Линейный оператор в банаховых пространствах

Отображения. Теорема Банаха-Штейнгауза.

Пусть $$X,$$ $$Y$$ - нормированные пространства. Рассмотрим $$A: X \rightarrow Y$$ - отображение.

Определение 1. Отображение $$A$$ называется непрерывным в т. $$x_0\in X,$$ если $$\forall\left\{x_n\right\},$$ $$x_n\in X:$$ $$x_n\rightarrow x_0$$ имеет место $$Ax_n\rightarrow Ax_0.$$

Лемма. Если $$A$$ - линейное отображение, которое непрерывно хотя бы в одной точке, то $$A$$ непрерывно всюду.

Доказательство:
Пусть $$A$$ непрерывно в точке $$x_0.$$ Фиксируем произвольную точку $$x\in X$$ и $$\forall\left\{x_n\right\},$$ $$x_n\in X:$$ $$x_n \rightarrow x_0.$$

Рассмотрим последовательность $$\left\{y_n\right\}:$$ $$y_n=x_n-x+x_0.$$ \begin{align*} y_n \rightarrow x_0 \Rightarrow Ay_n = A(x_n-x)+Ax_0=\underbrace{Ax_n-Ax}_{\rightarrow\,0}+Ax_0\rightarrow Ax_0. \end{align*}$$~~\blacksquare$$

Пример.

Пусть пространства $$X, Y = C[0,1],$$ а оператор $$A = \frac{d}{dt},$$ тогда область определения оператора $$D(A) = C^1[0,1].$$

Рассмотрим последовательность $$x_n(t) = \frac{\sin nt}{\sqrt{n}}\rightarrow0,$$ но $$Ax_n(t)=\sqrt{n}\cos nt\nrightarrow 0.$$ Показали, что оператор не является непрерывным.

Определение 2. Отображение $$A$$ называется ограниченным, если оно любое ограниченное множество переводит в ограниченное множество.

Определение 3. Норму ограниченного отображения $$A:$$ $$X\rightarrow Y$$ введём, как $$||A||=\underset{||x||\leq1}{\sup}||Ax||.$$

Замечание 1. Если $$A$$ - линейное, то $$||A||=\underset{x\neq0}{\sup}\frac{||Ax||}{||x||}=\underset{||x||=1}{\sup} ||Ax||.$$

Замечание 2. $$||Ax||\leq||A||\cdot||x||.$$

Определение 4. $$L(X,Y)$$ - линейное пространство линейных ограниченных операторов (отображений), действующих из $$X$$ в $$Y$$.

Теорема 1. Линейный оператор непрерывен $$\Leftrightarrow$$ ограничен.

Доказательство:
1. (Ограниченность $$\Rightarrow$$ Непрерывность)
\begin{align*} ||Ax_n-Ax|| = ||A(x_n-x)|| \leq ||A||\cdot||x_n-x||. \end{align*}
2. (Непрерывность $$\Rightarrow$$ Ограниченность)
От противного. Пусть $$\exists\left\{x_n\right\}:$$ $$||x_n||\leq1,\,$$ $$||Ax_n||\rightarrow+\infty,$$ тогда рассмотрим $$y_n = \frac{x_n}{\sqrt{||Ax_n||}}:$$ \begin{align*}||y_n|| = \frac{||x_n||}{\sqrt{||Ax_n||}}\rightarrow0\Rightarrow y_n\rightarrow0.\end{align*} \begin{align*}||Ay_n|| = \frac{||Ax_n||}{\sqrt{||Ax_n||}} = \sqrt{||Ax_n||}\rightarrow +\infty \text{ - противоречие с непрерывностью оператора.}\end{align*}

$$~~\blacksquare$$

Пример. Доказать, что функционал $$ f(x) = \int\limits_{-1}^1 tx(t)dt $$ является непрерывным в $$ C[-1, 1]$$ и найти его норму.

Решение:
Очевидно, функционал линеен. Тогда по теореме 1 он непрерывен $$\Leftrightarrow$$ он ограничен.

Рассмотрим произвольное ограниченное множество $$ \|x\| = \underset{t\in [-1,1]}{\max}|x(t)| \leq M, \ M > 0. $$ Тогда \begin{align*} |f(x)| = |\int\limits_{-1}^1 tx(t)dt| \leq \int\limits_{-1}^1 |t||x(t)|dt \leq M\int\limits_{-1}^1 |t|dt = M. \end{align*} А значит, функционал f является ограниченным, что доказывает его непрерывность.

Найдем норму $$ \| f\| = \underset{\| x\| = 1}{\sup} |f(x)|$$. По доказанному выше, для $$ \| x\| = 1 \Rightarrow |f(x)| \leq 1 $$, причем при $$ x(t) = 1$$ эта верхняя грань достигается. Таким образом, $$ \| f \| = 1$$.

Теорема 2. Если $$Y$$ - банахово, то $$L(X,Y)$$ - тоже банахово.

Доказательство:
Рассмотрим фундаментальную последовательность $$\left\{A_n\right\},$$ $$A_n\in L(X,Y):$$ \begin{align*}||A_n-A_m||\underset{n,m\rightarrow\infty}{\rightarrow}0.\end{align*}

Для любых ограниченных $$x\in X$$ посл-ть $$\left\{A_nx\right\}$$ - фундаментальная: $$||A_nx-A_mx||\leq||A_n-A_m||\cdot||x||\underset{n,m\rightarrow\infty}{\rightarrow}0.$$

Следовательно фунадментальна и последовательность $$\left\{A_nx\right\},$$ поэтому в силу полноты $$Y$$ $$\exists$$ $$\underset{n\rightarrow \infty}{\lim} A_n x = Ax.$$

Покажем, что $$A\in L(X,Y):$$ \begin{align*} ||A_nx-A_mx||\leq\varepsilon\cdot||x||\Rightarrow \left\{\text{ При } m\rightarrow\infty\right\}\Rightarrow ||A_nx-Ax||\leq\varepsilon\cdot||x|| \end{align*} \begin{align*} ||A_n-A||\leq\varepsilon \Rightarrow \left\{A_n\rightarrow A\right\} \Rightarrow A \text{ - ограниченный.} \end{align*}

$$~~\blacksquare$$

Определение 5. Множество $$E,$$ $$E\subset M $$ называется нигде не плотным, если замыкание $$E$$ не содержит ни одного шара.

Определение 6. Множество называют множеством $$1$$-ой категории, если его можно представить в виде счётного объединения нигде не плотных множеств. Остальные множества - множества $$2$$-ой категории.

Теорема Банаха-Штейнгауза.

Пусть $$X, Y$$ - линейные нормированные пространства. Последовательность $$\left\{A_n\right\},$$ $$A_n\in L(X,Y).$$

Множество $$E=\left\{x\in X| \underset{n \rightarrow \infty}{\overline{\lim}}||A_nx||<+\infty\right\}$$ - множество $$2$$-ой категории.

