Теорема Бендиксона-Пуанкаре

Определения

Рассмотрим основные определения.
Точка покоя. Точка покоя системы дифференциальных уравнений \[ \begin{aligned} \dot{x} &= f_1(x, y), \\ \dot{y} &= f_2(x, y) \end{aligned} \] — это такая точка \((x_0, y_0) \in \mathbb{R}^2\), в которой выполняются равенства: \[ f_1(x_0, y_0) = 0, \quad f_2(x_0, y_0) = 0. \] В этой точке траектория остаётся неподвижной.

Предельная точка. Предельная точка траектории \(\gamma(t) = (x(t), y(t))\) системы дифференциальных уравнений — это точка \((\bar{x}, \bar{y}) \in \mathbb{R}^2\), для которой существует последовательность моментов времени \(\{t_k\}_{k=1}^\infty\), такая что: \[ t_k \to \infty, \quad (x(t_k), y(t_k)) \to (\bar{x}, \bar{y}), \quad \text{при } k \to \infty. \] Положительно инвариантная область. Положительно инвариантная область — это множество \(\bar{D} \subset \mathbb{R}^n\), если для любой точки \(x_0 \in \bar{D}\) решение \(x(t, x_0)\) остается в области \(\bar{D}\) при всех \(t \geq 0\).

Иными словами, если траектория, начавшаяся в \(\bar{D}\), полностью лежит внутри \(\bar{D}\), то эта область называется положительно инвариантной.

Мешок Бендиксона. Мешок Бендиксона — это область фазового пространства, ограниченная замкнутой траекторией, внутри которой отсутствуют другие замкнутые траектории, точки покоя или бесконечные траектории. Используется для анализа поведения динамических систем в положительно инвариантных областях.

Лемма 1

Если траектория системы содержит хотя бы одну свою предельную точку при \(t \to \infty\), то это либо точка покоя, либо цикл.

Доказательство:
Пусть содержится \(\bar{x}\) и \(t \to \infty\).
1. Если \(\bar{x}\) - точка покоя, то \(x(t) = \bar{x}\).
Иначе рассмотрим второй случай. 2. Рассмотрим окрестность точки \(\bar{x}\). В окрестности точки по теореме о выпрямлении векторного поля, его можно представить как пучок параллельных прямых. \(\bar{x}\) - предельная точка, то траектории будут близко к ней. Если траектория не попадает в \(\bar{x}\), то она будет оставаться в мешке Бендиксона и не будет приближаться к \(\bar{x}\). Получаем противоречие.

Рисунок к Лемме 1

Лемма 2

Пусть траектория \(\gamma\) при \(t \to \infty\) имеет предельную точку \(\bar{M} \in \gamma\), принадлежащую некоторой замкнутой кривой \(\bar{\gamma}\). Тогда либо \(\gamma = \bar{\gamma}\), либо \(\gamma\) спиралевидно приближается к \(\bar{\gamma}\).

Доказательство:
1. Траектория \(\gamma\) проходит через \(\bar{M} \in \bar{\gamma}\), тогда \(x(t, \bar{M}) \in \bar{\gamma}\).
2. Если траектория проходит сколь угодно близко от \(\bar{M}\), но тогда траектория на любом обороте будет приближаться к \(\bar{M}\), так как это предельная точка.

Теорема Бендиксона-Пуанкаре

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений: \[ \begin{aligned} \dot{x} &= f_1(x, y), \\ \dot{y} &= f_2(x, y), \end{aligned} \quad \bar{D} \subset \mathbb{R}^2 \] Условия:

1. \(\bar{D}\) — ограниченная замкнутая область в \(\mathbb{R}^2\).

2. \(\bar{D}\) — положительно инвариантна относительно системы:

\[ (x_0, y_0) \in \bar{D}, \quad \left. \begin{gathered} x = x(x_0, y_0) \\ y = y(x_0, y_0) \end{gathered} \right\} \quad \gamma \subset \bar{D} \]

3. в \(\bar{D}\) нет точек покоя.

Если все три условия выполняются, то в \(D\) существует по крайней мере одна замкнутая траектория (цикл).

Доказательство теоремы Бендиксона-Пуанкаре

Из произвольной точки выпускаем траекторию: \[ \gamma: \begin{cases} x = x(t, x_0), \\ y = y(t, y_0) \end{cases}, \quad (x_0, y_0) \in \bar{D}. \] Эта траектория не покидает замкнутую область \(\bar{D}\).

По теореме Вейерштрасса можно выделить последовательность \(t_k\), сходящуюся к предельной точке: \[ \begin{cases} x_k = x(t_k, x_0), \\ y_k = y(t_k, y_0) \end{cases} \rightarrow \begin{pmatrix} \bar{x} \\ \bar{y} \end{pmatrix} = \bar{M}. \]

Теперь рассматриваем два возможных случая:

1. \(\bar{M} \in \gamma\): в этом случае, по Лемме 1, \(\gamma\) является замкнутой траекторией.

