Линейный оператор в банаховых пространствах

Отображения. Теорема Банаха-Штейнгауза.

Пусть $X,$ $Y$ - нормированные пространства. Рассмотрим $A: X \rightarrow Y$ - отображение.

Определение 1. Отображение $A$ называется непрерывным в т. $x_0\in X,$ если $\forall\left\{x_n\right\},$ $x_n\in X:$ $x_n\rightarrow x_0$ имеет место $Ax_n\rightarrow Ax_0.$

Лемма. Если $A$ - линейное отображение, которое непрерывно хотя бы в одной точке, то $A$ непрерывно всюду.

Доказательство:
Пусть $A$ непрерывно в точке $x_0.$ Фиксируем произвольную точку $x\in X$ и $\forall\left\{x_n\right\},$ $x_n\in X:$ $x_n \rightarrow x_0.$

Рассмотрим последовательность $\left\{y_n\right\}:$ $y_n=x_n-x+x_0.$ $$\begin{align*} y_n \rightarrow x_0 \Rightarrow Ay_n = A(x_n-x)+Ax_0=\underbrace{Ax_n-Ax}_{\rightarrow\,0}+Ax_0\rightarrow Ax_0. \end{align*}$$ $~~\blacksquare$

Пример.

Пусть пространства $X, Y = C[0,1],$ а оператор $A = \frac{d}{dt},$ тогда область определения оператора $D(A) = C^1[0,1].$

Рассмотрим последовательность $x_n(t) = \frac{\sin nt}{\sqrt{n}}\rightarrow0,$ но $Ax_n(t)=\sqrt{n}\cos nt\nrightarrow 0.$ Показали, что оператор не является непрерывным.

Определение 2. Отображение $A$ называется ограниченным, если оно любое ограниченное множество переводит в ограниченное множество.

Определение 3. Норму ограниченного отображения $A:$ $X\rightarrow Y$ введём, как $||A||=\underset{||x||\leq1}{\sup}||Ax||.$

Замечание 1. Если $A$ - линейное, то $||A||=\underset{x\neq0}{\sup}\frac{||Ax||}{||x||}=\underset{||x||=1}{\sup} ||Ax||.$

Замечание 2. $||Ax||\leq||A||\cdot||x||.$

Определение 4. $L(X,Y)$ - линейное пространство линейных ограниченных операторов (отображений), действующих из $X$ в $Y$.

Теорема 1. Линейный оператор непрерывен $\Leftrightarrow$ ограничен.

Доказательство:
1. (Ограниченность $\Rightarrow$ Непрерывность)
$$\begin{align*} ||Ax_n-Ax|| = ||A(x_n-x)|| \leq ||A||\cdot||x_n-x||. \end{align*}$$
2. (Непрерывность $\Rightarrow$ Ограниченность)
От противного. Пусть $\exists\left\{x_n\right\}:$ $||x_n||\leq1,\,$ $||Ax_n||\rightarrow+\infty,$ тогда рассмотрим $y_n = \frac{x_n}{\sqrt{||Ax_n||}}:$ $$\begin{align*}||y_n|| = \frac{||x_n||}{\sqrt{||Ax_n||}}\rightarrow0\Rightarrow y_n\rightarrow0.\end{align*}$$ $$\begin{align*}||Ay_n|| = \frac{||Ax_n||}{\sqrt{||Ax_n||}} = \sqrt{||Ax_n||}\rightarrow +\infty \text{ - противоречие с непрерывностью оператора.}\end{align*}$$

$~~\blacksquare$

Пример. Доказать, что функционал $f(x) = \int\limits_{-1}^1 tx(t)dt$ является непрерывным в $C[-1, 1]$ и найти его норму.

Решение:
Очевидно, функционал линеен. Тогда по теореме 1 он непрерывен $\Leftrightarrow$ он ограничен.

Рассмотрим произвольное ограниченное множество $\|x\| = \underset{t\in [-1,1]}{\max}|x(t)| \leq M, \ M > 0.$ Тогда $$\begin{align*} |f(x)| = |\int\limits_{-1}^1 tx(t)dt| \leq \int\limits_{-1}^1 |t||x(t)|dt \leq M\int\limits_{-1}^1 |t|dt = M. \end{align*}$$ А значит, функционал f является ограниченным, что доказывает его непрерывность.

Найдем норму $\| f\| = \underset{\| x\| = 1}{\sup} |f(x)|$. По доказанному выше, для $\| x\| = 1 \Rightarrow |f(x)| \leq 1$, причем при $x(t) = 1$ эта верхняя грань достигается. Таким образом, $\| f \| = 1$.

Теорема 2. Если $Y$ - банахово, то $L(X,Y)$ - тоже банахово.

Доказательство:
Рассмотрим фундаментальную последовательность $\left\{A_n\right\},$ $A_n\in L(X,Y):$ $$\begin{align*}||A_n-A_m||\underset{n,m\rightarrow\infty}{\rightarrow}0.\end{align*}$$

Для любых ограниченных $x\in X$ посл-ть $\left\{A_nx\right\}$ - фундаментальная: $||A_nx-A_mx||\leq||A_n-A_m||\cdot||x||\underset{n,m\rightarrow\infty}{\rightarrow}0.$

Следовательно фунадментальна и последовательность $\left\{A_nx\right\},$ поэтому в силу полноты $Y$ $\exists$ $\underset{n\rightarrow \infty}{\lim} A_n x = Ax.$

Покажем, что $A\in L(X,Y):$ $$\begin{align*} ||A_nx-A_mx||\leq\varepsilon\cdot||x||\Rightarrow \left\{\text{ При } m\rightarrow\infty\right\}\Rightarrow ||A_nx-Ax||\leq\varepsilon\cdot||x|| \end{align*}$$ $$\begin{align*} ||A_n-A||\leq\varepsilon \Rightarrow \left\{A_n\rightarrow A\right\} \Rightarrow A \text{ - ограниченный.} \end{align*}$$

$~~\blacksquare$

Определение 5. Множество $E,$ $E\subset M$ называется нигде не плотным, если замыкание $E$ не содержит ни одного шара.

Определение 6. Множество называют множеством $1$-ой категории, если его можно представить в виде счётного объединения нигде не плотных множеств. Остальные множества - множества $2$-ой категории.

Теорема Банаха-Штейнгауза.

Пусть $X, Y$ - линейные нормированные пространства. Последовательность $\left\{A_n\right\},$ $A_n\in L(X,Y).$

Множество $E=\left\{x\in X| \underset{n \rightarrow \infty}{\overline{\lim}}||A_nx||<+\infty\right\}$ - множество $2$-ой категории.