Тогда последовательность $$\left\{A_n\right\}$$ ограничена, т.е. $$\exists M>0:$$ $$||A_n||\leq M.$$

Доказательство:
Рассмотрим $$F_{nm}=\left\{x\in X|\,||A_n x||\leq m\right\}$$ - замкнутые множества. $$F_m = \underset{n=1}{\overset{\infty}{\cap}}F_{nm}.$$

Покажем, что $$E = \underset{m=1}{\overset{\infty}{\cup}}F_m:$$

\begin{align*} \text{Пусть } x\in E \Rightarrow \exists \, m: ||A_nx||\leq m\Rightarrow x \in F_{nm}, \,n=1,2,... \Rightarrow x\in F_m \Rightarrow x\in \underset{m=1}{\overset{\infty}{\cup}}F_m. \end{align*} \begin{align*} \text{Пусть }x\in \underset{m=1}{\overset{\infty}{\cup}}F_m \Rightarrow \exists \, m: x\in F_m \Rightarrow x\in F_{nm}, \,n=1,2,... \Rightarrow ||A_nx||\leq m\Rightarrow x\in E. \end{align*}

$$E$$ - множество $$2$$-ой категории $$\Rightarrow \exists\,m:$$ $$F_m$$ не является нигде не плотным, то есть $$\exists:\, B(x_0, r)\subseteq F_m, \, r>0.$$

Рассмотрим $$\forall\,x\in X,\, x\neq0;$$ \begin{align*} z = x_0 + \frac{r}{2}\cdot\frac{x}{||x||}\in B(x_0, r)\Rightarrow z\in F_m\Rightarrow ||A_nz||\leq m. \end{align*} \begin{align*} A_n z = A_n x_0 + \frac{r}{2}\cdot\frac{A_nx}{||x||} \Rightarrow ||A_n z|| \geq \frac{r}{2||x||}\cdot ||A_nx|| - ||A_nx_0||\geq \frac{r}{2}\cdot ||A_nx|| - m \end{align*} \begin{align*} \frac{r}{2}\cdot||A_nx||\leq m + ||A_nz|| \leq 2m \end{align*} \begin{align*} ||A_nx||\leq \frac{4m}{r}\cdot||x||\Rightarrow ||A_n||\leq \frac{4m}{r}. \end{align*}

$$~~\blacksquare$$

Следствие Если $$X, Y$$ - линейные нормированные пространства, причём $$X$$ - банахово, $$A_n\in L(X,Y),$$ $$n = 1,2,...$$ и $$\underset{n\rightarrow\infty}{\overline{\lim}}||A_nx||<\infty,$$ $$\forall\, x\in X.$$

Тогда последовательность $$\left\{A_n\right\}$$ - ограничена.

Доказательство: Вытекает их Теоремы Бэра (Что полное метрическое пространство - множество $$2$$-ой категории).

Лемма. Рассмотрим пространство $$C[a,b]$$ и интегральный оператор $$A(x(t)) = \int_{a}^{b}\phi(t)\cdot x(t)dt, \, x(t)\in C[a,b].$$

Пусть $$\phi(t)\in L[a,b]\Rightarrow ||A||=\int_a^b |\phi(t)|dt.$$

Доказательство: \begin{align*} ||Ax(t)||_{\mathbb R}\leq\int_a^b|\phi(t)|\cdot|x(t)|dt\leq ||x(t)||_{C[a,b]}\cdot\int_a^b|\phi(t)|dt\Rightarrow \frac{||Ax||}{||x||}\leq\int_a^b|\phi(t)|dt\Rightarrow ||A||\leq\int_a^b|\phi(t)|dt. \end{align*}

Рассмотрим $$(sgn \,\phi)_\rho (t):= \int_{-\infty}^{+\infty} sgn\,\phi(t+s)\cdot\omega_\rho(s)ds,\,$$ где $$\,\int_{-\infty}^{\infty} \omega_\rho(s)ds = 1.$$ Тогда $$|(sgn \,\phi)_\rho|\leq \int_{-\infty}^{\infty} \omega_\rho(s)ds = 1.$$

\begin{align*} A\big((sgn \,\phi)_\rho(t)\big) = \int_a^b \phi(t)\cdot\big(sgn \,\phi)_\rho(t)dt\underset{\rho\,\rightarrow\,0}{\rightarrow}\int_a^b|\phi(t)|dt. \end{align*}

$$~~\blacksquare$$

Пример.

Рассмотрим $$f\in C[-\pi,\pi].$$ Покажем, что $$\exists\, f:\, S_n(0, f)\rightarrow +\infty.$$

Пусть $$S_n(x, f)$$ - это $$n$$-ая част. сумма ряда Фурье для $$f$$ в т. $$x:$$ \begin{align*} S_n(x, f) = \frac{1}{\pi}\cdot\int_{-\pi}^{\pi}f(x+t)\cdot\frac{\sin(n+\tfrac{1}{2})t}{2\cdot \sin\tfrac{t}{2}}dt. \end{align*} В точке $$x = 0:$$ \begin{align*} S_n(0, f) = \frac{1}{\pi}\cdot\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cdot\frac{\sin(n+\tfrac{1}{2})t}{2\cdot \sin\tfrac{t}{2}}dt = A_n(f) \end{align*} Докажем, что $$||A_n||\rightarrow+\infty.$$ По лемме: \begin{align*} ||A_n|| = \frac{1}{\pi}\cdot\int_{-\pi}^{\pi}\frac{|\sin(n+\tfrac{1}{2})t|}{|2\cdot \sin\tfrac{t}{2}|}dt \geq \frac{2}{\pi}\cdot\int_{0}^{\pi}\frac{|\sin(n+\tfrac{1}{2})t|}{t}dt \geq \frac{2}{\pi}\cdot\int_{0}^{\pi}\frac{\sin^2(n+\tfrac{1}{2})t}{t}dt = \frac{1}{\pi}\cdot\int_{0}^{\pi}\frac{1-\cos(2n+1)t}{t}dt = \end{align*} \begin{align*} = \frac{1}{\pi}\cdot\int_{0}^{\pi(2n+1)}\frac{1-\cos s}{s}ds = \underbrace{\frac{1}{\pi}\cdot\int_{0}^{1}\frac{1-\cos s}{s}ds}_{const} + \underbrace{\frac{1}{\pi}\cdot\int_{1}^{\pi(2n+1)}\frac{1}{s}ds}_{\frac{1}{\pi}\cdot\ln\pi(2n+1)} - \underbrace{\frac{1}{\pi}\cdot\int_{1}^{\pi(2n+1)}\frac{\cos s}{s}ds}_{const}\rightarrow +\infty. \end{align*}

Обратные операторы. Теорема Банаха об обратном операторе.

Пусть $$X, \,Y$$ - линейные пространства. Рассмотрим оператор $$A:X\rightarrow Y.$$

Определение 7. Оператор $$A^{-1}_{л}:\, Y\rightarrow X$$ называется левым обратным оператором к $$A,$$ если $$A^{-1}_{л}A=E.$$

Определение 8. Оператор $$A^{-1}_{п}:\, Y\rightarrow X$$ называется правым обратным оператором к $$A,$$ если $$AA^{-1}_{п}=E.$$

Теорема. Если $$\exists \, A^{-1}_{л}$$ и $$\exists \, A^{-1}_{п},$$ то $$A^{-1}_{л} = A^{-1}_{п}.$$

Доказательство:
$$A^{-1}_{л}A=E$$ и $$AA^{-1}_{п}=E.$$ \begin{align*} A^{-1}_{л} = A^{-1}_{п}\cdot E = A^{-1}_{л} \cdot (A\cdot A^{-1}_{п}) = (A^{-1}_{л}\cdot A) \cdot A^{-1}_{п} = E \cdot A^{-1}_{п} = A^{-1}_{п}. \end{align*}

$$~~\blacksquare$$

Определение 9. Оператор $$A^{-1}: Y\rightarrow X$$ называется обратным оператором к $$A,$$ если $$\exists \,A^{-1}_{л}$$ $$\exists\,A^{-1}_{п}$$ и $$A^{-1}_{л}=A^{-1}_{п}$$, тогда $$A^{-1}:=A^{-1}_{л}=A^{-1}_{п}.$$

Теорема. Следующие утверждения эквиваленты:

1. $$\exists \,A^{-1}_{л}.$$

2. Eсли уравнение $$Ax = y$$ имеет решение, то это решение единственно.

3. Ядро оператора состоит из нулевого вектора: $$Ker A = \left\{0\right\}.$$

Доказательство:
$$2\Rightarrow3.$$ Если $$x_0\in Ker A,$$ то $$x$$ и $$x + x_0$$ - решения $$Ax = y.$$

$$1\Rightarrow2.$$ Если $$\exists \, A^{-1}_{л},$$ то $$Ax = y$$ и $$A^{-1}_{л}Ax = A^{-1}_{л}y,$$ поэтому $$x=A^{-1}_{л}y.$$

$$3\Rightarrow1.$$ Пусть $$R(A)$$ - область значения оператора, тогда для $$y\in R(A)$$ $$\exists\, x:\, Ax=y,$$ поэтому $$x=A^{-1}_{л}y.$$

$$~~\blacksquare$$

Замечание. Следующие утверждения аналогично эквиваленты:

1. $$R(A) = Y.$$

2. Уравнение $$Ax = y$$ всегда разрешимо.

