Принцип сжимающих отображений

Последовательности

Определение. Метрическим пространством $$M$$ называется множество элементов $$x, y, \dots,$$ в котором любой паре элементов $$x, y$$ поставлено в соответствие некоторое число $$d(x, y),$$ называемое метрикой или расстоянием, удовлетворяющее следующим аксиомам:

1. $$\, d(x, y) \ge 0,\ \text{причём } d(x, y) = 0 \;\Leftrightarrow\; x = y.$$

2. $$\, d(x, y) = d(y, x).$$

3. $$\, d(x, y) \le d(x, z) + d(z, y), \quad \forall x, y, z \in M \ \text{(неравенство треугольника).}$$

Определение. Последовательность $$\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$$, где все $$x_n \in M$$, называется сходящейся к элементу $$x \in M$$, если

\[ \lim_{n \to \infty} d(x_n, x) = 0. \]

Определение. Последовательность $$\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$$, где все $$x_n \in M$$, называется фундаментальной (последовательностью Коши), если

\[ \lim_{m,n \to \infty} d(x_n, x_m) = 0, \]

то есть

\[ \forall \varepsilon > 0 \ \exists N = N(\varepsilon) : \forall n, m > N \quad d(x_n, x_m) < \varepsilon. \]

Отображения

Определение. Метрическое пространство $$M$$ называется полным, если всякая фундаментальная последовательность сходится в $$M$$.

Пусть $$X$$ и $$Y$$ — метрические пространства.

Определение. Отображение $$\, f : X \to Y$$ называется непрерывным в точке $$x \in X$$, если для любой последовательности $$\{x_n\}$$, сходящейся к $$x$$, выполняется

\[ x_n \to x \;\Rightarrow\; f(x_n) \to f(x). \]

Определение. Отображение $$\, f : M \to M$$ называется сжимающим, если существует число $$\alpha \in (0,1)$$ такое, что

\[ d(f(x), f(y)) \le \alpha\, d(x, y), \qquad \forall x, y \in M. \]

Теорема о сжимающих отображениях

Теорема (принцип сжимающих отображений). У любого сжимающего отображения, действующего в полном метрическом пространстве, существует и притом единственная неподвижная точка.

Доказательство. Пусть $$M$$ — полное метрическое пространство, $$f : M \to M$$ — сжимающее отображение. Возьмём произвольный $$x_0 \in M$$ и построим последовательность $$x_{n+1} = f(x_n)$$. Так как (для определённости полагаем $$n > m$$)

\[ d(x_{n+1}, x_n) \le \alpha d(x_n, x_{n-1}) \le \dots \le \alpha^n d(x_1, x_0), \]

то

\[ d(x_n, x_m) \le d(x_n, x_{n-1}) + \dots + d(x_{m+1}, x_m) \le (\alpha^{\,n-1} + \dots + \alpha^{\,m}) d(x_1, x_0) \le \frac{\alpha^{\,m}}{1 - \alpha}\, d(x_1, x_0), \]

следовательно, эта последовательность фундаментальна. Поскольку пространство $$M$$ полно, существует её предел $$x$$.

Переходя к пределу в равенстве $$x_{n+1} = f(x_n)$$, получаем $$x = f(x)$$.

Осталось доказать единственность неподвижной точки. Предположим, что существуют две неподвижные точки $$x$$ и $$y$$, то есть $$f(x)=x,\qquad f(y)=y.$$ Тогда, используя свойство сжимаемости отображения $$f$$, имеем \[ d(x,y)=d(f(x),f(y))\le \alpha\, d(x,y). \] Перенесём правую часть влево: \[ (1-\alpha)\, d(x,y)\le 0. \] Но $$1-\alpha>0$$ и всегда $$d(x,y)\ge 0$$, поэтому возможно только \[ d(x,y)=0. \] По аксиоме метрики из $$d(x,y)=0$$ следует $$x=y$$. Значит, неподвижная точка единственна. Теорема доказана.

Замечание. Скорость сходимости:

\[ d(x_n, x) \le \alpha^n\, \frac{d(x_1, x_0)}{1 - \alpha}. \]

Пример, показывающий необходимость полноты

Следующий пример показывает, что в теореме о сжимающих отображениях от требования полноты отказаться нельзя.

Пример. Рассмотрим метрическое пространство \[ M = (0,1), \qquad d(x,y) = |x-y|. \] Это пространство не является полным.

Определим отображение $$f : M \to M$$ по формуле \[ f(x) = \frac{x}{2}. \]

Проверим, что $$f$$ является сжимающим. Для любых $$x,y \in M$$ имеем \[ d(f(x), f(y)) = \left| \frac{x}{2} - \frac{y}{2} \right| = \frac12 |x-y| = \frac12\, d(x,y). \] Следовательно, $$f$$ — сжимающее отображение с коэффициентом $$\alpha = \tfrac12$$.

