Решения ОДУ в смысле Каратеодори: различия между версиями
(не показано 145 промежуточных версий 2 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | Рассматривается система дифферинциальных уравнений: | ||
+ | <math>\dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).</math> | ||
+ | Мы хотим понять, в каком смысле определять траекторию этой системы <math>- \ x(\cdot)</math>, если управление <math>- \ u(\cdot)</math> измеримая функция. | ||
− | + | == Условия Каратеодори == | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
Введем обозначение | Введем обозначение | ||
$$ g(t,x) = f(t, x, u(t)).$$ | $$ g(t,x) = f(t, x, u(t)).$$ | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
Пусть <math>(t_0, x^0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n </math> и <math>\exists a > 0, r > 0</math> такие, что: | Пусть <math>(t_0, x^0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n </math> и <math>\exists a > 0, r > 0</math> такие, что: | ||
− | # Пусть <math>g(t,x)</math> определена для <math>\forall x \in B_r(x_0)</math> и почти всех <math> | + | # Пусть <math>g(t,x)</math> определена для <math>\forall x \in B_r(x_0)</math> и почти всех <math> t \in [t_0-a,t_0+a];</math> |
− | # <math>g(t,x)</math> измерима по <math>t</math> для | + | # <math>g(t,x)</math> измерима по <math>t</math> для <math>\forall x \in B_r(x^0)</math>, <math>g(t,x)</math> непрерывна по <math>x</math> для <math>\dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];</math> |
− | # <math>\exists m(\cdot) | + | # <math>\exists m(\cdot) </math> интегрируема по Лебегу при <math>t \in [t_0-a, t_0+a]</math> такая, что: |
− | + | \begin{equation*} | |
+ | ||g(t,x)|| \leq m(t), \forall x \in B_r(x^{0}), \dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a]. | ||
+ | \end{equation*} | ||
− | Эти три условия и называются условиями Каратеодори. | + | Эти три условия и называются условиями [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D1%80%D0%B8,_%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%B8%D0%BD Каратеодори]. |
+ | |||
== Абсолютно непрерывные функции == | == Абсолютно непрерывные функции == | ||
Мы бы хотели найти решение задачи Коши | Мы бы хотели найти решение задачи Коши | ||
− | \begin{equation | + | \begin{equation}\label{syst} |
− | |||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
− | \dot x(t) = g(t, x(t))\\ | + | \dot x(t) = g(t, x(t)),\\ |
x(t_0) = x^0, | x(t_0) = x^0, | ||
\end{cases} | \end{cases} | ||
− | \end{equation | + | \end{equation} |
в следующем классе функций: | в следующем классе функций: | ||
− | # <math> x(\cdot) \in C; </math> | + | # <math> x(\cdot) \in C[t_0-a, t_0+a]; </math> |
− | # для почти всех <math> \dot \forall t</math> существует <math> \exists \dot x </math> | + | # для почти всех <math> \dot \forall t</math> существует <math> \exists \dot x </math> и выполнено <math> \dot x(t) = g(t, x(t))</math>. |
− | + | Покажем, что условий Каратеодори самих по себе недостаточно для определения решения. Рассмотрим следующий пример | |
− | Покажем, что условий Каратеодори самих по себе недостаточно для определения решения. Рассмотрим следующий пример | ||
\begin{equation*} | \begin{equation*} | ||
− | |||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
− | \dot x(t) = 0\\ | + | \dot x(t) = 0,\\ |
− | x(0) = 0 | + | x(0) = 0. |
\end{cases} | \end{cases} | ||
\end{equation*} | \end{equation*} | ||
− | Очевидно, что | + | Очевидно, что <math>x \equiv 0</math> является решением системы. Такое решение в рассматриваемом классе не единственно. Рассмотрим лестницу Кантора, она так же будет являться решением этой системы при наложенных ранее ограничениях. |
− | Чтобы избежать неоднозначности из-за различных сингулярных частей в функции, наложим дополнительные ограничения на | + | |
− | < | + | Чтобы избежать неоднозначности из-за различных сингулярных частей в функции, наложим дополнительные ограничения на <math> x </math> :<br> $$ x(\cdot) $$ решение системы <math>\Leftrightarrow </math> для всех <math>\forall t</math> выполнено |
− | для всех | + | \begin{equation*} |
− | <math> | + | x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} g(\tau, x(\tau)) \,d\tau. \\ |
− | Из курса функционального анализа известно, что если <math> z(\cdot) | + | \end{equation*} |
− | + | ||
− | что обозначает абсолютную непрерывность интеграла Лебега. | + | Из курса функционального анализа [3] известно, что если <math> z(\cdot) </math> измерима, то для любого <math> \varepsilon > 0</math> существует <math> \exists \delta(\varepsilon) > 0: </math> |
− | Тогда можем заменить условие 3) в условиях Каратеодори на следующие два: | + | \begin{equation*} |