3. $$\exists \,A^{-1}_{п}.$$

Пример.

Пусть $$X = C^1[0,1],$$ $$Y = C[0,1],$$ а оператор $$A = \frac{d}{dt}.$$

\begin{align*} Ax = y \Rightarrow \dot{x} = y \end{align*} \begin{align*} \text{Так как } AA^{-1}_{п}=E, \text{ поэтому }A^{-1}_{п}y(t) = \int_0^t y(\tau)d\tau \Rightarrow A^{-1}_{л}Ax(t) = \int_0^t \dot{x}(\tau)d\tau = x(t) - x(0) \neq x(t) \end{align*} Поэтому $$A^{-1}_{п}\neq A^{-1}_{л}.$$

Определение 10. Оператор $$A: X\rightarrow Y$$ называется обратимым, если уравнение $$Ax = y$$ однозначно разрешимо и решение устойчиво к изменению правой части (т.е. $$A^{-1}$$ $$\exists$$ и ограничен).

Теорема. Пусть $$X$$ - банахово пространство, $$A:\, X\rightarrow Y$$ - ограниченный оператор, $$\overline{R(A)} = Y, \exists\, M>0:\, ||Ax||\geq M||x||,\,\forall\, x\in X.$$ Тогда $$A$$ - обратимый.

Доказательство:
$$||Ax||\geq M||x|| \Rightarrow Ker A=\left\{0\right\}\Rightarrow \exists\, A^{-1}_{л}.$$

Докажем, что $$R(A) = Y.$$

$$\forall\, y\in Y$$ $$\exists\left\{y_n\right\}:\,y_n\in R(A),\, y_n\rightarrow y.$$

$$y_n = A x_n.$$ Рассмотрим $$\left\{x_n\right\}:\, ||x_n-x_m||\leq\frac{1}{M}\cdot||y_n-y_m||.$$ Последовательность $$\left\{x_n\right\}$$ - фундаментальная $$\Rightarrow\exists\, x\in X:\, x_n\rightarrow x.$$

$$Ax_n = y_n \Rightarrow Ax = y \Rightarrow \exists \, A^{-1}_{п}.$$

Корректность: $$||y||\geq M||A^{-1}y||\Rightarrow ||A^{-1}||\leq\frac{1}{M}.$$

$$~~\blacksquare$$

Утверждение. $$X$$ - банахово, $$A:\,X\rightarrow X,$$ $$||A||<1.$$ Тогда $$E-A$$ обратим.

Доказательство:
\begin{align*} S_n = E + A + A^2 + ... + A^n \end{align*} \begin{align*} ||S_n|| \leq 1 + ||A|| + ||A||^2 + ... + ||A||^n\leq\frac{1}{1-||A||} \end{align*} Покажем, что $$S_n$$ - фундаментальная: \begin{align*} S_n - S_m = A^{m+1} + A^{m+2} + ... + A^n = A^{m+1}\cdot(E+A+...+A^{n-m-1}) \end{align*} \begin{align*} ||S_n-S_m||\leq||A^{m+1}||\cdot\frac{1}{1-||A||} \end{align*}

$$L(X, X)$$ - полно $$\Rightarrow \exists \,S = \underset{n\rightarrow \infty}{\lim} S_n: \,X\rightarrow X.$$

\begin{align*} S_n \cdot (E-A) = (E-A)S_n = E-A^{n+1} \underset{n \rightarrow \infty}{\rightarrow} S = (E-A)^{-1}\Rightarrow ||S||\leq \frac{1}{1-||A||}. \end{align*}

$$~~\blacksquare$$

Следствие. $$||(E-A)^{-1}||\leq \frac{1}{1-||A||}$$ и $$||(E-A)^{-1} - E||\leq \frac{1}{1-||A||}.$$

Теорема. Пусть $$X$$ - банахово. Оператор $$A: X\rightarrow X$$ - ограничен. Тогда

1. $$\exists R=\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}\sqrt[n]{||A^n||}$$.

2. Если $$R<1,$$ то $$E-A$$ обратим.

$$R$$ - спектральный радиус.

Доказательство:
$$S_n = E + A + A^2 + ... + A^n \rightarrow (E-A)^{-1}.$$ \begin{align*} 0\leq\sqrt[n]{||A^n||}\leq \sqrt[n]{||A||^n} = ||A|| \Rightarrow \exists \underset{n\rightarrow\infty}{\lim}\sqrt[n]{||A^n||} = R, \, 0\leq R\leq ||A||. \end{align*} $$\forall\, \varepsilon>0\, \exists p\in \mathbb{N}: \, \sqrt[p]{||A^p||}\leq R+\varepsilon.$$

$$\forall\, n\in\mathbb{N}:\, n = mp+q, (0\leq q\leq p-1)$$

\begin{align*} \sqrt[n]{||A||^n} = (||A^n||)^{\frac{1}{n}} = ||A^{mp+q}||^{\frac{1}{mp+q}} = ||(A^p)^m\cdot A^q||^{\frac{1}{mp+q}}\leq ||A^p||^{\frac{m}{mp+q}}\cdot||A^q||^{\frac{1}{mp+q}}\rightarrow||A^p||^{\frac{1}{p}}\leq R+\varepsilon\Rightarrow \sqrt[n]{||A^n||}\leq R+2\varepsilon,\, \forall n\geq n_0 \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow \underset{n\rightarrow}{\overline{\lim}}\sqrt[n]{||A||^n}\leq R+2\varepsilon. \end{align*}

$$~~\blacksquare$$

Теорема. Пусть $$X$$ - банахово. Оператор $$A:\, X\rightarrow Y$$ - обратим. Оператор $$B:\, X\rightarrow Y$$ и $$||A-B||\leq\frac{1}{||A^{-1}||}.$$ Тогда оператор $$B^{-1}$$ - обратим.

Доказательство:

\begin{align*} B = A - (A - B) = A(E-A^{-1}(A-B)) \Rightarrow ||A^{-1}(A-B)||\leq||A^{-1}||\cdot||A-B||\leq1. \end{align*}

$$~~\blacksquare$$

Следствие. Множество обратимых операторов открыто.