Рассмотрим теперь уравнение неподвижной точки \[ f(x) = x. \] Из него следует \[ \frac{x}{2} = x \quad \Rightarrow \quad x = 0. \] Однако точка $$0 \notin M$$, поэтому отображение $$f$$ не имеет неподвижной точки в пространстве $$M$$.

Тем самым, в неполном метрическом пространстве сжимающее отображение может не иметь неподвижной точки.

Замечание. Если пополнить пространство $$M$$ до $$\overline{M} = [0,1]$$, то отображение $$f$$ продолжится до сжимающего отображения на полном пространстве и будет иметь неподвижную точку $$x = 0$$.

Теоремы о сжимающих отображениях

Теорема. Пусть $$M$$ — полное метрическое пространство, $$\, f : M \to M$$, $$\, f^m$$ — сжимающее при некотором $$m \in \mathbb{N}$$. Тогда $$\exists !\, x \in M : f(x) = x$$.

Доказательство. В силу принципа сжимающих отображений $$\exists !\, x \in M : f^{\,m}(x) = x$$. Но тогда

\[ d(f(x), x) = d(f(f^{\,m}(x)), f^{\,m}(x)) = d(f^{\,m}(f(x)), f^{\,m}(x)) \le \alpha\, d(f(x), x) \;\Rightarrow\; d(f(x), x) = 0. \]

Единственность вытекает из того, что если $$x$$ — неподвижная точка для $$f$$, то она неподвижная и для $$f^{\,m}$$. Теорема доказана.

Теорема. Пусть $$M$$ — полное метрическое пространство, $$\, f : \overline{B(x_0, r)} \to M$$, $$\, f$$ — сжимающее на $$\overline{B(x_0, r)}$$ и $$d(f(x_0), x_0) \le (1 - \alpha) r$$. Тогда $$\exists !\, x \in \overline{B(x_0, r)} : f(x) = x$$.

Достаточно заметить, что $$f : \overline{B(x_0, r)} \to \overline{B(x_0, r)}$$:

\[ d(f(x), x_0) \le d(f(x), f(x_0)) + d(f(x_0), x_0) \le \alpha d(x, x_0) + (1 - \alpha) r \le r , \]

и взять $$\overline{B(x_0, r)}$$ в качестве полного метрического пространства.

Теорема о неподвижной точке в компактном пространстве

Определение. Метрическое пространство называется компактным, если из любой последовательности его элементов можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Теорема. Пусть $$M$$ — полное метрическое и компактное пространство, $$\, f : M \to M$$, и выполнено строгое сжатие

\[ d(f(x), f(y)) < d(x, y) \quad \forall\, x, y \in M,\; x \ne y. \]

Тогда $$\exists !\, x \in M : f(x) = x.$$

Доказательство. Обозначим

\[ d_0 = \inf_{x \in M} d(f(x), x) \ge 0. \]

Если $$d_0 = 0$$, то $$\exists\, x_n \in M :\; d(f(x_n), x_n) \to 0.$$ В силу компактности $$\exists\, x_{n_k} \to x \in M$$. Легко убедиться, что $$f(x) = x.$$

Если $$d_0 > 0$$, то, рассуждая аналогично, находим $$x_0 :\; d(f(x_0), x_0) = d_0$$. Но тогда

\[ d_0 = d(f(f(x_0)), f(x_0)) < d(f(x_0), x_0) = d_0, \]

что является противоречием.

Единственность легко доказывается от противного:

\[ d(x, \tilde{x}) = d(f(x), f(\tilde{x})) < d(x, \tilde{x}). \]

Теорема доказана.

Примеры

Пример 1. Линейное интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода

\[ x(t) = \lambda \int_a^b K(t,\tau)\, x(\tau)\, d\tau + y(t), \quad t \in [a,b], \]

где $$K(t,\tau) \in C([a,b]\times[a,b]),\; \lambda \in \mathbb{C}.$$

Положим $$M = C[a,b], \qquad d(x,y) = \max_{t \in [a,b]} |x(t) - y(t)|, \qquad K_1 = \max_{t \in [a,b]} \int_a^b |K(t,\tau)|\, d\tau.$$

Рассмотрим произвольные $$x_1, x_2 \in M$$. Тогда для любого $$t \in [a,b]$$ имеем \[ \begin{aligned} |f(x_2)(t) - f(x_1)(t)| &= \left| \lambda \int_a^b K(t,\tau)\bigl(x_2(\tau)-x_1(\tau)\bigr)\,d\tau \right| \\ &\le |\lambda| \int_a^b |K(t,\tau)|\,|x_2(\tau)-x_1(\tau)|\,d\tau \\ &\le |\lambda| \left( \max_{\tau\in[a,b]} |x_2(\tau)-x_1(\tau)| \right) \int_a^b |K(t,\tau)|\,d\tau. \end{aligned} \]

