силу уравнений \eqref{eq_w} и \eqref{eq_r}, получим уравнения в интенсивной форме: | ||
| + | \begin{gather} | ||
| + | w(t) = f\left(k(t) \right) - k(t)f'\left(k(t) \right), \label{int_eq_w} \\ | ||
| + | r(t) = f'\left(k(t) \right) - \delta. \label{int_eq_r} | ||
| + | \end{gather} | ||
| + | В дальнейшем нам понадобится полученные уравнения для анализа задачи оптимального управления и интерпретации условий максимизации Гамильтониана. | ||
| − | + | == Постановка задачи == | |
| − | + | === Задача центрального планирования(задача социального планировщика) в закрытой экономике === | |
Пусть $$ u( \cdot ) $$ — функция мгновенной полезности. Аргументом функции будет являться потребительский расход $$c(t)$$ в момент времени $$ t $$. | Пусть $$ u( \cdot ) $$ — функция мгновенной полезности. Аргументом функции будет являться потребительский расход $$c(t)$$ в момент времени $$ t $$. | ||
| − | |||
Ввиду того, что мы рассматриваем модель репрезентативного агента, то параметр дисконтирования $$ \rho $$ у социального планировщика такой же, как и у индивидуальных домохозяйств. Тогда в качестве ''целевой функции'', требующей максимизации рассмотрим: | Ввиду того, что мы рассматриваем модель репрезентативного агента, то параметр дисконтирования $$ \rho $$ у социального планировщика такой же, как и у индивидуальных домохозяйств. Тогда в качестве ''целевой функции'', требующей максимизации рассмотрим: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
U~=\int_{0}^{∞}{u\left(c(t) \right) e^{-\rho t} dt} \longrightarrow \max_{c} | U~=\int_{0}^{∞}{u\left(c(t) \right) e^{-\rho t} dt} \longrightarrow \max_{c} | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
| − | Где $$u\left(c(t)\right)$$ — сепарабельная функция. | + | Где $$u\left(c(t)\right)$$ — сепарабельная функция. То есть полезность в каждый момент времени зависит только от текущего потребления. |
| + | Также $$u'(c) > 0$$ и $$\lim_{t \to \infty}{u'(c)}=0 $$ $$ \lim_{t \rightarrow 0}{u'(c)}= ∞$$. Учитывая ресурсное ограничение | ||
| + | \eqref{res_ogr}, получим следующую задачу оптимильного управления: | ||
| + | \begin{equation*} | ||
| + | \begin{cases} | ||
| + | U~=\int_{0}^{∞}{u\left(c(t) \right) e^{-\rho t} dt} \longrightarrow \max_{c}, \\ | ||
| + | \dot{k(t)} ~= f\left(k(t) \right) - c(t) - (\delta + n)k(t), \\ | ||
| + | k(0)~= k_0, \\ | ||
| + | c(t) \geqslant 0, k(t) \geqslant 0. | ||
| + | \end{cases} | ||
| + | \end{equation*} | ||
| + | $$c(t)$$ – переменная управления, $$k(t)$$ – переменная состояния. | ||
| − | + | == Анализ задачи == | |
| − | + | Для решения поставленной задачи оптимального управления воспользуемся принципом максимума Портнягина [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Принцип_максимума_для_задачи_быстродействия] | |
| − | == | + | и функцией Гамильтона: |
| − | ' | + | \begin{gather} |
| − | + | \mathcal{H}~=\mathcal{H}\left(k(t), c(t), \psi(t) \right)~= u\left(c(t) \right) e^{-\rho t} + \psi(t) \left[f\left(k(t) \right) - c(t) - (\delta + n)k(t) \right]. | |
| − | + | \end{gather} | |
| + | Где $$\psi(t)$$ — сопряжённая переменная соответствующей сопряжённой системы: | ||
| + | \begin{equation*} | ||
| + | \frac{d\psi}{dt} = -\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial k} | ||