Теорема. Пусть $$X$$ - банахово. Оператор $$A: X\rightarrow Y$$ - обратим. Рассмотрим $$A_n: X\rightarrow Y,$$ $$||A_n-A||\rightarrow0.$$ Тогда $$\exists N:\, \forall n>N$$ $$A_n$$ обратим и $$||A^{-1}_n-A^{-1}||\rightarrow0.$$

Доказательство:
Обратимость: \begin{align*} A_n = A - (A-A_n) = A(E-A^{-1}(A-A_n)) \end{align*} \begin{align*} \exists N:\, \forall n >N:\, A^{-1}_n = (E-A^{-1}(A-A_n))^{-1}\cdot A^{-1} \end{align*} \begin{align*} A^{-1}_n - A^{-1} = (E-A^{-1}(A-A_n))^{-1}\cdot A^{-1} - A^{-1} = ((E-A^{-1}(A-A_n))^{-1}-E)\cdot A^{-1}\Rightarrow \end{align*} \begin{align*} \Rightarrow ||A^{-1}_n - A^{-1}||\leq\left\{||(E-B)^{-1}-E||\leq\frac{||B||}{1-||B||}\right\}\leq \frac{||A^{-1}||\cdot||A-A_n||}{1-||A^{-1}||\cdot||A-A_n||}\cdot ||A^{-1}||\underset{n\rightarrow\infty}{\rightarrow}0. \end{align*}

$$~~\blacksquare$$

Лемма. Пусть $$X$$ - банахово, $$\beta: X\rightarrow Y,$$ $$X_n=\left\{x\in X\big|\,||\beta x||\leq n||x||\right\}\Rightarrow X = \underset{n=1}{\overset{\infty}{\cup}}X_n$$ и $$\exists\,n_0:$$ $$\overline{X_0}=X.$$

Доказательство:
То, что $$X = \underset{n=1}{\overset{\infty}{\cup}}X_n$$ - очевидно. Покажем, что $$X = \underset{n=1}{\overset{\infty}{\cup}}\overline{X_n}.$$

По теореме Бэра среди $$X_n$$ найдётся множество, содержащее некоторый шар $$B(\widetilde{x}_0, \widetilde{r})\Rightarrow \exists x_0,\, r<\widetilde{r}:\, \overline{B(x_0, r)}\subset \overline{X_n}.$$

Пусть $$||\xi||=r.$$ Покажем, что точки этой сферы можно сколь угодно аппроксимировать точками некоторого $$X_{n_0}.$$

Рассмотрим $$x=x_0+\xi\in \overline{B(x_0, r)}\Rightarrow \exists\left\{x_k\right\}:\, x_k\in B(x_0, r)\cap X_n.$$

Последовательность $$x_k\rightarrow x,$$ $$\xi_k = x_k - x_0 \rightarrow \xi.$$

Покажем, что оператор $$\beta$$ ограничен на последовательности $$\left\{\xi_k\right\}, \, \beta\xi_k = \beta x_k - \beta x_0.$$

\begin{align*} ||\beta\xi_k||\leq||\beta x_k|| + ||\beta x_0||\leq n\cdot||x_k|| + n\cdot||x_0|| = n\cdot||x_0+\xi_k||+n\cdot||x_0||\leq 2n\cdot||x_0||+n\cdot||\xi_k||= \end{align*} \begin{align*} =||\xi_k||\cdot\bigg(2n\cdot\frac{||x_0||}{||\xi_k||}+n\bigg)\leq\left\{\text{Последовательность } \xi_k:\, ||\xi_k||\geq\frac{r}{2}, \text{ начиная с некоторого } k\right\}\leq||\xi_k||\cdot\underbrace{\bigg(\frac{4}{r}\cdot||x_0||+1\bigg)\cdot n}_{<n_0}. \end{align*}

Аппроксимируем $$\forall x\in X,\, x\neq0$$ точками из $$X_{n_0}:$$

\begin{align*} \xi = r\cdot\frac{x}{||x||}, \, ||\xi|| = r\Rightarrow \left\{\xi_k\right\}, \, \xi_k\in X_{n_0}:\, \xi_k\rightarrow\xi \end{align*}

\begin{align*} x_k = \frac{||x||}{r}\cdot \xi_k \in X_{n_0}, \text{ а } x_k\rightarrow x. \end{align*} $$~~\blacksquare$$

Теорема Банаха об обратном операторе. Пусть $$X, Y$$ - банаховы, оператор $$A: X\rightarrow Y$$ - взаимно-однозначный и ограничен, определённый на всём $$X: D(A) = X, R(A) = Y.$$ Тогда $$A$$ обратим.

Доказательство:
$$R(A) = Y \Rightarrow \exists A^{-1}_{п},$$ а $$Ker A =\left\{0\right\} \Rightarrow \exists A^{-1}_{л},$$ поэтому существует $$A^{-1}.$$

Рассмотрим $$\beta = A^{-1},\, \beta: Y\rightarrow X.$$

По лемме $$\exists Y_{n_0}:\, \overline{Y_{n_0}} = Y.$$

Рассмотрим $$\forall y\in Y,\, y\neq0,\, ||y|| = l>0:$$

\begin{align*} \exists y_1\in Y_{n_0}:\, ||y-y_1||\leq\frac{l}{2} \Rightarrow ||y_1||\leq2\cdot l \end{align*}

\begin{align*} \exists y_2\in Y_{n_0}:\, ||y-y_1-y_2||\leq\frac{l}{4} \Rightarrow ||y_2||\leq \cdot l \end{align*} \begin{align*} ... \end{align*} \begin{align*} \text{Имеем } \left\{y_n\right\}: y_n\in Y_{n_0}:\, ||y-(y_1+y_2+...+y_n)||\leq\frac{l}{2^n} \Rightarrow ||y_n||\leq\frac{l}{2^{n-1}} \Rightarrow y_1+y_2+...+y_n=y \end{align*} Положим $$x_n=\beta y_n:\, ||x_n||=||\beta y_n||\leq n_0\cdot||y_n||\leq\frac{n_0\cdot l}{2^{n-2}} \Rightarrow \text{ ряд } x_1+x_2+... \text{ сходится}$$

Обозначим $$x = x_1 + x_2 + \,... \in X.$$ \begin{align*} Ax = A(x_1 + x_2 + \,...) = Ax_1 + Ax_2 + \,... = y_1 + y_2 + \,... = y. \end{align*} \begin{align*} ||\beta y|| = ||A^{-1}y||=||x||\leq||x_1||+||x_2||+\,...\leq 4n_0l=4n_0||y||\Rightarrow ||\beta||\leq 4n_0. \end{align*}

$$~~\blacksquare$$

Следствие. Пусть в $$X$$ заданы нормы $$||\cdot||_1$$ и $$||\cdot||_2,$$ причём $$X$$ - полно относительно обеих норм и $$\exists$$ $$M>0:$$ $$||x||_1\leq M||x||_2, \,\forall x\in X.$$ Тогда $$\exists\, m>0:$$ $$||x||_2\leq m\cdot||x||_1,\forall x\in X.$$

Теорема Хана-Банаха

Определение 11. Оператор $$A:\, X\rightarrow Y$$ - замкнутый, если $$\forall\left\{x_n\right\},\,x_n\in D(A): \, x_n\rightarrow x,\, Ax_n\rightarrow y\Rightarrow Ax = y.$$

Определение 12. Множество $$G(A)=\left\{(x, Ax),\, x\in D(A)\right\}$$ называется графиком оператора $$A.$$ $$G(A)\subset X\times Y.$$

Теорема о замкнутом графике. Пусть $$X, Y$$ -банаховы, $$A:\, X\rightarrow Y, \, D(A) = X,$$ $$A$$ - замкнутый, тогда $$A$$ - ограниченный.

Доказательство:
$$A$$ - замкнут $$\Leftrightarrow$$ $$G(A)$$ замкнут по норме $$|x| = ||x||+||Ax||.$$

$$X_1=(X, ||\cdot||),$$ $$X_2=(X, ||\cdot||).$$

В силу замкнутости $$A$$ пространство $$X_2$$ - полно. Рассмотрим фундаментальную последовательность $$\left\{x_n\right\}$$ в $$X_2:$$ \begin{align*} |x_n-x_m|=||x_n-x_m||+||Ax_n-Ax_m||. \end{align*}

Последовательности $$\left\{x_n\right\}$$ и $$\left\{Ax_n\right\}$$ фундаментальны в $$X$$ и в $$Y$$ соответственно, поэтому:

\begin{align*} \exists\, x =\underset{n\rightarrow}{\lim} x_n\in X, \, \exists\, y = \underset{n\rightarrow}{\lim} Ax_n\in Y. \end{align*} \begin{align*} ||x||_1 = ||x||\leq||x||_2=|x|=||x||+||Ax|| \end{align*}

$$~~\blacksquare$$

Теорема Хана-Банаха.