Тогда последовательность $\left\{A_n\right\}$ ограничена, т.е. $\exists M>0:$ $||A_n||\leq M.$

Доказательство:
Рассмотрим $F_{nm}=\left\{x\in X|\,||A_n x||\leq m\right\}$ - замкнутые множества. $F_m = \underset{n=1}{\overset{\infty}{\cap}}F_{nm}.$

Покажем, что $E = \underset{m=1}{\overset{\infty}{\cup}}F_m:$

$$\begin{align*} \text{Пусть } x\in E \Rightarrow \exists \, m: ||A_nx||\leq m\Rightarrow x \in F_{nm}, \,n=1,2,... \Rightarrow x\in F_m \Rightarrow x\in \underset{m=1}{\overset{\infty}{\cup}}F_m. \end{align*}$$ $$\begin{align*} \text{Пусть }x\in \underset{m=1}{\overset{\infty}{\cup}}F_m \Rightarrow \exists \, m: x\in F_m \Rightarrow x\in F_{nm}, \,n=1,2,... \Rightarrow ||A_nx||\leq m\Rightarrow x\in E. \end{align*}$$

$E$ - множество $2$-ой категории $\Rightarrow \exists\,m:$ $F_m$ не является нигде не плотным, то есть $\exists:\, B(x_0, r)\subseteq F_m, \, r>0.$

Рассмотрим $\forall\,x\in X,\, x\neq0;$ $$\begin{align*} z = x_0 + \frac{r}{2}\cdot\frac{x}{||x||}\in B(x_0, r)\Rightarrow z\in F_m\Rightarrow ||A_nz||\leq m. \end{align*}$$ $$\begin{align*} A_n z = A_n x_0 + \frac{r}{2}\cdot\frac{A_nx}{||x||} \Rightarrow ||A_n z|| \geq \frac{r}{2||x||}\cdot ||A_nx|| - ||A_nx_0||\geq \frac{r}{2}\cdot ||A_nx|| - m \end{align*}$$ $$\begin{align*} \frac{r}{2}\cdot||A_nx||\leq m + ||A_nz|| \leq 2m \end{align*}$$ $$\begin{align*} ||A_nx||\leq \frac{4m}{r}\cdot||x||\Rightarrow ||A_n||\leq \frac{4m}{r}. \end{align*}$$

$~~\blacksquare$

Следствие Если $X, Y$ - линейные нормированные пространства, причём $X$ - банахово, $A_n\in L(X,Y),$ $n = 1,2,...$ и $\underset{n\rightarrow\infty}{\overline{\lim}}||A_nx||<\infty,$ $\forall\, x\in X.$

Тогда последовательность $\left\{A_n\right\}$ - ограничена.

Доказательство: Вытекает их Теоремы Бэра (Что полное метрическое пространство - множество $2$-ой категории).

Лемма. Рассмотрим пространство $C[a,b]$ и интегральный оператор $A(x(t)) = \int_{a}^{b}\phi(t)\cdot x(t)dt, \, x(t)\in C[a,b].$

Пусть $\phi(t)\in L[a,b]\Rightarrow ||A||=\int_a^b |\phi(t)|dt.$

Доказательство: $$\begin{align*} ||Ax(t)||_{\mathbb R}\leq\int_a^b|\phi(t)|\cdot|x(t)|dt\leq ||x(t)||_{C[a,b]}\cdot\int_a^b|\phi(t)|dt\Rightarrow \frac{||Ax||}{||x||}\leq\int_a^b|\phi(t)|dt\Rightarrow ||A||\leq\int_a^b|\phi(t)|dt. \end{align*}$$

Рассмотрим $(sgn \,\phi)_\rho (t):= \int_{-\infty}^{+\infty} sgn\,\phi(t+s)\cdot\omega_\rho(s)ds,\,$ где $\,\int_{-\infty}^{\infty} \omega_\rho(s)ds = 1.$ Тогда $|(sgn \,\phi)_\rho|\leq \int_{-\infty}^{\infty} \omega_\rho(s)ds = 1.$

$$\begin{align*} A\big((sgn \,\phi)_\rho(t)\big) = \int_a^b \phi(t)\cdot\big(sgn \,\phi)_\rho(t)dt\underset{\rho\,\rightarrow\,0}{\rightarrow}\int_a^b|\phi(t)|dt. \end{align*}$$

$~~\blacksquare$

Пример.

Рассмотрим $f\in C[-\pi,\pi].$ Покажем, что $\exists\, f:\, S_n(0, f)\rightarrow +\infty.$

Пусть $S_n(x, f)$ - это $n$-ая част. сумма ряда Фурье для $f$ в т. $x:$ $$\begin{align*} S_n(x, f) = \frac{1}{\pi}\cdot\int_{-\pi}^{\pi}f(x+t)\cdot\frac{\sin(n+\tfrac{1}{2})t}{2\cdot \sin\tfrac{t}{2}}dt. \end{align*}$$ В точке $x = 0:$ $$\begin{align*} S_n(0, f) = \frac{1}{\pi}\cdot\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cdot\frac{\sin(n+\tfrac{1}{2})t}{2\cdot \sin\tfrac{t}{2}}dt = A_n(f) \end{align*}$$ Докажем, что $||A_n||\rightarrow+\infty.$ По лемме: $$\begin{align*} ||A_n|| = \frac{1}{\pi}\cdot\int_{-\pi}^{\pi}\frac{|\sin(n+\tfrac{1}{2})t|}{|2\cdot \sin\tfrac{t}{2}|}dt \geq \frac{2}{\pi}\cdot\int_{0}^{\pi}\frac{|\sin(n+\tfrac{1}{2})t|}{t}dt \geq \frac{2}{\pi}\cdot\int_{0}^{\pi}\frac{\sin^2(n+\tfrac{1}{2})t}{t}dt = \frac{1}{\pi}\cdot\int_{0}^{\pi}\frac{1-\cos(2n+1)t}{t}dt = \end{align*}$$ $$\begin{align*} = \frac{1}{\pi}\cdot\int_{0}^{\pi(2n+1)}\frac{1-\cos s}{s}ds = \underbrace{\frac{1}{\pi}\cdot\int_{0}^{1}\frac{1-\cos s}{s}ds}_{const} + \underbrace{\frac{1}{\pi}\cdot\int_{1}^{\pi(2n+1)}\frac{1}{s}ds}_{\frac{1}{\pi}\cdot\ln\pi(2n+1)} - \underbrace{\frac{1}{\pi}\cdot\int_{1}^{\pi(2n+1)}\frac{\cos s}{s}ds}_{const}\rightarrow +\infty. \end{align*}$$

Обратные операторы. Теорема Банаха об обратном операторе.

Пусть $X, \,Y$ - линейные пространства. Рассмотрим оператор $A:X\rightarrow Y.$

Определение 7. Оператор $A^{-1}_{л}:\, Y\rightarrow X$ называется левым обратным оператором к $A,$ если $A^{-1}_{л}A=E.$

Определение 8. Оператор $A^{-1}_{п}:\, Y\rightarrow X$ называется правым обратным оператором к $A,$ если $AA^{-1}_{п}=E.$

Теорема. Если $\exists \, A^{-1}_{л}$ и $\exists \, A^{-1}_{п},$ то $A^{-1}_{л} = A^{-1}_{п}.$

Доказательство:
$A^{-1}_{л}A=E$ и $AA^{-1}_{п}=E.$ $$\begin{align*} A^{-1}_{л} = A^{-1}_{п}\cdot E = A^{-1}_{л} \cdot (A\cdot A^{-1}_{п}) = (A^{-1}_{л}\cdot A) \cdot A^{-1}_{п} = E \cdot A^{-1}_{п} = A^{-1}_{п}. \end{align*}$$

$~~\blacksquare$

Определение 9. Оператор $A^{-1}: Y\rightarrow X$ называется обратным оператором к $A,$ если $\exists \,A^{-1}_{л}$ $\exists\,A^{-1}_{п}$ и $A^{-1}_{л}=A^{-1}_{п}$, тогда $A^{-1}:=A^{-1}_{л}=A^{-1}_{п}.$

Теорема. Следующие утверждения эквиваленты:

1. $\exists \,A^{-1}_{л}.$

2. Eсли уравнение $Ax = y$ имеет решение, то это решение единственно.

3. Ядро оператора состоит из нулевого вектора: $Ker A = \left\{0\right\}.$

Доказательство:
$2\Rightarrow3.$ Если $x_0\in Ker A,$ то $x$ и $x + x_0$ - решения $Ax = y.$

$1\Rightarrow2.$ Если $\exists \, A^{-1}_{л},$ то $Ax = y$ и $A^{-1}_{л}Ax = A^{-1}_{л}y,$ поэтому $x=A^{-1}_{л}y.$

$3\Rightarrow1.$ Пусть $R(A)$ - область значения оператора, тогда для $y\in R(A)$ $\exists\, x:\, Ax=y,$ поэтому $x=A^{-1}_{л}y.$

$~~\blacksquare$

Замечание. Следующие утверждения аналогично эквиваленты:

1. $R(A) = Y.$

2. Уравнение $Ax = y$ всегда разрешимо.