− | 3') <math> \dot x | + | \forall Z \text{ измеримого}: \mu (Z) \leq \delta \Rightarrow \int_{\tau \in Z} z(\tau) \,d\tau \leq \varepsilon,\\ |
+ | \end{equation*} | ||
+ | что обозначает абсолютную непрерывность интеграла Лебега.<br> | ||
+ | Тогда можем заменить условие 3) в условиях Каратеодори на следующие два:<br> | ||
+ | 3') <math> \dot x </math> интегрируема по Лебегу;<br> | ||
4) Для всех <math> \forall t \in [t_0-a, t_0+a] \Rightarrow | 4) Для всех <math> \forall t \in [t_0-a, t_0+a] \Rightarrow | ||
− | x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} \dot x(\tau) \,d\tau. </math> | + | x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} \dot x(\tau) \,d\tau. </math> <br> |
− | + | ||
− | + | Введём следующие определения: <br> | |
− | В курсе математического анализа, это определение | + | |
− | + | ''Определение 1''. Функции, удовлетворяющие условиям 1), 2), 3'), 4) будем называть ''абсолютно непрерывными'', а класс таких функций будем обозначать <math> AC[t_0-a, t_0+a] </math> (от англ. ''absolutely continuous''). | |
− | </math> если для любого <math> \ | + | В курсе математического анализа, это определение вводится по-другому. <br> |
− | \tau_1^{''}, \dots, \tau_k^{''} <math> таких, что | + | |
− | + | ''Определение 1'''. Будем говорить, что <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0, \tau_1], | |
− | <math> | + | </math> если для любого <math> \forall \varepsilon > 0 </math> существует <math> \exists \delta(\varepsilon) > 0: </math> <br> <math> \forall \tau_{1}^{'}, </math> <math> \dots, \tau_k^{'}, \tau_1^{''}, \dots, \tau_k^{''}</math> таких, что |
− | \sum_{j=1}^{k}||x(\tau_j^{''})-x(\tau_j^{'}) || \ | + | \begin{equation*} |
− | Так же из курса математического анализа известна эквивалентность этих определений. | + | \tau_0 \leq \tau_1^{'} < \tau_1^{''} \dots < \tau_k^{'} < \tau_k^{''} \leq \tau_1, |
+ | \end{equation*} | ||
+ | выполнено: <math> \sum_{j=1}^{k}|\tau_j^{''}-\tau_j^{'}|<\delta \Rightarrow \sum_{j=1}^{k}||x(\tau_j^{''})-x(\tau_j^{'}) || \leq \varepsilon. </math> | ||
+ | Так же из курса математического анализа известна эквивалентность этих определений, подробнее можно узнать в [3]. | ||
+ | |||
+ | ''Замечание''. Абсолютно непрерывные функции являются непрерывными и равномерно непрерывными, но при этом не обязаны быть дифференцируемыми. В качестве контрпримера можно рассмотреть одномерную функцию $$f(x) = |x|.$$ | ||
− | |||
Так же известно, что | Так же известно, что | ||
− | $ | + | $$ \text{Lip}[\tau_0, \tau_1] \subset AC[\tau_0, \tau_1], $$ |
поскольку | поскольку | ||
− | + | \begin{equation*} | |
− | Данное вложение является строгим | + | ||x(\tau'')-x(\tau') || \leq L |\tau''-\tau'| \Rightarrow \delta(\varepsilon) = \frac{\varepsilon}{L}. |
− | С учетом этих определений сформулируем новое определение. | + | \end{equation*} |
− | + | Данное вложение является строгим, пример: $$x(t) = t^{\alpha}, 0 < \alpha < 1.$$ | |
+ | <br> | ||
+ | С учетом этих определений сформулируем новое определение.<br> | ||
+ | |||
+ | ''Определение 2''. Решением системы на $$t_0-a \leq \tau_0 < \tau_1 \leq t_0+a, t_0 \in [\tau_0, \tau_1]$$ по Каратеодори называется функция $$x(\cdot),$$ удовлетворяющая следующим критериям: | ||
# <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0,\tau_1];</math> | # <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0,\tau_1];</math> | ||
− | # <math>x(t_0) = x^{0} </math> | + | # <math>x(t_0) = x^{0}; </math> |
# для почти всех <math> \dot \forall t \in (\tau_0, \tau_1) \Rightarrow \dot x(t) = g(t,x(t)). </math> | # для почти всех <math> \dot \forall t \in (\tau_0, \tau_1) \Rightarrow \dot x(t) = g(t,x(t)). </math> | ||
+ | ''Замечание''. Лестница Кантора не является абсолютно непрерывной. Так как мера точек роста функции равна нулю, то можно найти для любого <math> \delta>0 </math> можно покрыть это множество непересекающимися отрезками. Поэтому для <math> \varepsilon = \frac{1}{2} </math>, будет нарушено определение, так как рост на отрезке [0,1] лестницы Кантора равен <math>1 > \frac{1}{2} </math>. | ||
+ | |||
== Существование решения по Каратеодори == | == Существование решения по Каратеодори == | ||
− | Для доказательства основной теоремы о существовании нам потребуется сформулировать несколько вспомогательных теорем. | + | Для доказательства основной теоремы о существовании нам потребуется сформулировать несколько вспомогательных теорем.<br> |
− | + | '''Теорема 1'''(Scorza Dragoni G., 1948). Пусть <math> g(t,x) </math> | |