Пусть $$X$$ - линейное нормированное пространство. Дополнительно предположим сепарабельность.

Пусть $$M$$ - линейное многообразие в $$X,$$ $$f(x)$$ - линейный ограниченный функционал, заданный на $$M.$$ Тогда существует продолжение $$f$$ на всё $$X$$ с сохранением нормы, то есть $$\exists \,F(x)$$ - линейный ограниченный функционал: $$||F||=||f||$$ и $$F(x)=f(x),\forall x\in M.$$

Доказательство:
Пусть $$x_0\notin M \Rightarrow x_0\in X.$$ Пусть $$c = F(x_0).$$

\begin{align*} M+\left\{x_0\right\}=\left\{x\bigg|\, x'+\alpha x_0, x'\in M, \alpha \in \mathbb{R}\right\}. \end{align*} \begin{align*} F(x) = F(x')+F(\alpha x_0) = f(x') + \alpha\cdot F(x_0) \end{align*}

Так как верны неравенства $$-||f||\cdot||x||\leq F(x)\leq ||f||\cdot||x||$$ и $$F(-x)\leq||f||\cdot||-x||=||f||\cdot||x||$$, получаем \begin{align*} f(x')+\alpha\cdot c\leq ||f||\cdot||x'+\alpha\cdot x_0||,\,\forall x'\in M,\,\forall\alpha\in \mathbb{R} \end{align*} При $$\alpha = 0$$ - очевидно.

При $$\alpha > 0:$$ $$f\big(\frac{x'}{\alpha}\big)+c\leq||f||\cdot||\frac{x'}{\alpha}+x_0||.$$

При $$\alpha < 0:$$ $$f\big(-\frac{x'}{\alpha}\big)-c\leq||f||\cdot||-\frac{x'}{\alpha}-x_0||.$$

При $$\alpha = -1:$$ \begin{align*} f(\widetilde{x}) - c \leq ||f||\cdot||\widetilde{x}-x_0||,\,\forall \widetilde{x}\in M. \end{align*}

При $$\alpha = 1:$$ \begin{align*} f(\hat{x}) + c \leq ||f||\cdot||\hat{x}-x_0||,\,\forall \hat{x}\in M. \end{align*}

Тогда, складывая, получаем: \begin{align*} f(\hat{x})-||f||\cdot||\hat{x}-x_0||\leq||f||\cdot||\widetilde{x}+x_0||-f(\widetilde{x}) \end{align*} \begin{align*} f(\hat{x}+\widetilde{x})=f(\hat{x})+f(\widetilde{x})\leq||f||\cdot||\hat{x}-x_0||+||f||\cdot||\widetilde{x}+x_0|| \end{align*} \begin{align*} f(\hat{x}+\widetilde{x}) = f(\hat{x}-x_0+\widetilde{x}+x_0) = f(\hat{x}-x_0)+f(\widetilde{x}+x_0)\leq||f||\cdot||\hat{x}-x_0||+||f||\cdot||\widetilde{x}+x_0||. \end{align*}

Пусть $$x_1, x_2, ...$$ - счётное всюду плотное множество в $$X.$$ Для $$\forall x\in X$$ $$\exists\,x_{n_k}\rightarrow x, $$ тогда \begin{align*} (F(x')-F(x''))\leq||F||\cdot||x'-x''||,\,\, \underset{k\rightarrow \infty}{\lim} F(x_{n_k}) = F(x). \end{align*} \begin{align*} f(\hat{x}+\widetilde{x})\leq||f||\cdot||\hat{x}+\widetilde{x}||\leq||f||\cdot(||\hat{x}+x_0||+||\widetilde{x}-x_0||) \end{align*}

$$~~\blacksquare$$

Следствие 1. Пусть $$x_0\in X,\, x_0\neq0.$$ Тогда $$\exists$$ линейный ограниченный функционал $$f(x):$$ $$f(x)=||x_0||,\, x\in X$$ и $$||f|| = 1.$$

Следствие 2. Если $$f(x_0) = 0,$$ для любого линейного ограниченного функционала $$f,$$ то $$x_0 = 0.$$

Следствие 3. Пусть $$M$$ - замкнутое подмножество линейного многообразия в $$X:$$ $$M\neq X.$$ Рассмотрим точку $$x_0\notin M,$$ то есть $$x_0\in X.$$ Тогда $$\exists$$ линейный ограниченный функционал $$f(x)$$ на $$X:$$ $$f(x) = 0,\,\forall x\in M$$ и $$f(x_0)=1.$$

Доказательство:
Рассмотрим $$x = x'+\alpha\cdot x_0,\, x'\in M, \, \alpha\in \mathbb{R} \Rightarrow f(x)=f(x')+\alpha\cdot f(x_0)=\alpha.$$ \begin{align*} \underset{x'\in M,\, \alpha\in \mathbb{R}}{\sup} \frac{|f(x'+\alpha\cdot x_0)|}{||x'+\alpha\cdot x_0||} = \underset{x'\in M,\, \alpha\in \mathbb{R}}{\sup} \frac{|\alpha|}{||x'+\alpha\cdot x_0||} = \underset{x'\in M,\, \alpha\in \mathbb{R}}{\sup} \frac{1}{||-\frac{x'}{\alpha}-x_0||} = \frac{1}{ \underset{x_1\in M}{\inf}||x_1-x_0||}<\infty. \end{align*}

$$~~\blacksquare$$

Сопряжённые пространства.

Пусть $$ X - $$ линейное нормированное пространство.

Определение 13. Пространство линейных ограниченных функционалов над $$ X $$ называется сопряженным к $$ X $$. Обозначение: $$ X^* $$.

Замечание. $$ X^* = L(X, \mathbb{R})$$.

Замечание. $$ X^* - $$ полное пространство. Это следует из полноты пространства $$ \mathbb{R} $$ и доказанной выше теоремы 2.

Теорема. Если $$ X^* $$ сепарабельно, то $$ X $$ тоже сепарабельно.

Доказательство:
Рассмотрим единичную сферу в $$ X^* $$. Из сепарабельности $$ X^* $$ следует, что на ней существует счетное всюду плотное множество $$ \{x_n^*\}: \ x_n^* \in X^*, \ \| x_n^*\| = 1. $$ \begin{align*} \| x_n^* \| = \underset{\| x\| = 1}{\sup} |x_n^*(x)| = 1 \Rightarrow \exists \{x_n\}: \ x_n \in X, \ \| x_n\| = 1, \ |x_n^*(x_n)| > \frac{1}{2}. \end{align*} Рассмотрим множество всевозможных конечных линейных комбинаций элементов $$ \{x_n\} $$ с рациональными коэффициентами. Оно счетно (т.к. $$ \{x_n\} - $$ счетно и $$ \mathbb{Q} - $$ счетно). Пусть $$ M - $$ замыкание этого множества. Докажем, что $$ M = X $$.