3. $\exists \,A^{-1}_{п}.$

Пример.

Пусть $X = C^1[0,1],$ $Y = C[0,1],$ а оператор $A = \frac{d}{dt}.$

$$\begin{align*} Ax = y \Rightarrow \dot{x} = y \end{align*}$$ $$\begin{align*} \text{Так как } AA^{-1}_{п}=E, \text{ поэтому }A^{-1}_{п}y(t) = \int_0^t y(\tau)d\tau \Rightarrow A^{-1}_{л}Ax(t) = \int_0^t \dot{x}(\tau)d\tau = x(t) - x(0) \neq x(t) \end{align*}$$ Поэтому $A^{-1}_{п}\neq A^{-1}_{л}.$

Определение 10. Оператор $A: X\rightarrow Y$ называется обратимым, если уравнение $Ax = y$ однозначно разрешимо и решение устойчиво к изменению правой части (т.е. $A^{-1}$ $\exists$ и ограничен).

Теорема. Пусть $X$ - банахово пространство, $A:\, X\rightarrow Y$ - ограниченный оператор, $\overline{R(A)} = Y, \exists\, M>0:\, ||Ax||\geq M||x||,\,\forall\, x\in X.$ Тогда $A$ - обратимый.

Доказательство:
$||Ax||\geq M||x|| \Rightarrow Ker A=\left\{0\right\}\Rightarrow \exists\, A^{-1}_{л}.$

Докажем, что $R(A) = Y.$

$\forall\, y\in Y$ $\exists\left\{y_n\right\}:\,y_n\in R(A),\, y_n\rightarrow y.$

$y_n = A x_n.$ Рассмотрим $\left\{x_n\right\}:\, ||x_n-x_m||\leq\frac{1}{M}\cdot||y_n-y_m||.$ Последовательность $\left\{x_n\right\}$ - фундаментальная $\Rightarrow\exists\, x\in X:\, x_n\rightarrow x.$

$Ax_n = y_n \Rightarrow Ax = y \Rightarrow \exists \, A^{-1}_{п}.$

Корректность: $||y||\geq M||A^{-1}y||\Rightarrow ||A^{-1}||\leq\frac{1}{M}.$

$~~\blacksquare$

Утверждение. $X$ - банахово, $A:\,X\rightarrow X,$ $||A||<1.$ Тогда $E-A$ обратим.

Доказательство:
$$\begin{align*} S_n = E + A + A^2 + ... + A^n \end{align*}$$ $$\begin{align*} ||S_n|| \leq 1 + ||A|| + ||A||^2 + ... + ||A||^n\leq\frac{1}{1-||A||} \end{align*}$$ Покажем, что $S_n$ - фундаментальная: $$\begin{align*} S_n - S_m = A^{m+1} + A^{m+2} + ... + A^n = A^{m+1}\cdot(E+A+...+A^{n-m-1}) \end{align*}$$ $$\begin{align*} ||S_n-S_m||\leq||A^{m+1}||\cdot\frac{1}{1-||A||} \end{align*}$$

$L(X, X)$ - полно $\Rightarrow \exists \,S = \underset{n\rightarrow \infty}{\lim} S_n: \,X\rightarrow X.$

$$\begin{align*} S_n \cdot (E-A) = (E-A)S_n = E-A^{n+1} \underset{n \rightarrow \infty}{\rightarrow} S = (E-A)^{-1}\Rightarrow ||S||\leq \frac{1}{1-||A||}. \end{align*}$$

$~~\blacksquare$

Следствие. $||(E-A)^{-1}||\leq \frac{1}{1-||A||}$ и $||(E-A)^{-1} - E||\leq \frac{1}{1-||A||}.$

Теорема. Пусть $X$ - банахово. Оператор $A: X\rightarrow X$ - ограничен. Тогда

1. $\exists R=\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}\sqrt[n]{||A^n||}$.

2. Если $R<1,$ то $E-A$ обратим.

$R$ - спектральный радиус.

Доказательство:
$S_n = E + A + A^2 + ... + A^n \rightarrow (E-A)^{-1}.$ $$\begin{align*} 0\leq\sqrt[n]{||A^n||}\leq \sqrt[n]{||A||^n} = ||A|| \Rightarrow \exists \underset{n\rightarrow\infty}{\lim}\sqrt[n]{||A^n||} = R, \, 0\leq R\leq ||A||. \end{align*}$$ $\forall\, \varepsilon>0\, \exists p\in \mathbb{N}: \, \sqrt[p]{||A^p||}\leq R+\varepsilon.$

$\forall\, n\in\mathbb{N}:\, n = mp+q, (0\leq q\leq p-1)$

$$\begin{align*} \sqrt[n]{||A||^n} = (||A^n||)^{\frac{1}{n}} = ||A^{mp+q}||^{\frac{1}{mp+q}} = ||(A^p)^m\cdot A^q||^{\frac{1}{mp+q}}\leq ||A^p||^{\frac{m}{mp+q}}\cdot||A^q||^{\frac{1}{mp+q}}\rightarrow||A^p||^{\frac{1}{p}}\leq R+\varepsilon\Rightarrow \sqrt[n]{||A^n||}\leq R+2\varepsilon,\, \forall n\geq n_0 \end{align*}$$

$$\begin{align*} \Rightarrow \underset{n\rightarrow}{\overline{\lim}}\sqrt[n]{||A||^n}\leq R+2\varepsilon. \end{align*}$$

$~~\blacksquare$

Теорема. Пусть $X$ - банахово. Оператор $A:\, X\rightarrow Y$ - обратим. Оператор $B:\, X\rightarrow Y$ и $||A-B||\leq\frac{1}{||A^{-1}||}.$ Тогда оператор $B^{-1}$ - обратим.

Доказательство:

$$\begin{align*} B = A - (A - B) = A(E-A^{-1}(A-B)) \Rightarrow ||A^{-1}(A-B)||\leq||A^{-1}||\cdot||A-B||\leq1. \end{align*}$$

$~~\blacksquare$

Следствие. Множество обратимых операторов открыто.