− | измерима по $t$ для всех <math> \forall x \in B_r(x^0)</math> и непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math> \dot \forall t \in [\tau_0, \tau_1]. | + | измерима по $$t$$ для всех <math> \forall x \in B_r(x^0)</math> и непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math> \dot \forall t \in [\tau_0, \tau_1]. </math> |
− | + | Тогда $$\forall \varepsilon$$ $$ \Rightarrow \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K $$ компакт, такой что | |
− | и <math>g(t,x) </math> суженная на <math> K\times B_r(x^0) </math> непрерывна по <math>(t,x) </math> | + | \begin{equation*} |
− | + | \mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon | |
− | + | \end{equation*} | |
− | и <math>z(t) </math> суженная на <math> K. | + | и <math> g(t,x) </math> суженная на <math> K\times B_r(x^0) </math> непрерывна по <math>(t,x) </math> |
− | + | <br> | |
− | существует <math>K(x)</math>, а из | + | '''Теорема 2'''(Критерий измеримости Лузина). Функция <math> z(t) </math> измерима на <math> t \in [\tau_0, \tau_1] \Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \ \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K </math> компакт такой, что |
− | Следствие 1(Частный случай Scorza Dragoni) Если <math> g(t,x) | + | \begin{equation*} |
− | </math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x </math>, непрерывна по <math> x </math> для почти всех <math>\dot \forall t</math>,а <math>x(\cdot)</math> измерима, то функция <math>g(t,x(t)) | + | \mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon |
− | + | \end{equation*} | |
− | <math>\mu([\tau_0,\tau_1] \ | + | и <math>z(t) </math> суженная на <math> K </math> непрерывна. <br> |
− | и <math> u </math> при сужении на <math> K | + | ''Доказательство''. Можно найти в [3]. |
+ | <br> | ||
+ | ''Замечание 3''. Из теоремы Лузина следует, что для <math> g(t,x)</math> | ||
+ | существует <math>K(x)</math>, а из теоремы 1 следует существование универсального <math>K</math>(на шаре). | ||
+ | <br> | ||
+ | '''Следствие 1'''.(Частный случай Scorza Dragoni) Если <math> g(t,x) | ||
+ | </math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x </math>, непрерывна по <math> x </math> для почти всех <math>\dot \forall t</math>,а <math>x(\cdot)</math> измерима, то функция <math>g(t,x(t)) </math> измерима по <math> t. </math> | ||
+ | <br> | ||
+ | ''Доказательство''. Функция <math>u(\cdot) </math> измерима, следовательно, из критерия Лузина <math>\forall \varepsilon > 0 \exists K \subseteq [t_0-h, t_0+h], K </math> компакт: | ||
+ | <math>\mu([\tau_0,\tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon </math> | ||
+ | и <math> u </math> при сужении на <math> K </math> непрерывна. | ||
Тогда | Тогда | ||
− | + | \begin{equation*} | |
− | непрерывна на <math>K</math>, а значит, <math> z(\cdot) | + | z(\tau) = g(\tau, x^{(k)}(\tau)) = f(\tau, x^{(k)}(\tau),u(\tau)) |
− | измерима. | + | \end{equation*} |
+ | непрерывна на <math>K</math>, а значит, <math> z(\cdot) </math> | ||
+ | измерима.<math>\blacksquare</math> | ||
+ | <br> | ||
Теперь можно сформулировать теорему о существовании решения. | Теперь можно сформулировать теорему о существовании решения. | ||
− | + | <br> | |
− | + | '''Теорема 3'''(Существование решения исходной системы). Пусть <math> 0 < h \leq a </math> и | |
− | Тогда существует <math> \exists x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h] | + | \begin{equation*} |
+ | \int_{t_0}^{t_0+h}m(\tau)d\tau \leq r, \int_{t_0-h}^{t_0}m(\tau)d\tau \leq r. | ||
+ | \end{equation*} | ||
+ | Тогда существует <math> \exists x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h] | ||
</math> решение по Каратеодори исходной системы ДУ в смысле Каратеодори. | </math> решение по Каратеодори исходной системы ДУ в смысле Каратеодори. | ||
− | + | <br> | |
− | + | ''Доказательство.'' Выпишем следующую последовательность функций: | |
− | + | \begin{equation*} | |
− | Элементы этой последовательности определены корректно, поскольку <math> g(\tau, x^{(k)}(\tau)) </math> измеримы по <math> \tau </math> в силу следствия 1, ограничены интегрируемой функцией <math> m(t) </math> (по условию теоремы) и, следовательно интегрируем по Лебегу. При этом <math> x^{(k)}(\cdot) \in C \ | + | x^{(0)}(t) \equiv x^{0}, |
+ | \end{equation*} | ||
+ | \begin{equation*} | ||
+ | x^{(k+1)}(t) = x^{0}+\int_{t_0}^{t}g(\tau,x^{(k)}(k))d\tau. | ||
+ | \end{equation*} | ||
+ | Элементы этой последовательности определены корректно, поскольку <math> g(\tau, x^{(k)}(\tau)) </math> измеримы по <math> \tau </math> в силу следствия 1, ограничены интегрируемой функцией <math> m(t) </math> (по условию теоремы) и, следовательно, интегрируем по Лебегу. При этом <math> x^{(k)}(\cdot) \in C \Rightarrow x^{(k)}(\cdot) \in AC </math>. | ||