От противного: пусть $$ M \neq X $$. Тогда $$ \exists x_0 \in X: \ x_0 \notin M $$ и по следствию 3 из теоремы Хана-Банаха $$\exists f \in X^*: f(x^{\prime}) = 0 \ \forall x^{\prime} \in M$$, $$f(x_0) = 1.$$ \begin{align*} 0 = |f(x_n)| = |(f - x_n^*)(x_n) + x_n^*(x_n)| \geq |x_n^*(x_n)| - |(f - x_n^*)(x_n)| > \frac{1}{2} - \| f - x_n^*\| \Rightarrow \end{align*} \begin{align*} \Rightarrow \| f - x_n^*\| > \frac{1}{2}. \end{align*} Но в силу плотности множества $$ \{x_n^*\} $$ $$ \| f - x_n^*\| $$ можно сделать сколь угодно малым, а значит, получаем противоречие, и $$ M = X $$, что и доказывает теорему.

$$~~\blacksquare$$

Пример 1. Рассмотрим пространство $$ l_p, p > 1 - $$ пространство бесконечных последовательностей вида $$ x = (x_1, x_2, \dots) $$ , таких что $$ \sum_{k=1}^{\infty} |x_k|^p < \infty $$, \begin{align*} \| x\|_p = \left(\sum_{k=1}^{\infty} |x_k|^p\right)^{\frac{1}{p}} \end{align*} Пространство $$ l_p $$ сепарабельно. Докажем, что $$ l_p^* = l_q $$, где $$ p, q: \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1. $$

1) Пусть $$ y \in l_q, \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $$. Определим функционал $$ f(x) = \sum_{k=1}^{\infty} x_k y_k $$. Он, очевидно, линеен и ограничен: из неравенства Гельдера для рядов $$ \Rightarrow |f(x)| \leq \| x\|_p \| y\|_q $$, т.е. $$ \| f\| \leq \|y\|_q $$.

2) Покажем теперь, что всякий функционал из $$ l_p^* $$ представим в таком виде, причем элемент $$ y $$ определяется однозначно и $$ \|f\| = \|y\| $$.

Рассмотрим орты $$ e_n = (0, 0, \dots, 0, 1, 0, \dots) \in l_p $$ (единица в n-ой позиции) и положим $$ y_n = f(e_n) $$.

Рассмотрим последовательность $$ x^n = \sum_{k=1}^n |y_k|^{q-1} \text{sgn} \ y_k e_k $$ (здесь $$ |y_k|^{q-1} \text{sgn} \ y_k \in \mathbb{R}, \ e_n \in l_p $$). Тогда \begin{align*} f(x^n) = \sum_{k=1}^n |y_k|^{q-1} \text{sgn} \ y_k y_k = \sum_{k=1}^n |y_k|^{q-1} |y_k| = \sum_{k=1}^n |y_k|^{q}. \end{align*} \begin{align*} \| f\| \geq \frac{|f(x^n)|}{\|x^n\|_p} = \frac{\sum_{k=1}^n |y_k|^{q}}{\left( \sum_{k=1}^n |y_k|^{(q-1)p} \right)^{\frac{1}{p}}} = \left\{\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 \Rightarrow (q-1)p = q\right\} = \frac{\sum_{k=1}^n |y_k|^{q}}{\left( \sum_{k=1}^n |y_k|^{q} \right)^{\frac{1}{p}}} = \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^{q} \right)^{\frac{1}{q}}. \end{align*} При $$ n \rightarrow \infty $$ получим, что $$ y \in l_q$$ и $$ \| f\| \geq \| y\|_q$$, что в силу показанного ранее обратного неравенства дает $$ \| f\| = \| y\|_q$$. Единственность $$ y = (y_1, y_2, \dots) $$ следует из определения его компонент равенством $$ y_n = f(e_n) $$.

Пример 2. Аналогичное утверждение можно доказать и для пространства $$ L_p(\mathbb{R}^m, \mu), p > 1 $$, т.е. $$ L_p^* = L_q,$$ где $$ p, q: \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $$ или \begin{align*} \forall f \in L_p^*(\mathbb{R}^m, \mu) \ \exists y \in L_q(\mathbb{R}^m, \mu): \ f(x) = \underset{\mathbb{R}^m}{\int} x(t)y(t) d \mu, \ \| f\| = \| y\|_q. \end{align*} Покажем это. Применим функционал к характеристической функции: $$ f(\chi_A(t)) = \varphi(A)$$. $$ \varphi(A) - $$ заряд, а следовательно, по теореме Радона-Никодима его можно представить в виде \begin{align*} \varphi(A) = \int_A y(t) d \mu, \ y \in L_1(\mathbb{R}^m, \mu). \end{align*} Представим $$ y(t)$$ в виде $$ y(t) = y_+(t) - y_-(t)$$, где $$ y_+(t), y_-(t) \geq 0 $$. Заметим, что достаточно доказать утверждение для случая $$ y(t) = y_+(t)$$.

Докажем, что $$ y \in L_q(\mathbb{R}^m, \mu) $$. Аппроксимируем $$ y(t) $$ снизу простыми функциями с конечным числом значений $$ y_n(t)$$: $$ y(t) \geq y_n(t) \geq 0 $$. Тогда \begin{align*} \varphi(A) = \int_A y(t) d \mu \geq \int_A y_n(t) d \mu. \end{align*} Рассмотрим простые функции $$ x_n(t) $$, имеющие такие же подмножества в качестве носителей простых значений, что и $$ y_n(t) $$, но принимающие на них значения $$ y_n^{q-1} $$. Получим \begin{align*} f(x_n) = \sum_k y_n^{q-1} \varphi(A_k) \geq \int_{\mathbb{R}^m} \sum_k y_n^{q} \varphi(A_k) d \mu = \int_{\mathbb{R}^m} y_n^{q}(t) d \mu. \end{align*} Далее аналогично примеру 1 \begin{align*} f(x_n) \leq \|f \| \|x_n \|_p = \|f \| \left( \sum_k y_n^{pq - p} \varphi(A_k) \right)^{\frac{1}{p}} = \|f \| \left( \sum_k y_n^q \varphi(A_k) \right)^{\frac{1}{p}} \end{align*} \begin{align*} \Rightarrow \int_{\mathbb{R}^m} y_n^{q}(t) d \mu \leq \|f \| \left( \sum_k y_n^q \varphi(A_k) \right)^{\frac{1}{p}} \end{align*} \begin{align*} \Rightarrow \|y_n \|_q \leq \| f\|. \end{align*} Переходя к пределу, имеем $$ \|y \|_q \leq \| f\|$$, а значит, $$\|y \|_q = \| f\|$$.

Определение 14. Второе сопряженное пространство $$ - $$ это пространство функционалов над пространством функционалов: $$ X^{**} = (X^*)^* $$.

Пример 3. Рассмотрим пространство $$ L_1 $$. Из аналогичных примеру 2 рассуждений следует, что $$ L_1^* = $$ $$L_{\infty} $$. Покажем, что второе сопряженное пространство к $$ L_1 $$ не совпадает с ним, т.е. $$ L_{\infty} \neq L_1 $$. Действительно, это следует из доказанной выше теоремы, поскольку пространство $$ L_1 $$ является сепарабельным, а $$ L_{\infty} $$ - нет: рассмотрим функции \begin{align*} x_{\alpha}(t) = \begin{cases} 1, \ 0 < t < \alpha, \\ 0, \alpha \leq t < 1. \end{cases} \end{align*} Это несчетная система функций в $$L_{\infty}(0, 1) $$, причем $$ \| x_{\alpha}(t) - x_{\beta}(t)\|_{\infty}, \ \alpha \neq \beta $$, поэтому в $$ L_{\infty} $$ не может существовать счетного всюду плотного множества.