Теорема. Пусть $X$ - банахово. Оператор $A: X\rightarrow Y$ - обратим. Рассмотрим $A_n: X\rightarrow Y,$ $||A_n-A||\rightarrow0.$ Тогда $\exists N:\, \forall n>N$ $A_n$ обратим и $||A^{-1}_n-A^{-1}||\rightarrow0.$

Доказательство:
Обратимость: $$\begin{align*} A_n = A - (A-A_n) = A(E-A^{-1}(A-A_n)) \end{align*}$$ $$\begin{align*} \exists N:\, \forall n >N:\, A^{-1}_n = (E-A^{-1}(A-A_n))^{-1}\cdot A^{-1} \end{align*}$$ $$\begin{align*} A^{-1}_n - A^{-1} = (E-A^{-1}(A-A_n))^{-1}\cdot A^{-1} - A^{-1} = ((E-A^{-1}(A-A_n))^{-1}-E)\cdot A^{-1}\Rightarrow \end{align*}$$ $$\begin{align*} \Rightarrow ||A^{-1}_n - A^{-1}||\leq\left\{||(E-B)^{-1}-E||\leq\frac{||B||}{1-||B||}\right\}\leq \frac{||A^{-1}||\cdot||A-A_n||}{1-||A^{-1}||\cdot||A-A_n||}\cdot ||A^{-1}||\underset{n\rightarrow\infty}{\rightarrow}0. \end{align*}$$

$~~\blacksquare$

Лемма. Пусть $X$ - банахово, $\beta: X\rightarrow Y,$ $X_n=\left\{x\in X\big|\,||\beta x||\leq n||x||\right\}\Rightarrow X = \underset{n=1}{\overset{\infty}{\cup}}X_n$ и $\exists\,n_0:$ $\overline{X_0}=X.$

Доказательство:
То, что $X = \underset{n=1}{\overset{\infty}{\cup}}X_n$ - очевидно. Покажем, что $X = \underset{n=1}{\overset{\infty}{\cup}}\overline{X_n}.$

По теореме Бэра среди $X_n$ найдётся множество, содержащее некоторый шар $B(\widetilde{x}_0, \widetilde{r})\Rightarrow \exists x_0,\, r<\widetilde{r}:\, \overline{B(x_0, r)}\subset \overline{X_n}.$

Пусть $||\xi||=r.$ Покажем, что точки этой сферы можно сколь угодно аппроксимировать точками некоторого $X_{n_0}.$

Рассмотрим $x=x_0+\xi\in \overline{B(x_0, r)}\Rightarrow \exists\left\{x_k\right\}:\, x_k\in B(x_0, r)\cap X_n.$

Последовательность $x_k\rightarrow x,$ $\xi_k = x_k - x_0 \rightarrow \xi.$

Покажем, что оператор $\beta$ ограничен на последовательности $\left\{\xi_k\right\}, \, \beta\xi_k = \beta x_k - \beta x_0.$

$$\begin{align*} ||\beta\xi_k||\leq||\beta x_k|| + ||\beta x_0||\leq n\cdot||x_k|| + n\cdot||x_0|| = n\cdot||x_0+\xi_k||+n\cdot||x_0||\leq 2n\cdot||x_0||+n\cdot||\xi_k||= \end{align*}$$ $$\begin{align*} =||\xi_k||\cdot\bigg(2n\cdot\frac{||x_0||}{||\xi_k||}+n\bigg)\leq\left\{\text{Последовательность } \xi_k:\, ||\xi_k||\geq\frac{r}{2}, \text{ начиная с некоторого } k\right\}\leq||\xi_k||\cdot\underbrace{\bigg(\frac{4}{r}\cdot||x_0||+1\bigg)\cdot n}_{<n_0}. \end{align*}$$

Аппроксимируем $\forall x\in X,\, x\neq0$ точками из $X_{n_0}:$

$$\begin{align*} \xi = r\cdot\frac{x}{||x||}, \, ||\xi|| = r\Rightarrow \left\{\xi_k\right\}, \, \xi_k\in X_{n_0}:\, \xi_k\rightarrow\xi \end{align*}$$

$$\begin{align*} x_k = \frac{||x||}{r}\cdot \xi_k \in X_{n_0}, \text{ а } x_k\rightarrow x. \end{align*}$$ $~~\blacksquare$

Теорема Банаха об обратном операторе. Пусть $X, Y$ - банаховы, оператор $A: X\rightarrow Y$ - взаимно-однозначный и ограничен, определённый на всём $X: D(A) = X, R(A) = Y.$ Тогда $A$ обратим.

Доказательство:
$R(A) = Y \Rightarrow \exists A^{-1}_{п},$ а $Ker A =\left\{0\right\} \Rightarrow \exists A^{-1}_{л},$ поэтому существует $A^{-1}.$

Рассмотрим $\beta = A^{-1},\, \beta: Y\rightarrow X.$

По лемме $\exists Y_{n_0}:\, \overline{Y_{n_0}} = Y.$

Рассмотрим $\forall y\in Y,\, y\neq0,\, ||y|| = l>0:$

$$\begin{align*} \exists y_1\in Y_{n_0}:\, ||y-y_1||\leq\frac{l}{2} \Rightarrow ||y_1||\leq2\cdot l \end{align*}$$

$$\begin{align*} \exists y_2\in Y_{n_0}:\, ||y-y_1-y_2||\leq\frac{l}{4} \Rightarrow ||y_2||\leq \cdot l \end{align*}$$ $$\begin{align*} ... \end{align*}$$ $$\begin{align*} \text{Имеем } \left\{y_n\right\}: y_n\in Y_{n_0}:\, ||y-(y_1+y_2+...+y_n)||\leq\frac{l}{2^n} \Rightarrow ||y_n||\leq\frac{l}{2^{n-1}} \Rightarrow y_1+y_2+...+y_n=y \end{align*}$$ Положим $x_n=\beta y_n:\, ||x_n||=||\beta y_n||\leq n_0\cdot||y_n||\leq\frac{n_0\cdot l}{2^{n-2}} \Rightarrow \text{ ряд } x_1+x_2+... \text{ сходится}$

Обозначим $x = x_1 + x_2 + \,... \in X.$ $$\begin{align*} Ax = A(x_1 + x_2 + \,...) = Ax_1 + Ax_2 + \,... = y_1 + y_2 + \,... = y. \end{align*}$$ $$\begin{align*} ||\beta y|| = ||A^{-1}y||=||x||\leq||x_1||+||x_2||+\,...\leq 4n_0l=4n_0||y||\Rightarrow ||\beta||\leq 4n_0. \end{align*}$$

$~~\blacksquare$

Следствие. Пусть в $X$ заданы нормы $||\cdot||_1$ и $||\cdot||_2,$ причём $X$ - полно относительно обеих норм и $\exists$ $M>0:$ $||x||_1\leq M||x||_2, \,\forall x\in X.$ Тогда $\exists\, m>0:$ $||x||_2\leq m\cdot||x||_1,\forall x\in X.$

Теорема Хана-Банаха

Определение 11. Оператор $A:\, X\rightarrow Y$ - замкнутый, если $\forall\left\{x_n\right\},\,x_n\in D(A): \, x_n\rightarrow x,\, Ax_n\rightarrow y\Rightarrow Ax = y.$

Определение 12. Множество $G(A)=\left\{(x, Ax),\, x\in D(A)\right\}$ называется графиком оператора $A.$ $G(A)\subset X\times Y.$

Теорема о замкнутом графике. Пусть $X, Y$ -банаховы, $A:\, X\rightarrow Y, \, D(A) = X,$ $A$ - замкнутый, тогда $A$ - ограниченный.