Для того, чтобы воспользоваться теоремой Арцела-Асколи, нам необходимо показать равностепенную непрерывность и равномерную ограниченность последовательности. | Для того, чтобы воспользоваться теоремой Арцела-Асколи, нам необходимо показать равностепенную непрерывность и равномерную ограниченность последовательности. | ||
− | Равномерная ограниченность (при $t \geq t_0,$ для $t \leq t_0 | + | Равномерная ограниченность (при $$t \geq t_0,$$ для $$t \leq t_0$$) |
аналогично): | аналогично): | ||
− | <math> ||x^{(k+1)}(t)-x^{0}|| \ | + | <math> ||x^{(k+1)}(t)-x^{0}|| \leq \int_{t_0}^{t}||g(\tau,x^{(k)}(\tau))||d\tau \leq \int_{t_0}^{t}m(\tau) d\tau \leq r.</math> |
Покажем равностепенную непрерывность: | Покажем равностепенную непрерывность: | ||
− | <math> \forall \ | + | <math> \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta(\varepsilon) > 0: \ \forall t', t'' \in [t_0-h,t_0+h], \ t'\leq t'': |t'-t''|\leq \delta</math> |
− | + | \begin{equation*} | |
+ | \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow ||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||\leq \varepsilon? | ||
+ | \end{equation*} | ||
Для нашей последовательности | Для нашей последовательности | ||
− | + | \begin{equation*} | |
+ | ||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||= || \int_{t'}^{t''}g(s, x^{(n-1)}(s))ds||\leq \int_{t'}^{t''}m(s)ds \leq \varepsilon | ||
+ | \end{equation*} | ||
в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега. | в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега. | ||
Тогда последовательность непрерывных функций <math> x^{(k)}(\cdot) </math> равностепенно непрерывно и равномерно ограничено и, в силу теоремы Арцела-Асколи, | Тогда последовательность непрерывных функций <math> x^{(k)}(\cdot) </math> равностепенно непрерывно и равномерно ограничено и, в силу теоремы Арцела-Асколи, | ||
− | <math> x^{(k)}\ | + | <math> x^{(k)} \rightrightarrows x(\cdot). </math> |
При этом | При этом | ||
− | + | \begin{equation*} | |
− | то есть сходимость в С аналогична равномерной сходимости, и <math> x(\cdot) \in C.</math> | + | || x^{(k)}(\cdot)-x(\cdot)||_C = \max_{t\in [t_0-h,t_0+h]}|| x^{(k)}(t)-x(t)||, |
+ | \end{equation*} | ||
+ | то есть сходимость в С аналогична равномерной сходимости, и <math> x(\cdot) \in C[t_0-h, t_0+h].</math> | ||
Наконец, переходим к пределу в итеративной последовательности: | Наконец, переходим к пределу в итеративной последовательности: | ||
<math> x(t) = x^{0} + \int_{t_0}^{t}g(s,x(s))ds, x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h].</math> | <math> x(t) = x^{0} + \int_{t_0}^{t}g(s,x(s))ds, x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h].</math> | ||
− | Теорема доказана. | + | Теорема доказана.<math>\blacksquare</math> |
== Единственность решения == | == Единственность решения == | ||
Для единственности решения мы обычно требуем липшицевость по <math> x \text{:} </math>: | Для единственности решения мы обычно требуем липшицевость по <math> x \text{:} </math>: | ||
− | <math> || g(t,x | + | <math> || g(t,x'' - g(t,x'))|| \leq L(t)||x'' - x'|| </math> |
Где <math>L(t) -</math> интегрируема по Лебегу.<br> | Где <math>L(t) -</math> интегрируема по Лебегу.<br> | ||
Ослабив это условие, добавим его к списку условий Каратеодори 1)-3): <br> | Ослабив это условие, добавим его к списку условий Каратеодори 1)-3): <br> | ||
− | <math> 4) \ \ \forall x | + | <math> 4) \ \ \forall x', x'' \ \ \exists L(t) - </math> интегрируема по Лебегу: |
− | <math> \langle g(t,x | + | <math> \langle g(t,x'') - g(t,x'), x'' - x' \rangle \leq L(t)||x'' - x' ||.</math> |
Нетрудно показать что всякая липшицевая по <math>x</math> функция удовлетворяет этому условию в силу неравенства Коши-Буняковсвого-Шварца.<br> | Нетрудно показать что всякая липшицевая по <math>x</math> функция удовлетворяет этому условию в силу неравенства Коши-Буняковсвого-Шварца.<br> | ||
'''Теорема 4''' (Теорема о единственности решения по Каратеодори).<br> | '''Теорема 4''' (Теорема о единственности решения по Каратеодори).<br> | ||
− | ''Пусть выполнены условия Каратеодори '''1),2),3)''' а так же '''4)'''. Тогда решение по Каратеодори задачи Коши | + | ''Пусть выполнены условия Каратеодори '''1),2),3)''' а так же '''4)'''. Тогда решение по Каратеодори [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] единственно.''<br> |
− | ''Доказательтво:'' <br>Предположим противное. Пусть <math>x | + | ''Доказательтво:'' <br>Предположим противное. Пусть <math>x'(t)</math> и <math>x''(t) - </math> два различных решения [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] на <math>[t_{0}, t_{0} + h]</math>. Рассмотрим вспомогательную функцию: |