| + | \end{equation*} | ||
| + | Интерпретируется сопряжённая переменная, как ''теневая цена инвестиций''. | ||
| + | Первое условие максимизации функции Гамильтона будет равенство нулю частной производной Гамильтониана по переменной управления: | ||
| + | \begin{gather} | ||
| + | \frac{\partial\mathcal{H}}{\partial c}~=0 \\ | ||
| + | \frac{\partial\mathcal{H}}{\partial c}~= u'_{c}\left(c(t) \right)e^{-\rho t} - \psi(t) \Rightarrow \\ | ||
| + | \Rightarrow u'_{c}\left(c(t) \right)e^{-\rho t} ~= \psi(t) \label{h_1} \\ | ||
| + | \end{gather} | ||
| + | Полученное условие \eqref{h_1} называется ''стандартным'' условием равенства цены и предельного выигрыша. | ||
| + | Также выпишем условие трансверсальности: | ||
| + | \begin{equation} | ||
| + | \lim_{t \to \infty}{\psi(t)k(t)}~=0. | ||
| + | \end{equation} | ||
| + | С учётом \eqref{h_1} условие трансверсальности интерпретируется как условие отсутствия “пузыря” на рынке капитала, | ||
| + | тоесть если бы задача была в конечном временном горизонте, то это означало бы, что к концу все накопления должны быть истрачены: | ||
| + | \begin{equation} | ||
| + | \lim_{t \to \infty}{u'_{c}\left(c(t) \right)e^{-\rho t}k(t)}~=0. | ||
| + | \end{equation} | ||
| + | Далее распишем $$\dot{\psi(t)}$$ из определения сопряжённой системы: | ||
| + | \begin{equation} | ||
| + | \dot{\psi(t)}~= \frac{\partial\mathcal{H}}{\partial k} ~= -\psi(t)\left[f'_k\left(k(t) \right) -n - \delta \right] | ||
| + | \end{equation} | ||
| + | Теперь сделаем выводы о темпе роста теневой цены инвестиций $$\frac{\dot{\psi(t)}}{\psi(t)}$$: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
| − | + | \frac{\dot{\psi(t)}}{\psi(t)}~= -\left[f'_k\left(k(t) \right)- \delta - n\right] \label{eq_temp} | |
\end{equation} | \end{equation} | ||
| − | + | Тоесть темп роста теневой цены инвестиций определяется производительностью капитала с учётом роста населения. Воспользуемся уравнением \eqref{int_eq_r} и перепишем \eqref{eq_temp} в следующем виде: | |
| − | |||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
| − | \frac{ | + | \frac{\dot{\psi(t)}}{\psi(t)}~= -\left[r(t) - n \right] |
\end{equation} | \end{equation} | ||
| + | |||
== Список литературы == | == Список литературы == | ||
| − | С. М. Асеев, А. В. Кряжимский, "Принцип максимума Понтрягина и задачи оптимального экономического роста", | + | * С. М. Асеев, А. В. Кряжимский, "Принцип максимума Понтрягина и задачи оптимального экономического роста",Труды МИАН, 2007. |
| − | + | * Веселов Д.А. Пекарский С.Э. "Макроэкономика финансовых рынков", ВШЭ, 2011. | |
| − | Веселов Д.А. Пекарский С.Э. "Макроэкономика финансовых рынков" | + | * Ramsey F.P. A mathematical theory of saving, 1928. |
| − | |||
| − | Ramsey F.P. A mathematical theory of saving. | ||
Текущая версия на 18:18, 24 февраля 2024
Содержание
Определение
Модель Рамсея (модель Рамсея-Касса-Купманса) (модель репрезентативного агента) — неоклассическая модель оптимального экономического роста, являющаяся обобщением экономической модели Солоу. В модели Солоу норма сбережений предполагалась заданной экзогенно. В реальности она зависит от поведения жителей страны (макрорегиона), а, значит, от их собственных предпочтений. Поэтому в модели Рамсея норма сбережений определяется эндогенно.