Доказательство:
$A$ - замкнут $\Leftrightarrow$ $G(A)$ замкнут по норме $|x| = ||x||+||Ax||.$

$X_1=(X, ||\cdot||),$ $X_2=(X, ||\cdot||).$

В силу замкнутости $A$ пространство $X_2$ - полно. Рассмотрим фундаментальную последовательность $\left\{x_n\right\}$ в $X_2:$ $$\begin{align*} |x_n-x_m|=||x_n-x_m||+||Ax_n-Ax_m||. \end{align*}$$

Последовательности $\left\{x_n\right\}$ и $\left\{Ax_n\right\}$ фундаментальны в $X$ и в $Y$ соответственно, поэтому:

$$\begin{align*} \exists\, x =\underset{n\rightarrow}{\lim} x_n\in X, \, \exists\, y = \underset{n\rightarrow}{\lim} Ax_n\in Y. \end{align*}$$ $$\begin{align*} ||x||_1 = ||x||\leq||x||_2=|x|=||x||+||Ax|| \end{align*}$$

$~~\blacksquare$

Теорема Хана-Банаха.

Пусть $X$ - линейное нормированное пространство. Дополнительно предположим сепарабельность.

Пусть $M$ - линейное многообразие в $X,$ $f(x)$ - линейный ограниченный функционал, заданный на $M.$ Тогда существует продолжение $f$ на всё $X$ с сохранением нормы, то есть $\exists \,F(x)$ - линейный ограниченный функционал: $||F||=||f||$ и $F(x)=f(x),\forall x\in M.$

Доказательство:
Пусть $x_0\notin M \Rightarrow x_0\in X.$ Пусть $c = F(x_0).$

$$\begin{align*} M+\left\{x_0\right\}=\left\{x\bigg|\, x'+\alpha x_0, x'\in M, \alpha \in \mathbb{R}\right\}. \end{align*}$$ $$\begin{align*} F(x) = F(x')+F(\alpha x_0) = f(x') + \alpha\cdot F(x_0) \end{align*}$$

Так как верны неравенства $-||f||\cdot||x||\leq F(x)\leq ||f||\cdot||x||$ и $F(-x)\leq||f||\cdot||-x||=||f||\cdot||x||$, получаем $$\begin{align*} f(x')+\alpha\cdot c\leq ||f||\cdot||x'+\alpha\cdot x_0||,\,\forall x'\in M,\,\forall\alpha\in \mathbb{R} \end{align*}$$ При $\alpha = 0$ - очевидно.

При $\alpha > 0:$ $f\big(\frac{x'}{\alpha}\big)+c\leq||f||\cdot||\frac{x'}{\alpha}+x_0||.$

При $\alpha < 0:$ $f\big(-\frac{x'}{\alpha}\big)-c\leq||f||\cdot||-\frac{x'}{\alpha}-x_0||.$

При $\alpha = -1:$ $$\begin{align*} f(\widetilde{x}) - c \leq ||f||\cdot||\widetilde{x}-x_0||,\,\forall \widetilde{x}\in M. \end{align*}$$

При $\alpha = 1:$ $$\begin{align*} f(\hat{x}) + c \leq ||f||\cdot||\hat{x}-x_0||,\,\forall \hat{x}\in M. \end{align*}$$

Тогда, складывая, получаем: $$\begin{align*} f(\hat{x})-||f||\cdot||\hat{x}-x_0||\leq||f||\cdot||\widetilde{x}+x_0||-f(\widetilde{x}) \end{align*}$$ $$\begin{align*} f(\hat{x}+\widetilde{x})=f(\hat{x})+f(\widetilde{x})\leq||f||\cdot||\hat{x}-x_0||+||f||\cdot||\widetilde{x}+x_0|| \end{align*}$$ $$\begin{align*} f(\hat{x}+\widetilde{x}) = f(\hat{x}-x_0+\widetilde{x}+x_0) = f(\hat{x}-x_0)+f(\widetilde{x}+x_0)\leq||f||\cdot||\hat{x}-x_0||+||f||\cdot||\widetilde{x}+x_0||. \end{align*}$$

Пусть $x_1, x_2, ...$ - счётное всюду плотное множество в $X.$ Для $\forall x\in X$ $\exists\,x_{n_k}\rightarrow x,$ тогда $$\begin{align*} (F(x')-F(x''))\leq||F||\cdot||x'-x''||,\,\, \underset{k\rightarrow \infty}{\lim} F(x_{n_k}) = F(x). \end{align*}$$ $$\begin{align*} f(\hat{x}+\widetilde{x})\leq||f||\cdot||\hat{x}+\widetilde{x}||\leq||f||\cdot(||\hat{x}+x_0||+||\widetilde{x}-x_0||) \end{align*}$$

$~~\blacksquare$

Следствие 1. Пусть $x_0\in X,\, x_0\neq0.$ Тогда $\exists$ линейный ограниченный функционал $f(x):$ $f(x)=||x_0||,\, x\in X$ и $||f|| = 1.$

Следствие 2. Если $f(x_0) = 0,$ для любого линейного ограниченного функционала $f,$ то $x_0 = 0.$

Следствие 3. Пусть $M$ - замкнутое подмножество линейного многообразия в $X:$ $M\neq X.$ Рассмотрим точку $x_0\notin M,$ то есть $x_0\in X.$ Тогда $\exists$ линейный ограниченный функционал $f(x)$ на $X:$ $f(x) = 0,\,\forall x\in M$ и $f(x_0)=1.$

Доказательство:
Рассмотрим $x = x'+\alpha\cdot x_0,\, x'\in M, \, \alpha\in \mathbb{R} \Rightarrow f(x)=f(x')+\alpha\cdot f(x_0)=\alpha.$ $$\begin{align*} \underset{x'\in M,\, \alpha\in \mathbb{R}}{\sup} \frac{|f(x'+\alpha\cdot x_0)|}{||x'+\alpha\cdot x_0||} = \underset{x'\in M,\, \alpha\in \mathbb{R}}{\sup} \frac{|\alpha|}{||x'+\alpha\cdot x_0||} = \underset{x'\in M,\, \alpha\in \mathbb{R}}{\sup} \frac{1}{||-\frac{x'}{\alpha}-x_0||} = \frac{1}{ \underset{x_1\in M}{\inf}||x_1-x_0||}<\infty. \end{align*}$$

$~~\blacksquare$

Сопряжённые пространства.

Пусть $X -$ линейное нормированное пространство.

Определение 13. Пространство линейных ограниченных функционалов над $X$ называется сопряженным к $X$. Обозначение: $X^*$.

Замечание. $X^* = L(X, \mathbb{R})$.

Замечание. $X^* -$ полное пространство. Это следует из полноты пространства $\mathbb{R}$ и доказанной выше теоремы 2.

Теорема. Если $X^*$ сепарабельно, то $X$ тоже сепарабельно.

Доказательство:
Рассмотрим единичную сферу в $X^*$. Из сепарабельности $X^*$ следует, что на ней существует счетное всюду плотное множество $\{x_n^*\}: \ x_n^* \in X^*, \ \| x_n^*\| = 1.$ $$\begin{align*} \| x_n^* \| = \underset{\| x\| = 1}{\sup} |x_n^*(x)| = 1 \Rightarrow \exists \{x_n\}: \ x_n \in X, \ \| x_n\| = 1, \ |x_n^*(x_n)| > \frac{1}{2}. \end{align*}$$ Рассмотрим множество всевозможных конечных линейных комбинаций элементов $\{x_n\}$ с рациональными коэффициентами. Оно счетно (т.к. $\{x_n\} -$ счетно и $\mathbb{Q} -$ счетно). Пусть $M -$ замыкание этого множества. Докажем, что $M = X$.