− | <math>z(t) = ||x | + | <math>z(t) = ||x''(t) - x'(t)||^{2} = \langle x''(t) - x'(t),x''(t) - x'(t) \rangle.</math> |
Она дифференцируема почти всюду, и для п.в. <math>t</math>: | Она дифференцируема почти всюду, и для п.в. <math>t</math>: | ||
− | <math> \frac{dz}{dt} = 2 \langle g(t,x | + | <math> \frac{dz}{dt} = 2 \langle g(t,x''),g(t,x'),x''(t) - x'(t) \rangle \leq 2L(t)z(t).</math> |
При этом <math>z(t_{0}) = 0 \ \ </math>(из определения <math> z</math>). Тогда неравенство: | При этом <math>z(t_{0}) = 0 \ \ </math>(из определения <math> z</math>). Тогда неравенство: | ||
<math> \frac{dz}{dt} - 2L(t)z(t) \leq 0</math> | <math> \frac{dz}{dt} - 2L(t)z(t) \leq 0</math> | ||
домножим на <math> \exp \{\int_{t_{0}}^{t} L(\xi)d\xi \}:</math>: | домножим на <math> \exp \{\int_{t_{0}}^{t} L(\xi)d\xi \}:</math>: | ||
<math> \frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi}) \leq 0 </math> | <math> \frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi}) \leq 0 </math> | ||
− | для п.в. (верно там, где она дифференцируема). Проинтегрировав получаем: | + | для п.в. <math>t</math> (верно там, где она дифференцируема). Проинтегрировав получаем: |
<math> 0 \leq z(t) e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi} \leq 0. </math> | <math> 0 \leq z(t) e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi} \leq 0. </math> | ||
− | Левое неравенство достигается в силу определения <math>z</math>, а правое следует из того факта, что производная отрицательная, а значит <math>z(t_{0}) = 0.</math> Тогда в обоих случаях достигаются равенства, и функции совпадают. | + | Левое неравенство достигается в силу определения <math>z</math>, а правое следует из того факта, что производная отрицательная, а значит <math>z(t_{0}) = 0.</math> Тогда в обоих случаях достигаются равенства, и функции совпадают.<br> |
+ | Теорема доказана. <math>\blacksquare</math> | ||
== Продолжимость решения == | == Продолжимость решения == | ||
В случае с решением по Каратеодори также возникает вопрос продожимости решения вправо. В условиях Каратеодори есть ограниченность интегрируемой функции, в теореме о существовании решении мы ограничили интеграл от этой функции <math>m(\cdot)</math> значением <math>r</math>. Разве этого не достаточно? Оказывается, нет.<br> | В случае с решением по Каратеодори также возникает вопрос продожимости решения вправо. В условиях Каратеодори есть ограниченность интегрируемой функции, в теореме о существовании решении мы ограничили интеграл от этой функции <math>m(\cdot)</math> значением <math>r</math>. Разве этого не достаточно? Оказывается, нет.<br> | ||
Строка 170: | Строка 207: | ||
Покажем, что непродолжимость решения может возникать только в случае неограниченного роста функции. Введем обозначения: | Покажем, что непродолжимость решения может возникать только в случае неограниченного роста функции. Введем обозначения: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
− | \ | + | \overline{\tau} = \sup \{ \tau \in (t_{0}, t_{0} + a): \exists x(\cdot) - \text{ при } t \in [t_{0}, \tau]\}, |
\end{equation} | \end{equation} | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
− | \ | + | \underline{\tau}= \inf \{ \tau \in (t_{0} - a, t_{0}): \exists x(\cdot) - \text{ при } t \in [\tau,t_{0}]\}. |
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | Введенные обозначения корректны, поскольку множества непусты в силу существования решения и его ограниченности на отрезке (функции непрерывны).<br> | + | Где <math>x(\cdot)</math> решение задачи Коши (\ref{syst}). Введенные обозначения корректны, поскольку множества непусты в силу существования решения и его ограниченности на отрезке (функции непрерывны).<br> |
'''Теорема 5.'''<br> | '''Теорема 5.'''<br> | ||
− | ''Пусть <math>\ | + | ''Пусть <math>\overline{\tau} < t_0 + a \ (\underline{\tau} > t_0 - a). </math> Тогда для <math>\forall r > 0 \ \exists \tau \in (t_0, \overline{\tau}) (\tau \in (\underline{\tau}, t_0)) </math> такое, что <math> ||x(\tau) - x^0|| = r.</math>''<br> |
''Доказательство.''<br> | ''Доказательство.''<br> | ||
− | Предположим противное. Пусть <math>\exists \ | + | Предположим противное. Пусть <math>\exists \overline{r} > 0: \forall \tau \in (t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow ||x(\tau) - x^0|| < \overline{r}. </math><br> |
− | Пусть <math>\Delta > 0, r = \ | + | Пусть <math>\Delta > 0, r = \overline{r} + \Delta,</math> тогда <math>\forall t \in [t_0, \overline{\tau}) </math> верно |
\begin{equation*} | \begin{equation*} | ||
B_\Delta (x(t)) \subseteq B_r(x^0). | B_\Delta (x(t)) \subseteq B_r(x^0). | ||
\end{equation*} | \end{equation*} | ||