Теорема. $$ X \subset X^{**} $$

Доказательство:
Покажем, что всякий элемент $$ x \in X $$ определяет некоторый ограниченный линейный функционал $$ \tau_x $$ на $$ X^{**} $$. Положим \begin{align*} \tau_x(x^*) = x^*(x) \end{align*} для $$ \forall $$ линейного ограниченного функционала $$ x^* \in X^* $$.

Линейность: \begin{align*} \tau_x(\alpha x^* + \beta x^*) = \alpha x^*(x) + \beta x^*(x) = \alpha \tau_x(x^*) + \beta \tau_x(x^*), \ \forall x^*, y^* \in X^*. \end{align*} Ограниченность: \begin{align*} |\tau_x(x^*)| = |x^*(x)| \leq \|x^*\|\|x\| \ (т.к. x^* - ограниченный \ функционал) \Rightarrow \|\tau_x\| = \underset{x^* \neq 0}{\sup} \frac{|\tau_x(x^*)|}{\|x^*\|} \leq \|x\|. \end{align*}

$$~~\blacksquare$$

Лемма. $$ \|\tau_x\| = \|x\| $$.

Доказательство:

1) Если $$ x = 0 $$, то $$ \tau_x \equiv 0$$ и $$ \|\tau_x\| = \|x\|$$.

2) Если $$ x \neq 0 $$, то по следствию 1 из теоремы Хана-Банаха $$ \Rightarrow \exists f \in X^*: \ f(x) = \|x\|, \|f\| = 1 $$. Тогда $$ \tau_x(f) = f(x) = \|x\| = \|x\| \|f\| $$, т.е. $$ \|\tau_x\| \geq \|x\| $$. Сопоставляя данное неравенство с $$ \|\tau_x\| \leq \|x\| $$, получим $$ \|\tau_x\| = \|x\| $$.

$$~~\blacksquare$$

Определение 15. Если $$ X^{**} $$ состоит только из таких функционалов $$ \tau_x $$ (т.е. $$ X^{**} $$ изоморфно $$ X $$), то $$ X $$ называется рефлексивным.

Пример 4. Пространство $$ L_p $$ рефлексивно при $$ p > 1 $$, т.к. $$ L_p^{**} = (L_q)^* = L_p$$

Пример 5. Пространство $$ L_1 $$ нерефлексивно, поскольку иначе в силу сепарабельности пространства $$ L_1 $$ и $$ L_1^* = L_{\infty} $$ должно быть сепарабельным, что неверно (см. пример 3).

Пример 6. Аналогично примеру 4, $$ l_p $$ рефлексивно при $$ p > 1 $$.

Слабая сходимость. Слабая компактность.

Пусть $$X - $$ банахово пространство.

Определение 16. Последовательность $$ \{x_n\}, x_n \in X $$ называется слабо сходящейся к $$ x \in X $$, если $$ f(x_n) \rightarrow f(x) $$ для $$ \forall f \in X^*$$. Обозначение: $$ x_n \rightharpoondown x $$ или $$ x_n \overset{w}{\rightarrow} x $$.

Определение 17. Последовательность $$ \{x_n\}, x_n \in X $$ называется слабо фундаментальной, если $$ \{f(x_n)\} $$ фундаментальна для $$ \forall f \in X^*$$.

Утверждение. Из сходимости по норме вытекает слабая сходимость.

Доказательство:
Пусть $$ \| x_n - x \| \rightarrow 0, n \rightarrow \infty, \ x_n, x \in X $$ (сходимость по норме). Тогда, учитывая, что $$ f - $$ линейный ограниченный функционал, получим \begin{align*} |f(x_n) - f(x)| = |f(x_n - x)| \leq \| f\|\| x_n - x \| \rightarrow 0, n \rightarrow \infty , \end{align*} а значит, $$ x_n \rightharpoondown x $$.

$$~~\blacksquare$$

Замечание. Обратное неверно. Рассмотрим пример: $$ X = l_2, x_n = e_n $$ (орты, см. пример 1). Последовательность $$ e_n $$ не сходится по норме, поскольку $$ \| e_n - e_m \| = \sqrt{2}, \ n \neq m $$. При этом $$ x_n \rightharpoondown 0$$ (в силу теоремы Рисса и равенства Парсеваля).

Лемма. Слабый предел единственен.

Доказательство:
Пусть $$ x_n \rightharpoondown x^{\prime} $$ и $$ x_n \rightharpoondown x^{\prime \prime} $$. Тогда $$ f(x_n) \rightarrow f(x^{\prime}) $$ и $$ f(x_n) \rightarrow f(x^{\prime \prime}) \Rightarrow f(x^{\prime}) - f(x^{\prime \prime}) = 0 = f(x^{\prime} - x^{\prime \prime}), \ \forall f \in X^*.$$

По следствию 2 из теоремы Хана-Банаха получим, что $$ x^{\prime} - x^{\prime \prime} = 0$$, т.е. $$ x^{\prime} = x^{\prime \prime}.$$

$$~~\blacksquare$$

Далее докажем три основных теоремы о слабой сходимости.

Теорема. Слабо фундаментальная последовательность ограничена.

Доказательство:
Пусть $$ \{x_n\}, x_n \in X - $$ слабо фундаментальная последовательность, т.е. $$ \{x^*(x_n)\} $$ фундаментальна для $$ \forall x^* \in X^*$$, тогда $$ \forall x^* \in X^* \ \exists \lim_{n \to \infty} x^*(x_n).$$

Представим в виде $$ x^*(x_n) = \tau_{x_n}(x^*) $$ и рассмотрим последовательность функционалов $$ \{ \tau_{x_n}\}, \ \tau_{x_n}: X^* \rightarrow \mathbb{R}.$$ По следствию из теоремы Банаха-Штейнгауза $$ \exists M: \| \tau_{x_n}\| \leq M $$. Поскольку $$ \| \tau_{x_n}\| = \| x_n\| \Rightarrow \| x_n\| \leq M.$$

$$~~\blacksquare$$

Теорема. Рефлексивное пространство слабо полно.

Доказательство:
Пусть $$ \{x_n\}, x_n \in X - $$ слабо фундаментальная последовательность, т.е. $$ \{x^*(x_n)\} $$ фундаментальна для $$ \forall x^* \in X^*$$, тогда $$ \forall x^* \in X^* \ \exists \lim_{n \to \infty} x^*(x_n) = f(x^*).$$

Рассмотрим функционал $$ f $$. Он линеен из свойств предела. Докажем также его ограниченность. Из представления $$ x^*(x_n) = \tau_{x_n}(x^*) $$ и предыдущей теоремы получим, что \begin{align*} \exists M: \| \tau_{x_n}\| \leq M \Rightarrow |f(x^*)| = |\lim_{n \to \infty} \tau_{x_n}(x^*)| \leq \| \tau_{x_n}\| \| x^*\| \leq M \| x^*\|. \end{align*} Итак, $$ f - $$ линейный ограниченный функционал, $$ f \in X^{**}$$. Пространство $$ X^{**}$$ рефлексивно $$ \Rightarrow \exists x \in X : f(x^*) = \tau_x(x^*) = x^*(x)$$, т.е. $$ x^*(x_n) \to x^*(x) $$, что и означает $$ x_n \rightharpoondown x $$.

$$~~\blacksquare$$

Теорема (о слабой компактности). В сепарабельном рефлексивном пространстве из любой ограниченной последовательности можно выбрать слабо сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство:
Пусть $$ X = X^{**}, x_n \in X, \| x_n\| \leq M $$. $$ X^*- $$ сепарабельно, т.к. $$ (X^*)^* = X^{**} = X $$.