От противного: пусть $M \neq X$. Тогда $\exists x_0 \in X: \ x_0 \notin M$ и по следствию 3 из теоремы Хана-Банаха $\exists f \in X^*: f(x^{\prime}) = 0 \ \forall x^{\prime} \in M$, $f(x_0) = 1.$ $$\begin{align*} 0 = |f(x_n)| = |(f - x_n^*)(x_n) + x_n^*(x_n)| \geq |x_n^*(x_n)| - |(f - x_n^*)(x_n)| > \frac{1}{2} - \| f - x_n^*\| \Rightarrow \end{align*}$$ $$\begin{align*} \Rightarrow \| f - x_n^*\| > \frac{1}{2}. \end{align*}$$ Но в силу плотности множества $\{x_n^*\}$ $\| f - x_n^*\|$ можно сделать сколь угодно малым, а значит, получаем противоречие, и $M = X$, что и доказывает теорему.

$~~\blacksquare$

Пример 1. Рассмотрим пространство $l_p, p > 1 -$ пространство бесконечных последовательностей вида $x = (x_1, x_2, \dots)$ , таких что $\sum_{k=1}^{\infty} |x_k|^p < \infty$, $$\begin{align*} \| x\|_p = \left(\sum_{k=1}^{\infty} |x_k|^p\right)^{\frac{1}{p}} \end{align*}$$ Пространство $l_p$ сепарабельно. Докажем, что $l_p^* = l_q$, где $p, q: \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1.$

1) Пусть $y \in l_q, \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$. Определим функционал $f(x) = \sum_{k=1}^{\infty} x_k y_k$. Он, очевидно, линеен и ограничен: из неравенства Гельдера для рядов $\Rightarrow |f(x)| \leq \| x\|_p \| y\|_q$, т.е. $\| f\| \leq \|y\|_q$.

2) Покажем теперь, что всякий функционал из $l_p^*$ представим в таком виде, причем элемент $y$ определяется однозначно и $\|f\| = \|y\|$.

Рассмотрим орты $e_n = (0, 0, \dots, 0, 1, 0, \dots) \in l_p$ (единица в n-ой позиции) и положим $y_n = f(e_n)$.

Рассмотрим последовательность $x^n = \sum_{k=1}^n |y_k|^{q-1} \text{sgn} \ y_k e_k$ (здесь $|y_k|^{q-1} \text{sgn} \ y_k \in \mathbb{R}, \ e_n \in l_p$). Тогда $$\begin{align*} f(x^n) = \sum_{k=1}^n |y_k|^{q-1} \text{sgn} \ y_k y_k = \sum_{k=1}^n |y_k|^{q-1} |y_k| = \sum_{k=1}^n |y_k|^{q}. \end{align*}$$ $$\begin{align*} \| f\| \geq \frac{|f(x^n)|}{\|x^n\|_p} = \frac{\sum_{k=1}^n |y_k|^{q}}{\left( \sum_{k=1}^n |y_k|^{(q-1)p} \right)^{\frac{1}{p}}} = \left\{\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 \Rightarrow (q-1)p = q\right\} = \frac{\sum_{k=1}^n |y_k|^{q}}{\left( \sum_{k=1}^n |y_k|^{q} \right)^{\frac{1}{p}}} = \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^{q} \right)^{\frac{1}{q}}. \end{align*}$$ При $n \rightarrow \infty$ получим, что $y \in l_q$ и $\| f\| \geq \| y\|_q$, что в силу показанного ранее обратного неравенства дает $\| f\| = \| y\|_q$. Единственность $y = (y_1, y_2, \dots)$ следует из определения его компонент равенством $y_n = f(e_n)$.

Пример 2. Аналогичное утверждение можно доказать и для пространства $L_p(\mathbb{R}^m, \mu), p > 1$, т.е. $L_p^* = L_q,$ где $p, q: \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ или $$\begin{align*} \forall f \in L_p^*(\mathbb{R}^m, \mu) \ \exists y \in L_q(\mathbb{R}^m, \mu): \ f(x) = \underset{\mathbb{R}^m}{\int} x(t)y(t) d \mu, \ \| f\| = \| y\|_q. \end{align*}$$ Покажем это. Применим функционал к характеристической функции: $f(\chi_A(t)) = \varphi(A)$. $\varphi(A) -$ заряд, а следовательно, по теореме Радона-Никодима его можно представить в виде $$\begin{align*} \varphi(A) = \int_A y(t) d \mu, \ y \in L_1(\mathbb{R}^m, \mu). \end{align*}$$ Представим $y(t)$ в виде $y(t) = y_+(t) - y_-(t)$, где $y_+(t), y_-(t) \geq 0$. Заметим, что достаточно доказать утверждение для случая $y(t) = y_+(t)$.

Докажем, что $y \in L_q(\mathbb{R}^m, \mu)$. Аппроксимируем $y(t)$ снизу простыми функциями с конечным числом значений $y_n(t)$: $y(t) \geq y_n(t) \geq 0$. Тогда $$\begin{align*} \varphi(A) = \int_A y(t) d \mu \geq \int_A y_n(t) d \mu. \end{align*}$$ Рассмотрим простые функции $x_n(t)$, имеющие такие же подмножества в качестве носителей простых значений, что и $y_n(t)$, но принимающие на них значения $y_n^{q-1}$. Получим $$\begin{align*} f(x_n) = \sum_k y_n^{q-1} \varphi(A_k) \geq \int_{\mathbb{R}^m} \sum_k y_n^{q} \varphi(A_k) d \mu = \int_{\mathbb{R}^m} y_n^{q}(t) d \mu. \end{align*}$$ Далее аналогично примеру 1 $$\begin{align*} f(x_n) \leq \|f \| \|x_n \|_p = \|f \| \left( \sum_k y_n^{pq - p} \varphi(A_k) \right)^{\frac{1}{p}} = \|f \| \left( \sum_k y_n^q \varphi(A_k) \right)^{\frac{1}{p}} \end{align*}$$ $$\begin{align*} \Rightarrow \int_{\mathbb{R}^m} y_n^{q}(t) d \mu \leq \|f \| \left( \sum_k y_n^q \varphi(A_k) \right)^{\frac{1}{p}} \end{align*}$$ $$\begin{align*} \Rightarrow \|y_n \|_q \leq \| f\|. \end{align*}$$ Переходя к пределу, имеем $\|y \|_q \leq \| f\|$, а значит, $\|y \|_q = \| f\|$.

Определение 14. Второе сопряженное пространство $-$ это пространство функционалов над пространством функционалов: $X^{**} = (X^*)^*$.

Пример 3. Рассмотрим пространство $L_1$. Из аналогичных примеру 2 рассуждений следует, что $L_1^* =$ $L_{\infty}$. Покажем, что второе сопряженное пространство к $L_1$ не совпадает с ним, т.е. $L_{\infty} \neq L_1$. Действительно, это следует из доказанной выше теоремы, поскольку пространство $L_1$ является сепарабельным, а $L_{\infty}$ - нет: рассмотрим функции $$\begin{align*} x_{\alpha}(t) = \begin{cases} 1, \ 0 < t < \alpha, \\ 0, \alpha \leq t < 1. \end{cases} \end{align*}$$ Это несчетная система функций в $L_{\infty}(0, 1)$, причем $\| x_{\alpha}(t) - x_{\beta}(t)\|_{\infty}, \ \alpha \neq \beta$, поэтому в $L_{\infty}$ не может существовать счетного всюду плотного множества.