− | Возьмем <math>\delta = t_0 + a - \ | + | Возьмем <math>\delta = t_0 + a - \overline{\tau} > 0. </math> Тогда <math>\overline{\tau} + \delta < t_0 + a. </math><br> |
− | Для любого <math>\forall \tau \in [t_0, \ | + | Для любого <math>\forall \tau \in [t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow [\tau - \delta, \tau + \delta]\times B_\Delta(x(\tau)) \subseteq [t_0 - a, t_0 + a]\times B_r(x^0). </math><br> |
− | Существует <math>\exists h > 0, h < \delta: \int_{\tau}^{\tau+h}m(s)ds \leq \Delta. </math> При этом получается, что <math>h-</math> не зависит от <math>\tau</math> (в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега). То есть мы нашли универсальный шаг, на который можем продвигаться при построении решения<math>:</math> <math>h- </math> универсально для всех <math>\tau \in [t_0, \ | + | Существует <math>\exists h > 0, h < \delta: \int_{\tau}^{\tau+h}m(s)ds \leq \Delta. </math> При этом получается, что <math>h \ -</math> не зависит от <math>\tau</math> (в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега). То есть мы нашли универсальный шаг, на который можем продвигаться при построении решения<math>:</math> <math>h \ - </math> универсально для всех <math>\tau \in [t_0, \overline{\tau}),</math> то есть мы можем проинтегрировать <math>x(\cdot) </math> до момента <math>\tau + h </math> для любого <math>\tau. </math> По определению <math>\overline{\tau} \ - </math> это супремум всех моментов времени, когда существует решение. Из определения супремума <math>: \exists \tau: \overline{\tau} - \tau < h/2. </math> Для этого <math>\tau </math> проинтегрируем систему до <math>\tau + h. </math> Но тогда получается, что <math>\tau + h > \overline{\tau}, </math> что приводит нас к противоречию. <br> |
− | Теорема доказана.<br> | + | Теорема доказана.<math>\blacksquare</math><br> |
Отбросим теперь в условиях Каратеодори условие с <math>a</math> и заменим отрезок времени на <math>[t_0,t_1] </math> либо <math>\R </math> (в 1) и 2)) и добавим условие продолжимости вправо(влево). | Отбросим теперь в условиях Каратеодори условие с <math>a</math> и заменим отрезок времени на <math>[t_0,t_1] </math> либо <math>\R </math> (в 1) и 2)) и добавим условие продолжимости вправо(влево). | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
− | \langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x | + | \langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x;\alpha,\beta = \text{const} >0 |
\end{equation} | \end{equation} | ||
\begin{equation*} | \begin{equation*} | ||
Строка 197: | Строка 234: | ||
Условие продолжимости в обе стороны (условие сублинейного роста)<math>:</math> | Условие продолжимости в обе стороны (условие сублинейного роста)<math>:</math> | ||
\begin{equation*} | \begin{equation*} | ||
− | ||g(t,x) | + | ||g(t,x)|| \leq A||x|| + B; \ A,B = \text{const} > 0. |
\end{equation*} | \end{equation*} | ||
− | ''Замечание | + | ''Замечание.'' Из условия сублинейного роста следует продолжимость в обе стороны, поскольку |
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\langle g(t,x),x\rangle \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta. | \langle g(t,x),x\rangle \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta. | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | Как показать, что такие <math>\alpha, \beta </math> существуют? Положим <math>\alpha = A + 1, </math> тогда дискриминант <math>||x||^2 - B||x|| + \beta \geq </math> будет отрицательный, то есть это будет верно для всех <math>\beta. </math><br> | + | Как показать, что такие <math>\alpha, \beta </math> существуют? Положим <math>\alpha = A + 1, </math> тогда дискриминант <math>||x||^2 - B||x|| + \beta \geq 0 </math> будет отрицательный, то есть это будет верно для всех <math>\beta > 0. </math><br> |
− | '''Теорема 6.''' | + | '''Теорема 6.'''<br> |
− | ''Пусть выполнено условие ( | + | ''Пусть выполнено условие (5). Тогда решение <math>x(\cdot)</math> задачи Коши (\ref{syst}) продолжимо вправо.'' <br> |
''Доказательство.''<br> | ''Доказательство.''<br> | ||
Предположим противное. Тогда в силу предыдущей теоремы, <math>||x(t)|| </math> не ограничена. Рассмотрим <math>z(t) = ||x(t)||^2 = \langle x(t),x(t) \rangle. </math> | Предположим противное. Тогда в силу предыдущей теоремы, <math>||x(t)|| </math> не ограничена. Рассмотрим <math>z(t) = ||x(t)||^2 = \langle x(t),x(t) \rangle. </math> | ||
Строка 220: | Строка 257: | ||
\end{equation*} | \end{equation*} | ||
Значит, <math>z(t) </math> ограничена, следовательно, <math>||x|| </math> ограничена, а значит, продолжимость вправо есть.<br> | Значит, <math>z(t) </math> ограничена, следовательно, <math>||x|| </math> ограничена, а значит, продолжимость вправо есть.<br> | ||