Пусть $$ \{ x_k^*\} - $$ счетное всюду плотное множество в $$ X^* $$. Рассмотрим $$ x_1^*: $$ \begin{align*} | x_1^*(x_n)| \leq \| x_1^* \| \| x_n \| \leq M \cdot \| x_1^* \|, \end{align*} т.е. числовая последовательность $$ \{ x_1^*(x_n)\} - $$ ограниченна, а значит, из нее можно выбрать сходящуюся подпоследовательность: $$ \exists \{ x_1^*(x_{1n})\} - $$ сходящаяся.

Рассмотрим теперь $$ \{ x_2^*(x_{1n})\} $$. Аналогично, она ограничена и из нее можно выбрать сходящуюся подпоследовательность $$ \{ x_2^*(x_{2n})\}$$, и т.д.

Выделим диагональную последовательность $$ \{ x_{nn}\} = \{ z_n\} $$ и докажем, что $$ z_n $$ сходится слабо. Зафиксируем $$ \forall \varepsilon > 0, \forall x^* \in X^* \Rightarrow \exists k: \| x^* - x_k^*\| < \varepsilon $$ (т.к. $$ \{ x_k^*\} - $$ счетное всюду плотное множество). Рассмотрим \begin{align*} |x^*(z_m) - x^*(z_n)| = |x^*(z_m - z_n)| = |(x^* - x_k^*)(z_m - z_n) + x^*_k(z_m - z_n)| \leq \| x^* - x_k^* \| \| z_m - z_n \| + |x^*_k(z_m) - x^*_k(z_n))|. \end{align*} Первое слагаемое оценим следующим образом: \begin{align*} \| x^* - x_k^* \| \| z_m - z_n \| \leq \varepsilon (\| z_m\| + \| z_n \|) \leq 2 \varepsilon M, \end{align*} т.к. $$ z_n = x_{nn}$$ является подпоследовательностью $$ x_n $$, a $$ \| x_n\| \leq M $$.

Слагаемое $$ |x^*_k(z_m) - x^*_k(z_n))| \to 0 $$, т.к. $$ \forall k \ \{ x_k^*(z_n)\} $$ сходящаяся.

Значит, $$ \{ z_n\} $$ слабо фундаментальна, и по предыдущей теореме она является слабо сходящейся.

$$~~\blacksquare$$

Вычисление нормы линейного оператора

Пример 1. Пусть $$A:$$ $$C[0,1]\rightarrow C[0,1].$$ $$(Ax)(f) = \int\limits_{0}^{t} x(\tau)d\tau.$$ Найти $$||A||?$$

Решение:
Норма в пространстве $$C[0,1]$$ задаётся, как $$||x(t)||_{C[0,1]}=\underset{t\in [0,1]}{\max}|x(t)|,$$ тогда:

$$||(Ax)(t)|| = \underset{t\in[0,1]}{\max} |\int\limits_{0}^{t}x(\tau)d\tau|\leq \underset{t\in[0,1]}{\max} \int\limits_{0}^{t}|x(\tau)|d\tau\leq$$ $$\underset{t\in[0,1]}{\max} \int\limits_{0}^{t}||x(\tau)||d\tau = ||x||\cdot\underset{t\in[0,1]}{\max}t\leq ||x|| \Rightarrow ||A||\leq1.$$

Покажем, что равенство достигается на $$x(t)=1:\,||x||=1:$$

$$(Ax)(t)=t,\, ||Ax||=1\Rightarrow ||A||=1.$$

$$~~\blacksquare$$

Пример 2. Пусть $$A:$$ $$C'[0,1]\rightarrow C[0,1].$$ $$(Ax)(f) = x'(t).$$ Найти $$||A||?$$

Решение:
Норма в пространстве $$C'[0,1]$$ задаётся, как $$||x(t)||_{C'[0,1]}=||x(t)||_{C[0,1]}+||x'(t)||_{C[0,1]}=\underset{t\in [0,1]}{\max}|x(t)|+\underset{t\in [0,1]}{\max}|x'(t)|,$$ тогда:

$$||(Ax)(t)|| = \underset{\substack{x:\,||x||=1,\\ x\in C'[0,1]}}{\sup} ||Ax||_{C[0,1]} = \underset{\substack{x:\,||x||=1,\\ x\in C'[0,1]}}{\sup} \big(\underset{t\in[0,1]}{\max}|x'(t)|\big)\leq 1.$$

Предложим функцию $$||x(t)||_{C'[0,1]}=1:$$ \begin{align*} \begin{cases} \underset{t\in[0,1]}{\max} |x(t)|=0,\\ \underset{t\in[0,1]}{\max} |x'(t)|=1. \end{cases} \end{align*}

Рассмотрим последовательность $$\{x_n(t)\}:$$ \begin{align*} x_n(t) = \begin{cases} \frac{1}{n}-t,\, 0\leq t \leq \frac{1}{n}\\ 0, \, \text{иначе} \end{cases} \end{align*}

Но $$||x_n(t)||_{C'[0,1]} = \frac{1}{n}+1,$$ поэтому элементы последовательности стоит нормировать (т.е. $$||\widetilde{x}_n(t)||_{C'[0,1]}=1$$): \begin{align*} \widetilde{x}_n(t)=\frac{x_n(t)}{||x_n(t)||}=\frac{\frac{1}{n}-t}{\frac{1}{n}+1} = \big(\tfrac{1}{n}-t\big)\cdot \frac{n}{n+1}\Rightarrow \widetilde{x}_n(t) = \begin{cases} \frac{1}{n+1}-\frac{nt}{n+1},\, 0\leq t \leq \frac{1}{n}\\ 0, \, \text{иначе} \end{cases} \end{align*} Очевидно, что $$||\widetilde{x}_n(t)||_{C'[0,1]}=\frac{1}{n+1}+\frac{n}{n+1}=1.$$ \begin{align*} ||\widetilde{x}_n(t)||=\underset{t\in[0,1]}{\max} |\widetilde{x}_n(t)| + \underset{t\in[0,1]}{\max} |\widetilde{x}_n'(t)| = \frac{1}{n}+\frac{n}{n+1} \underset{n\rightarrow \infty}{\rightarrow} 1 \end{align*} Далее мы воспользуемся непрерывностью нормы: \begin{align*} \Rightarrow ||\widetilde{x}(t)|| = ||\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\widetilde{x}_n(t)|| = \underset{n\rightarrow \infty}{\lim}||\widetilde{x}_n(t)|| = 1\Rightarrow ||A||=1. \end{align*}

$$~~\blacksquare$$

Пример 3. Пусть $$A:$$ $$C[0,1]\rightarrow C[0,1].$$ $$(Ax)(f) = x'(t).$$ Найти $$||A||?$$

Решение:
Пусть $$D(A)=\{x\in C[0,1]:\,x\in C'[0,1]\}.$$ \begin{align*} ||A|| = \underset{\substack{x:\,||x||_{C[0,1]}=1,\\ x\in D(A)}}{\sup} ||Ax||_{C[0,1]} = \underset{\substack{x:\,||x||_{C[0,1]}=1,\\ x\in D(A)}}{\sup} \underset{t\in[0,1]}{\max} |x'(t)|=\infty \end{align*}

Рассмотрим последовательность $$\{x_n(t)\}:\, x_n(t)=t^n,$$ для которой $$x_n'(t)=n\cdot t^{n-1}.$$

Очевидно, что: $$||x_n||_{C[0,1]}=1,$$ но $$||x_n'||_{C[0,1]}=n\underset{n\rightarrow \infty}{\rightarrow} \infty\Rightarrow ||A||_{C[0,1]}=\infty.$$

Получили, что оператор $$A$$ не является ограниченным. $$~~\blacksquare$$

Список литературы

1. Полосин А. А. Лекции по функциональному анализу, 2022-2023г.

2. Точилин П. А. Семинарские занятия по функциональному анализу, 2022-2023г.

3. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М: Наука, 1965.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.