Описание модели
Обозначения
Для описания модели введём следующие обозначения, применяемые в теории экономической математики.
- $$ u( \cdot ) $$ — функция полезности,
- $$ \rho > 0 $$ — норма субъективных межвременных предпочтений, субъективно выбранный положительный параметр дисконтирования,
- $$ L( \cdot )~= L(t)$$ — численность населения в момент времени $$ t $$ , неэластичное предложение труда,
- $$ C( \cdot )~= C(t)$$ — общие потребительские расходы в момент времени $$t$$,
- $$ с( \cdot )~= с(t)$$ — потребительские расходы на душу населения в момент времени $$t$$,
- $$ K( \cdot )~= K(t)$$ — объём капитала в момент времени $$t$$,
- $$ Y( \cdot )~= Y(t) $$ — объём выпуска в момент времени $$t$$,
- $$ I( \cdot )~= I((t)$$ — объём валовых инвестиций в момент времени $$t$$,
- $$r( \cdot ) ~= r(t) $$ — реальная доходность сбережений, ставка процента в момент времени $$t$$,
- $$ \delta $$ — норма амортизации капитала.
Производство в экономике с репрезентативными домохозяйствами
Репрезентативное домохозяйство — домохозяйство, предпочтения которого при рациональном поведении (в задаче потребителя), приводят к таким решениям об уровне потребления и сбережения, что они эквивалентны совокупному потреблению (спросу) и сбережениям всех домохозяйств в экономике. Также предполагаем, что численность населения растёт с некоторым постоянным коэффициентом (темпом) $$n$$ и $$L(0)~=1$$, итого $$ L(t)~= e^{nt} $$.
Далее формализуем объём выпуска некоторого одного продукта $$Y(t)$$. Будем предполагать, что объём выпуска зависит от капитала $$K(t)$$ и от предложения труда $$L(t) $$. Объём выпуска описывается линейно-однородной производственной функцией: \begin{equation} Y(t) = F\left(K(t), L(t) \right) \end{equation} Где $$ F'_{K} > 0, F'_{L} > 0, F"_{KK} < 0, F"_{LL} < 0$$. Введём $$y(t) = \frac{Y(t)}{L(t)}$$ и $$ k(t) = \frac{K(t)}{L(t)} $$ — объём выпуска и объём капитала на душу населения в момент времени $$t$$. Тогда в силу линейно-однородности производственной функции запишем предыдущее выражение в интенсивной форме: \begin{equation} y(t) = f\left(k(t)\right) \label{eq_y} \end{equation} Структура валовых инвестиций $$I(t)$$ включает прирост капитала со временем, то есть $$ \dot{K(t)} $$ и амортизацией капитала $$\delta K$$ с нормой амортизации $$\delta $$. Тогда получим: \begin{equation} I(t)= \dot{K(t)} + \delta K(t) \label{prb:1:1} \end{equation} Далее, в силу предположения о закрытой экономики, получим следующую зависимость потребительских расходов $$C(t)$$, объёма инвестиций $$I(t)$$ и объёма выпуска $$Y(t)$$: \begin{equation} Y(t)~= C(t) + I(t) \label{prb:1:2} \end{equation} Тогда в силу \eqref{prb:1:1} и \eqref{prb:1:2} получим: \begin{equation} \dot{K(t)}~= Y(t) - C(t) - \delta K(t) \label{prb:1:3} \end{equation} Для получения уравнения \eqref{prb:1:3} в интенсивной форме выведем формулу для $$\dot{k(t)}$$: \begin{gather*} L(t)~=e^{nt} \rightarrow L'(t)~=nL(t) \\ \dot{k(t)}~= \left(\frac{K(t)}{L(t)}\right)'~= \frac{\dot{K(t)}L(t) - K(t)L'(t)}{L^2(t)}= \\ = \frac{\dot{K(t)}L(t) - K(t)n L(t)}{L^2(t)} ~= \frac{\dot{K(t)} - nK(t)}{L(t)} ~= \frac{\dot{K(t)}}{L(t)} - nk(t)\\ \end{gather*} Таким образом, получили: \begin{equation} \frac{\dot{K(t)}}{L(t)}~= \dot{k(t)} +nk(t) \label{prb:1:4} \end{equation} Аналогично $$y(t)$$ и $$k(t)$$ введём потребление на душу населения $$c(t)= \frac{C(t)}{L(t)}$$. Поделим обе части уравнения \eqref{prb:1:3} на $$L(t)$$ и, учитывая \eqref{prb:1:4} и \eqref{eq_y}, получим: \begin{gather*} \frac{\dot{K(t)}}{L(t)}~= y(t) - c(t) - \delta k(t) \\ \dot{k(t)} +nk(t)~= y(t) - c(t) - \delta k(t) \\ \dot{k(t)} ~= y(t) - c(t) - (\delta + n)k(t) \\ \dot{k(t)} ~= y(t) - c(t) - (\delta + n)k(t) \\ \dot{k(t)} ~= f\left(k(t) \right) - c(t) - (\delta + n)k(t) \\ \end{gather*} Таким образом, получили аналог уравнения \eqref{prb:1:3} в интенсивной форме: \begin{equation} \dot{k(t)} ~= f\left(k(t) \right) - c(t) - (\delta + n)k(t) \label{res_ogr} \end{equation} Уравнение в дальнейшем будем использовать, как ресурсное ограничение в задачи социального планировщика и в соответствующей задачи оптимального управления.
Трудовой доход и ставка процента
Определелим ставку процента $$r(t)$$, учитывая амортизацию $$\delta$$, и заработную плату(трудовой доход) $$w(t)$$: \begin{gather} w(t)~= F'_{L}\left(K(t),L(t) \right), \label{eq_w} \\ r(t)~= F'_{K}\left(K(t),L(t) \right) - \delta \label{eq_r} \end{gather} Далее, по аналогии с рассуждениями выше удобно рассмотреть выражения для $$r(t)$$ и $$w(t)$$ в интенсивной форме. Из определения производственной функции в интенсивной форме и её линейно-однородности верны следующие свойства: \begin{equation*} f'(k)~=F'_{K}\left(K(t),L(t) \right), y = f(k(t))~= F'_{K}k + F'_{L} \end{equation*} Тогда в силу уравнений \eqref{eq_w} и \eqref{eq_r}, получим уравнения в интенсивной форме: \begin{gather} w(t) = f\left(k(t) \right) - k(t)f'\left(k(t) \right), \label{int_eq_w} \\ r(t) = f'\left(k(t) \right) - \delta. \label{int_eq_r} \end{gather} В дальнейшем нам понадобится полученные уравнения для анализа задачи оптимального управления и интерпретации условий максимизации Гамильтониана.
Постановка задачи
Задача центрального планирования(задача социального планировщика) в закрытой экономике
Пусть $$ u( \cdot ) $$ — функция мгновенной полезности. Аргументом функции будет являться потребительский расход $$c(t)$$ в момент времени $$ t $$. Ввиду того, что мы рассматриваем модель репрезентативного агента, то параметр дисконтирования $$ \rho $$ у социального планировщика такой же, как и у индивидуальных домохозяйств. Тогда в качестве целевой функции, требующей максимизации рассмотрим: \begin{equation} U~=\int_{0}^{∞}{u\left(c(t) \right) e^{-\rho t} dt} \longrightarrow \max_{c} \end{equation} Где $$u\left(c(t)\right)$$ — сепарабельная функция. То есть полезность в каждый момент времени зависит только от текущего потребления. Также $$u'(c) > 0$$ и $$\lim_{t \to \infty}{u'(c)}=0 $$ $$ \lim_{t \rightarrow 0}{u'(c)}= ∞$$. Учитывая ресурсное ограничение \eqref{res_ogr}, получим следующую задачу оптимильного управления: \begin{equation*} \begin{cases} U~=\int_{0}^{∞}{u\left(c(t) \right) e^{-\rho t} dt} \longrightarrow \max_{c}, \\ \dot{k(t)} ~= f\left(k(t) \right) - c(t) - (\delta + n)k(t), \\ k(0)~= k_0, \\ c(t) \geqslant 0, k(t) \geqslant 0. \end{cases} \end{equation*} $$c(t)$$ – переменная управления, $$k(t)$$ – переменная состояния.