− | Теорема доказана.<br> | + | Теорема доказана.<math>\blacksquare</math><br> |
− | Наконец можем заменить условие 3) в условия Каратеодори условием сублинейного роста, положив <math>m(t) = Ar + B </math> (<math>r- </math> из условий теоремы существования решения). | + | Наконец можем заменить условие 3) в условия Каратеодори условием сублинейного роста, положив <math>m(t) = Ar + B </math> (<math>r\ -</math> из условий теоремы существования решения). |
− | == Итоговые условия на <math>f(t,x,u) </math> | + | |
+ | == Итоговые условия на <math>f(t,x,u) </math> == | ||
+ | #<math>f(t,x,u) </math> определена на <math>\R \times \R^n \times \R^m </math> (или <math>[t_0, t_1]\times \R^n \times \R^m </math>); | ||
+ | #<math>f(t,x,u)</math> непрерывна по по <math>(t,x,u), \ u(\cdot)\ - </math> измерима; | ||
+ | #<math>||f(t,x'',u) - f(t,x',u)|| \leq L||x'' - x'||,L =\text{const}</math>; | ||
+ | #<math>||f(t,x,u)|| \leq A||x|| + B, \forall(t,x,u).</math> | ||
+ | Из них следуют соответствующие условия на <math>g(t,x):</math> | ||
+ | #<math>g(t,x)</math> определена п.в. <math>t \in \R</math> для всех <math>\forall x</math> (п.в <math>t \in [t_0,t_1]</math> для всех <math>\forall x</math>); | ||
+ | #<math>g(t,x) \ -</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>x</math>; <math>g(t,x)-</math> непрерывна по <math>x</math> для п.в. <math>\overset{.}{\forall}t \in \R(t \in [t_0, t_1]) </math>; | ||
+ | #<math>||g(t,x'') - g(t,x')|| \leq L(t)||x'' - x'||;</math> | ||
+ | #Условие продолжимости вправо (влево)<math>: \ \langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x, \alpha, \beta = \text{const} > 0 \ (-\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta ). </math> | ||
+ | |||
+ | == Список литературы== | ||
+ | [1] Лекции по курсу "Оптимальное управление". Лектор: Комаров Юрий, 2020/2021.<br> | ||
+ | [2] Богачёв, В.И., Смолянов О.Г. Действительный и функциональный анализ: университетский курс. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2009. — С. 188. — 724 с. <br> | ||
+ | [3] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с. |
Текущая версия на 21:59, 12 декабря 2021
Рассматривается система дифферинциальных уравнений\[\dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).\] Мы хотим понять, в каком смысле определять траекторию этой системы \(- \ x(\cdot)\), если управление \(- \ u(\cdot)\) измеримая функция.
Содержание
Условия Каратеодори
Введем обозначение $$ g(t,x) = f(t, x, u(t)).$$ Пусть \((t_0, x^0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \) и \(\exists a > 0, r > 0\) такие, что:
- Пусть \(g(t,x)\) определена для \(\forall x \in B_r(x_0)\) и почти всех \( t \in [t_0-a,t_0+a];\)
- \(g(t,x)\) измерима по \(t\) для \(\forall x \in B_r(x^0)\), \(g(t,x)\) непрерывна по \(x\) для \(\dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];\)
- \(\exists m(\cdot) \) интегрируема по Лебегу при \(t \in [t_0-a, t_0+a]\) такая, что:
\begin{equation*} ||g(t,x)|| \leq m(t), \forall x \in B_r(x^{0}), \dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a]. \end{equation*}
Эти три условия и называются условиями Каратеодори.
Абсолютно непрерывные функции
Мы бы хотели найти решение задачи Коши \begin{equation}\label{syst} \begin{cases} \dot x(t) = g(t, x(t)),\\ x(t_0) = x^0, \end{cases} \end{equation} в следующем классе функций:
- \( x(\cdot) \in C[t_0-a, t_0+a]; \)
- для почти всех \( \dot \forall t\) существует \( \exists \dot x \) и выполнено \( \dot x(t) = g(t, x(t))\).
Покажем, что условий Каратеодори самих по себе недостаточно для определения решения. Рассмотрим следующий пример \begin{equation*} \begin{cases} \dot x(t) = 0,\\ x(0) = 0. \end{cases} \end{equation*} Очевидно, что \(x \equiv 0\) является решением системы. Такое решение в рассматриваемом классе не единственно. Рассмотрим лестницу Кантора, она так же будет являться решением этой системы при наложенных ранее ограничениях.
Чтобы избежать неоднозначности из-за различных сингулярных частей в функции, наложим дополнительные ограничения на \( x \) :
$$ x(\cdot) $$ решение системы \(\Leftrightarrow \) для всех \(\forall t\) выполнено
\begin{equation*}
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} g(\tau, x(\tau)) \,d\tau. \\
\end{equation*}
Из курса функционального анализа [3] известно, что если \( z(\cdot) \) измерима, то для любого \( \varepsilon > 0\) существует \( \exists \delta(\varepsilon) > 0: \)
\begin{equation*}
\forall Z \text{ измеримого}: \mu (Z) \leq \delta \Rightarrow \int_{\tau \in Z} z(\tau) \,d\tau \leq \varepsilon,\\
\end{equation*}
что обозначает абсолютную непрерывность интеграла Лебега.