Теорема. $X \subset X^{**}$

Доказательство:
Покажем, что всякий элемент $x \in X$ определяет некоторый ограниченный линейный функционал $\tau_x$ на $X^{**}$. Положим $$\begin{align*} \tau_x(x^*) = x^*(x) \end{align*}$$ для $\forall$ линейного ограниченного функционала $x^* \in X^*$.

Линейность: $$\begin{align*} \tau_x(\alpha x^* + \beta x^*) = \alpha x^*(x) + \beta x^*(x) = \alpha \tau_x(x^*) + \beta \tau_x(x^*), \ \forall x^*, y^* \in X^*. \end{align*}$$ Ограниченность: $$\begin{align*} |\tau_x(x^*)| = |x^*(x)| \leq \|x^*\|\|x\| \ (т.к. x^* - ограниченный \ функционал) \Rightarrow \|\tau_x\| = \underset{x^* \neq 0}{\sup} \frac{|\tau_x(x^*)|}{\|x^*\|} \leq \|x\|. \end{align*}$$

$~~\blacksquare$

Лемма. $\|\tau_x\| = \|x\|$.

Доказательство:

1) Если $x = 0$, то $\tau_x \equiv 0$ и $\|\tau_x\| = \|x\|$.

2) Если $x \neq 0$, то по следствию 1 из теоремы Хана-Банаха $\Rightarrow \exists f \in X^*: \ f(x) = \|x\|, \|f\| = 1$. Тогда $\tau_x(f) = f(x) = \|x\| = \|x\| \|f\|$, т.е. $\|\tau_x\| \geq \|x\|$. Сопоставляя данное неравенство с $\|\tau_x\| \leq \|x\|$, получим $\|\tau_x\| = \|x\|$.

$~~\blacksquare$

Определение 15. Если $X^{**}$ состоит только из таких функционалов $\tau_x$ (т.е. $X^{**}$ изоморфно $X$), то $X$ называется рефлексивным.

Пример 4. Пространство $L_p$ рефлексивно при $p > 1$, т.к. $L_p^{**} = (L_q)^* = L_p$

Пример 5. Пространство $L_1$ нерефлексивно, поскольку иначе в силу сепарабельности пространства $L_1$ и $L_1^* = L_{\infty}$ должно быть сепарабельным, что неверно (см. пример 3).

Пример 6. Аналогично примеру 4, $l_p$ рефлексивно при $p > 1$.

Слабая сходимость. Слабая компактность.

Пусть $X -$ банахово пространство.

Определение 16. Последовательность $\{x_n\}, x_n \in X$ называется слабо сходящейся к $x \in X$, если $f(x_n) \rightarrow f(x)$ для $\forall f \in X^*$. Обозначение: $x_n \rightharpoondown x$ или $x_n \overset{w}{\rightarrow} x$.

Определение 17. Последовательность $\{x_n\}, x_n \in X$ называется слабо фундаментальной, если $\{f(x_n)\}$ фундаментальна для $\forall f \in X^*$.

Утверждение. Из сходимости по норме вытекает слабая сходимость.

Доказательство:
Пусть $\| x_n - x \| \rightarrow 0, n \rightarrow \infty, \ x_n, x \in X$ (сходимость по норме). Тогда, учитывая, что $f -$ линейный ограниченный функционал, получим $$\begin{align*} |f(x_n) - f(x)| = |f(x_n - x)| \leq \| f\|\| x_n - x \| \rightarrow 0, n \rightarrow \infty , \end{align*}$$ а значит, $x_n \rightharpoondown x$.

$~~\blacksquare$

Замечание. Обратное неверно. Рассмотрим пример: $X = l_2, x_n = e_n$ (орты, см. пример 1). Последовательность $e_n$ не сходится по норме, поскольку $\| e_n - e_m \| = \sqrt{2}, \ n \neq m$. При этом $x_n \rightharpoondown 0$ (в силу теоремы Рисса и равенства Парсеваля).

Лемма. Слабый предел единственен.

Доказательство:
Пусть $x_n \rightharpoondown x^{\prime}$ и $x_n \rightharpoondown x^{\prime \prime}$. Тогда $f(x_n) \rightarrow f(x^{\prime})$ и $f(x_n) \rightarrow f(x^{\prime \prime}) \Rightarrow f(x^{\prime}) - f(x^{\prime \prime}) = 0 = f(x^{\prime} - x^{\prime \prime}), \ \forall f \in X^*.$

По следствию 2 из теоремы Хана-Банаха получим, что $x^{\prime} - x^{\prime \prime} = 0$, т.е. $x^{\prime} = x^{\prime \prime}.$

$~~\blacksquare$

Далее докажем три основных теоремы о слабой сходимости.

Теорема. Слабо фундаментальная последовательность ограничена.

Доказательство:
Пусть $\{x_n\}, x_n \in X -$ слабо фундаментальная последовательность, т.е. $\{x^*(x_n)\}$ фундаментальна для $\forall x^* \in X^*$, тогда $\forall x^* \in X^* \ \exists \lim_{n \to \infty} x^*(x_n).$

Представим в виде $x^*(x_n) = \tau_{x_n}(x^*)$ и рассмотрим последовательность функционалов $\{ \tau_{x_n}\}, \ \tau_{x_n}: X^* \rightarrow \mathbb{R}.$ По следствию из теоремы Банаха-Штейнгауза $\exists M: \| \tau_{x_n}\| \leq M$. Поскольку $\| \tau_{x_n}\| = \| x_n\| \Rightarrow \| x_n\| \leq M.$

$~~\blacksquare$

Теорема. Рефлексивное пространство слабо полно.

Доказательство:
Пусть $\{x_n\}, x_n \in X -$ слабо фундаментальная последовательность, т.е. $\{x^*(x_n)\}$ фундаментальна для $\forall x^* \in X^*$, тогда $\forall x^* \in X^* \ \exists \lim_{n \to \infty} x^*(x_n) = f(x^*).$

Рассмотрим функционал $f$. Он линеен из свойств предела. Докажем также его ограниченность. Из представления $x^*(x_n) = \tau_{x_n}(x^*)$ и предыдущей теоремы получим, что $$\begin{align*} \exists M: \| \tau_{x_n}\| \leq M \Rightarrow |f(x^*)| = |\lim_{n \to \infty} \tau_{x_n}(x^*)| \leq \| \tau_{x_n}\| \| x^*\| \leq M \| x^*\|. \end{align*}$$ Итак, $f -$ линейный ограниченный функционал, $f \in X^{**}$. Пространство $X^{**}$ рефлексивно $\Rightarrow \exists x \in X : f(x^*) = \tau_x(x^*) = x^*(x)$, т.е. $x^*(x_n) \to x^*(x)$, что и означает $x_n \rightharpoondown x$.

$~~\blacksquare$

Теорема (о слабой компактности). В сепарабельном рефлексивном пространстве из любой ограниченной последовательности можно выбрать слабо сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство:
Пусть $X = X^{**}, x_n \in X, \| x_n\| \leq M$. $X^*-$ сепарабельно, т.к. $(X^*)^* = X^{**} = X$.

Пусть $\{ x_k^*\} -$ счетное всюду плотное множество в $X^*$. Рассмотрим $x_1^*:$ $$\begin{align*} | x_1^*(x_n)| \leq \| x_1^* \| \| x_n \| \leq M \cdot \| x_1^* \|, \end{align*}$$ т.е. числовая последовательность $\{ x_1^*(x_n)\} -$ ограниченна, а значит, из нее можно выбрать сходящуюся подпоследовательность: $\exists \{ x_1^*(x_{1n})\} -$ сходящаяся.