Переходя к максимуму по $$t \in [a,b]$$, получаем \[ d(f(x_2), f(x_1)) \le |\lambda| K_1\, d(x_2,x_1). \]

Следовательно, оператор $$f$$ является сжимающим при условии \[ |\lambda| K_1 < 1. \]

Пример 2. Линейное уравнение Вольтерра 2-го рода

\[ x(t) = \lambda \int_a^t K(t,\tau)\, x(\tau)\, d\tau + y(t), \quad t \in [a,b], \]

где $$K(t,\tau) \in C([a,b]\times[a,b]),\; \lambda \in \mathbb{C}.$$

Положим $$M = C[a,b], \qquad d(x,y) = \max_{t \in [a,b]} |x(t)-y(t)|,$$ и $$K_0 = \max_{t,\tau \in [a,b]} |K(t,\tau)|.$$

Рассмотрим произвольные $$x_1, x_2 \in M$$. Для любого $$t \in [a,b]$$ имеем \[ \begin{aligned} |f(x_2)(t) - f(x_1)(t)| &= \left| \lambda \int_a^t K(t,\tau)\bigl(x_2(\tau)-x_1(\tau)\bigr)\,d\tau \right| \\ &\le |\lambda| \int_a^t |K(t,\tau)|\,|x_2(\tau)-x_1(\tau)|\,d\tau \\ &\le |\lambda| K_0 (t-a)\, d(x_2,x_1). \end{aligned} \]

Следовательно, \[ d(f(x_2), f(x_1)) \le |\lambda| K_0 (b-a)\, d(x_2,x_1), \] и оператор $$f$$ вообще говоря не является сжимающим при произвольном $$\lambda$$.

Тогда

\[ f(x(t)) = \lambda \int_a^b K(t,\tau)\, x(\tau)\, d\tau + y(t). \]

Из оценки

\[ |f(x_2) - f(x_1)| \le |\lambda| K_0 (t-a)\, d(x_1, x_2), \]

и более общей оценки

\[ |f^{\,m}(x_2) - f^{\,m}(x_1)| \le \frac{(|\lambda| K_0 (b-a))^m}{m!}\, d(x_1, x_2), \]

следует, что $$f^{\,m}$$ становится сжимающим при некотором $$m$$. Отсюда получается однозначная разрешимость уравнения Вольтерра при любом $$\lambda$$.

Пример 3. Нелинейное интегральное уравнение

\[ x(t) = \lambda \int_a^b K(t,\tau, x(\tau))\, d\tau + y(t), \quad t \in [a,b], \]

где $$K(t,\tau,s) \in C([a,b]\times[a,b]\times \mathbb{R}),\; \lambda \in \mathbb{C}.$$

Положим $$M = C[a,b], \qquad d(x,y) = \max_{t \in [a,b]} |x(t)-y(t)|.$$

Тогда

\[ f(x(t)) = \lambda \int_a^b K(t,\tau, x(\tau))\, d\tau + y(t). \]

Потребуем, чтобы ядро удовлетворяло условию Липшица по третьему аргументу:

\[ |K(t,\tau, z_2) - K(t,\tau, z_1)| \le K_0 |z_2 - z_1| \]

равномерно по остальным аргументам.

Рассмотрим произвольные $$x_1, x_2 \in M$$. Тогда для любого $$t \in [a,b]$$ имеем \[ \begin{aligned} |f(x_2)(t) - f(x_1)(t)| &= \left| \lambda \int_a^b \bigl( K(t,\tau,x_2(\tau)) - K(t,\tau,x_1(\tau)) \bigr)\, d\tau \right| \\ &\le |\lambda| \int_a^b \left| K(t,\tau,x_2(\tau)) - K(t,\tau,x_1(\tau)) \right| d\tau. \end{aligned} \]

Используя условие Липшица по третьему аргументу, получаем \[ |f(x_2)(t) - f(x_1)(t)| \le |\lambda| K_0 \int_a^b |x_2(\tau)-x_1(\tau)|\, d\tau. \]

Так как \[ \int_a^b |x_2(\tau)-x_1(\tau)|\, d\tau \le (b-a)\, d(x_2,x_1), \] то \[ |f(x_2)(t) - f(x_1)(t)| \le |\lambda| K_0 (b-a)\, d(x_2,x_1). \]

Переходя к максимуму по $$t \in [a,b]$$, получаем \[ d(f(x_2), f(x_1)) \le |\lambda| K_0 (b-a)\, d(x_2,x_1). \]

Следовательно, оператор $$f$$ является сжимающим при условии \[ |\lambda| K_0 (b-a) < 1. \]

Список литературы

1. Моисеев Е. И. Лекции по функциональному анализу, 2021г.