Анализ задачи
Для решения поставленной задачи оптимального управления воспользуемся принципом максимума Портнягина [1] и функцией Гамильтона: \begin{gather} \mathcal{H}~=\mathcal{H}\left(k(t), c(t), \psi(t) \right)~= u\left(c(t) \right) e^{-\rho t} + \psi(t) \left[f\left(k(t) \right) - c(t) - (\delta + n)k(t) \right]. \end{gather} Где $$\psi(t)$$ — сопряжённая переменная соответствующей сопряжённой системы: \begin{equation*} \frac{d\psi}{dt} = -\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial k} \end{equation*} Интерпретируется сопряжённая переменная, как теневая цена инвестиций. Первое условие максимизации функции Гамильтона будет равенство нулю частной производной Гамильтониана по переменной управления: \begin{gather} \frac{\partial\mathcal{H}}{\partial c}~=0 \\ \frac{\partial\mathcal{H}}{\partial c}~= u'_{c}\left(c(t) \right)e^{-\rho t} - \psi(t) \Rightarrow \\ \Rightarrow u'_{c}\left(c(t) \right)e^{-\rho t} ~= \psi(t) \label{h_1} \\ \end{gather} Полученное условие \eqref{h_1} называется стандартным условием равенства цены и предельного выигрыша. Также выпишем условие трансверсальности: \begin{equation} \lim_{t \to \infty}{\psi(t)k(t)}~=0. \end{equation} С учётом \eqref{h_1} условие трансверсальности интерпретируется как условие отсутствия “пузыря” на рынке капитала, тоесть если бы задача была в конечном временном горизонте, то это означало бы, что к концу все накопления должны быть истрачены: \begin{equation} \lim_{t \to \infty}{u'_{c}\left(c(t) \right)e^{-\rho t}k(t)}~=0. \end{equation} Далее распишем $$\dot{\psi(t)}$$ из определения сопряжённой системы: \begin{equation} \dot{\psi(t)}~= \frac{\partial\mathcal{H}}{\partial k} ~= -\psi(t)\left[f'_k\left(k(t) \right) -n - \delta \right] \end{equation} Теперь сделаем выводы о темпе роста теневой цены инвестиций $$\frac{\dot{\psi(t)}}{\psi(t)}$$: \begin{equation} \frac{\dot{\psi(t)}}{\psi(t)}~= -\left[f'_k\left(k(t) \right)- \delta - n\right] \label{eq_temp} \end{equation} Тоесть темп роста теневой цены инвестиций определяется производительностью капитала с учётом роста населения. Воспользуемся уравнением \eqref{int_eq_r} и перепишем \eqref{eq_temp} в следующем виде: \begin{equation} \frac{\dot{\psi(t)}}{\psi(t)}~= -\left[r(t) - n \right] \end{equation}
Список литературы
- С. М. Асеев, А. В. Кряжимский, "Принцип максимума Понтрягина и задачи оптимального экономического роста",Труды МИАН, 2007.
- Веселов Д.А. Пекарский С.Э. "Макроэкономика финансовых рынков", ВШЭ, 2011.
- Ramsey F.P. A mathematical theory of saving, 1928.