2. \(\bar{M} \notin \gamma\).Тогда рассматриваем траекторию \(\bar{\gamma}\), проходящую через \(\bar{M}\): \[ \begin{cases} x = x(t, x_0), \\ y = y(t, y_0) \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \bar{\gamma}. \] Для этой траектории выделяем последовательность \(\{t_n\}\), сходящуюся к предельной точке.

\[ \begin{cases} x_n = x(t_n, \bar{x}), \\ y_n = y(t_n, \bar{y}) \end{cases} \rightarrow \begin{pmatrix} \bar{\bar{x}} \\ \bar{\bar{y}} \end{pmatrix} = \bar{\bar{M}}. \] Из инвариантности предельного множества следует, что \(\bar{\gamma}\) является предельным множеством, а значит, возможны два случая:

Случай \(\bar{\bar{M}} \in \bar{\gamma}\): тогда по Лемме 2 \(\bar{\gamma}\) является замкнутой траекторией.

Случай \(\bar{\bar{M}} \notin \bar{\gamma}\): Это приводит к противоречию, так как \(\bar{\bar{M}}\) и любая другая точка \(\tilde{a}\) из \(\bar{\gamma}\) одновременно не могут быть предельными.

Таким образом, доказано, что при выполнении условий теоремы траектория либо является замкнутой, либо приводит к противоречию.

Пример

Рассмотрим систему уравнений: \[ \begin{cases} \dot{x} = y, \\ \dot{y} = -x \end{cases} \] Траектории системы лежат на окружностях вида \(x^2 + y^2 = R^2\). Условия теоремы выполнены, но предельного цикла нет.

Практическое применение

Теорема Бендиксона-Пуанкаре имеет широкое применение в различных областях, где исследуются динамические системы с ограничениями и колебательными процессами. Она помогает предсказать наличие устойчивых циклических решений в сложных системах. Рассмотрим несколько примеров её применения:

Биологические популяции

Один из наиболее известных примеров — модель взаимодействия хищников и жертв, известная как модель Лотки-Вольтерры. Эта модель описывает динамику двух популяций: хищников и их жертв. В частности, она формулируется как система дифференциальных уравнений:

\[ \begin{cases} \dot{x} = \alpha x - \beta xy, \\ \dot{y} = \delta xy - \gamma y \end{cases} \]

где: \(x\) — численность популяции жертв, \(y\) — численность популяции хищников, \(\alpha\), \(\beta\), \(\delta\), \(\gamma\) — положительные константы, характеризующие взаимодействие между популяциями.

Теорема Бендиксона-Пуанкаре утверждает, что если система не имеет точек покоя в области фазового пространства, то существуют замкнутые траектории (циклические колебания). Это соответствует колебаниям численности хищников и жертв, когда численности обеих популяций периодически увеличиваются и уменьшаются. Важно, что теорема позволяет установить существование устойчивых циклов, что даёт понимание долгосрочного поведения экосистемы.

Электрические цепи

Теорема Бендиксона-Пуанкаре находит применение и в области электрических цепей, особенно при анализе непрямолинейных колебательных процессов. Например, в цепях с нелинейными элементами, такими как диоды или транзисторы, часто наблюдаются устойчивые периодические колебания. Эти колебания могут быть описаны дифференциальными уравнениями, аналогичными тем, что возникают в биологических моделях.

Одним из классических примеров является модель цепи с нелинейным сопротивлением, описанная системой уравнений:

\[ \begin{cases} \dot{x} = y, \\ \dot{y} = -x + f(x), \end{cases} \]

где \(f(x)\) — нелинейная функция, представляющая характеристики нелинейного сопротивления. Теорема Бендиксона-Пуанкаре предсказывает, что в таких системах, если отсутствуют точки покоя и система положительно инвариантна, то возможны устойчивые замкнутые траектории, которые соответствуют периодическим колебаниям напряжения или тока в цепи.

Эти колебания могут быть использованы в различных электронных устройствах, таких как генераторы и осцилляторы, для создания стабильных и предсказуемых периодических сигналов.

Следствие

Если в окрестности замкнутой траектории \(\bar{\gamma}\) отсутствуют другие замкнутые траектории, то все траектории, начинающиеся вблизи \(\bar{\gamma}\), спиралевидно стремятся к \(\bar{\gamma}\).

Список литературы

1. Абрамова В.В. "Лекции по динамическим системам и биоматематике", 2024.
2. Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. "Динамические системы и модели биологии", 2011.