Рассмотрим теперь $\{ x_2^*(x_{1n})\}$. Аналогично, она ограничена и из нее можно выбрать сходящуюся подпоследовательность $\{ x_2^*(x_{2n})\}$, и т.д.

Выделим диагональную последовательность $\{ x_{nn}\} = \{ z_n\}$ и докажем, что $z_n$ сходится слабо. Зафиксируем $\forall \varepsilon > 0, \forall x^* \in X^* \Rightarrow \exists k: \| x^* - x_k^*\| < \varepsilon$ (т.к. $\{ x_k^*\} -$ счетное всюду плотное множество). Рассмотрим $$\begin{align*} |x^*(z_m) - x^*(z_n)| = |x^*(z_m - z_n)| = |(x^* - x_k^*)(z_m - z_n) + x^*_k(z_m - z_n)| \leq \| x^* - x_k^* \| \| z_m - z_n \| + |x^*_k(z_m) - x^*_k(z_n))|. \end{align*}$$ Первое слагаемое оценим следующим образом: $$\begin{align*} \| x^* - x_k^* \| \| z_m - z_n \| \leq \varepsilon (\| z_m\| + \| z_n \|) \leq 2 \varepsilon M, \end{align*}$$ т.к. $z_n = x_{nn}$ является подпоследовательностью $x_n$, a $\| x_n\| \leq M$.

Слагаемое $|x^*_k(z_m) - x^*_k(z_n))| \to 0$, т.к. $\forall k \ \{ x_k^*(z_n)\}$ сходящаяся.

Значит, $\{ z_n\}$ слабо фундаментальна, и по предыдущей теореме она является слабо сходящейся.

$~~\blacksquare$

Вычисление нормы линейного оператора

Пример 1. Пусть $A:$ $C[0,1]\rightarrow C[0,1].$ $(Ax)(f) = \int\limits_{0}^{t} x(\tau)d\tau.$ Найти $||A||?$

Решение:
Норма в пространстве $C[0,1]$ задаётся, как $||x(t)||_{C[0,1]}=\underset{t\in [0,1]}{\max}|x(t)|,$ тогда:

$||(Ax)(t)|| = \underset{t\in[0,1]}{\max} |\int\limits_{0}^{t}x(\tau)d\tau|\leq \underset{t\in[0,1]}{\max} \int\limits_{0}^{t}|x(\tau)|d\tau\leq$ $\underset{t\in[0,1]}{\max} \int\limits_{0}^{t}||x(\tau)||d\tau = ||x||\cdot\underset{t\in[0,1]}{\max}t\leq ||x|| \Rightarrow ||A||\leq1.$

Покажем, что равенство достигается на $x(t)=1:\,||x||=1:$

$(Ax)(t)=t,\, ||Ax||=1\Rightarrow ||A||=1.$

$~~\blacksquare$

Пример 2. Пусть $A:$ $C'[0,1]\rightarrow C[0,1].$ $(Ax)(f) = x'(t).$ Найти $||A||?$

Решение:
Норма в пространстве $C'[0,1]$ задаётся, как $||x(t)||_{C'[0,1]}=||x(t)||_{C[0,1]}+||x'(t)||_{C[0,1]}=\underset{t\in [0,1]}{\max}|x(t)|+\underset{t\in [0,1]}{\max}|x'(t)|,$ тогда:

$||(Ax)(t)|| = \underset{\substack{x:\,||x||=1,\\ x\in C'[0,1]}}{\sup} ||Ax||_{C[0,1]} = \underset{\substack{x:\,||x||=1,\\ x\in C'[0,1]}}{\sup} \big(\underset{t\in[0,1]}{\max}|x'(t)|\big)\leq 1.$

Предложим функцию $||x(t)||_{C'[0,1]}=1:$ $$\begin{align*} \begin{cases} \underset{t\in[0,1]}{\max} |x(t)|=0,\\ \underset{t\in[0,1]}{\max} |x'(t)|=1. \end{cases} \end{align*}$$

Рассмотрим последовательность $\{x_n(t)\}:$ $$\begin{align*} x_n(t) = \begin{cases} \frac{1}{n}-t,\, 0\leq t \leq \frac{1}{n}\\ 0, \, \text{иначе} \end{cases} \end{align*}$$

Но $||x_n(t)||_{C'[0,1]} = \frac{1}{n}+1,$ поэтому элементы последовательности стоит нормировать (т.е. $||\widetilde{x}_n(t)||_{C'[0,1]}=1$): $$\begin{align*} \widetilde{x}_n(t)=\frac{x_n(t)}{||x_n(t)||}=\frac{\frac{1}{n}-t}{\frac{1}{n}+1} = \big(\tfrac{1}{n}-t\big)\cdot \frac{n}{n+1}\Rightarrow \widetilde{x}_n(t) = \begin{cases} \frac{1}{n+1}-\frac{nt}{n+1},\, 0\leq t \leq \frac{1}{n}\\ 0, \, \text{иначе} \end{cases} \end{align*}$$ Очевидно, что $||\widetilde{x}_n(t)||_{C'[0,1]}=\frac{1}{n+1}+\frac{n}{n+1}=1.$ $$\begin{align*} ||\widetilde{x}_n(t)||=\underset{t\in[0,1]}{\max} |\widetilde{x}_n(t)| + \underset{t\in[0,1]}{\max} |\widetilde{x}_n'(t)| = \frac{1}{n}+\frac{n}{n+1} \underset{n\rightarrow \infty}{\rightarrow} 1 \end{align*}$$ Далее мы воспользуемся непрерывностью нормы: $$\begin{align*} \Rightarrow ||\widetilde{x}(t)|| = ||\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\widetilde{x}_n(t)|| = \underset{n\rightarrow \infty}{\lim}||\widetilde{x}_n(t)|| = 1\Rightarrow ||A||=1. \end{align*}$$

$~~\blacksquare$

Пример 3. Пусть $A:$ $C[0,1]\rightarrow C[0,1].$ $(Ax)(f) = x'(t).$ Найти $||A||?$

Решение:
Пусть $D(A)=\{x\in C[0,1]:\,x\in C'[0,1]\}.$ $$\begin{align*} ||A|| = \underset{\substack{x:\,||x||_{C[0,1]}=1,\\ x\in D(A)}}{\sup} ||Ax||_{C[0,1]} = \underset{\substack{x:\,||x||_{C[0,1]}=1,\\ x\in D(A)}}{\sup} \underset{t\in[0,1]}{\max} |x'(t)|=\infty \end{align*}$$

Рассмотрим последовательность $\{x_n(t)\}:\, x_n(t)=t^n,$ для которой $x_n'(t)=n\cdot t^{n-1}.$

Очевидно, что: $||x_n||_{C[0,1]}=1,$ но $||x_n'||_{C[0,1]}=n\underset{n\rightarrow \infty}{\rightarrow} \infty\Rightarrow ||A||_{C[0,1]}=\infty.$

Получили, что оператор $A$ не является ограниченным. $~~\blacksquare$

Список литературы

1. Полосин А. А. Лекции по функциональному анализу, 2022-2023г.

2. Точилин П. А. Семинарские занятия по функциональному анализу, 2022-2023г.

3. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М: Наука, 1965.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.