Тогда можем заменить условие 3) в условиях Каратеодори на следующие два:
3') \( \dot x \) интегрируема по Лебегу;
4) Для всех \( \forall t \in [t_0-a, t_0+a] \Rightarrow
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} \dot x(\tau) \,d\tau. \)
Введём следующие определения:
Определение 1. Функции, удовлетворяющие условиям 1), 2), 3'), 4) будем называть абсолютно непрерывными, а класс таких функций будем обозначать \( AC[t_0-a, t_0+a] \) (от англ. absolutely continuous).
В курсе математического анализа, это определение вводится по-другому.
Определение 1'. Будем говорить, что \( x(\cdot) \in AC[\tau_0, \tau_1],
\) если для любого \( \forall \varepsilon > 0 \) существует \( \exists \delta(\varepsilon) > 0: \)
\( \forall \tau_{1}^{'}, \) \( \dots, \tau_k^{'}, \tau_1^{''}, \dots, \tau_k^{''}\) таких, что
\begin{equation*}
\tau_0 \leq \tau_1^{'} < \tau_1^{''} \dots < \tau_k^{'} < \tau_k^{''} \leq \tau_1,
\end{equation*}
выполнено\[ \sum_{j=1}^{k}|\tau_j^{''}-\tau_j^{'}|<\delta \Rightarrow \sum_{j=1}^{k}||x(\tau_j^{''})-x(\tau_j^{'}) || \leq \varepsilon. \]
Так же из курса математического анализа известна эквивалентность этих определений, подробнее можно узнать в [3].
Замечание. Абсолютно непрерывные функции являются непрерывными и равномерно непрерывными, но при этом не обязаны быть дифференцируемыми. В качестве контрпримера можно рассмотреть одномерную функцию $$f(x) = |x|.$$
Так же известно, что
$$ \text{Lip}[\tau_0, \tau_1] \subset AC[\tau_0, \tau_1], $$
поскольку
\begin{equation*}
||x(\tau'')-x(\tau') || \leq L |\tau''-\tau'| \Rightarrow \delta(\varepsilon) = \frac{\varepsilon}{L}.
\end{equation*}
Данное вложение является строгим, пример: $$x(t) = t^{\alpha}, 0 < \alpha < 1.$$
С учетом этих определений сформулируем новое определение.
Определение 2. Решением системы на $$t_0-a \leq \tau_0 < \tau_1 \leq t_0+a, t_0 \in [\tau_0, \tau_1]$$ по Каратеодори называется функция $$x(\cdot),$$ удовлетворяющая следующим критериям:
- \( x(\cdot) \in AC[\tau_0,\tau_1];\)
- \(x(t_0) = x^{0}; \)
- для почти всех \( \dot \forall t \in (\tau_0, \tau_1) \Rightarrow \dot x(t) = g(t,x(t)). \)
Замечание. Лестница Кантора не является абсолютно непрерывной. Так как мера точек роста функции равна нулю, то можно найти для любого \( \delta>0 \) можно покрыть это множество непересекающимися отрезками. Поэтому для \( \varepsilon = \frac{1}{2} \), будет нарушено определение, так как рост на отрезке [0,1] лестницы Кантора равен \(1 > \frac{1}{2} \).
Существование решения по Каратеодори
Для доказательства основной теоремы о существовании нам потребуется сформулировать несколько вспомогательных теорем.
Теорема 1(Scorza Dragoni G., 1948). Пусть \( g(t,x) \)
измерима по $$t$$ для всех \( \forall x \in B_r(x^0)\) и непрерывна по \(x\) для почти всех \( \dot \forall t \in [\tau_0, \tau_1]. \)
Тогда $$\forall \varepsilon$$ $$ \Rightarrow \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K $$ компакт, такой что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon
\end{equation*}
и \( g(t,x) \) суженная на \( K\times B_r(x^0) \) непрерывна по \((t,x) \)
Теорема 2(Критерий измеримости Лузина). Функция \( z(t) \) измерима на \( t \in [\tau_0, \tau_1] \Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \ \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K \) компакт такой, что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon
\end{equation*}
и \(z(t) \) суженная на \( K \) непрерывна.
Доказательство. Можно найти в [3].
Замечание 3. Из теоремы Лузина следует, что для \( g(t,x)\)
существует \(K(x)\), а из теоремы 1 следует существование универсального \(K\)(на шаре).
Следствие 1.(Частный случай Scorza Dragoni) Если \( g(t,x)
\) измерима по \(t\) для всех \(\forall x \), непрерывна по \( x \) для почти всех \(\dot \forall t\),а \(x(\cdot)\) измерима, то функция \(g(t,x(t)) \) измерима по \( t. \)
Доказательство. Функция \(u(\cdot) \) измерима, следовательно, из критерия Лузина \(\forall \varepsilon > 0 \exists K \subseteq [t_0-h, t_0+h], K \) компакт\[\mu([\tau_0,\tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon \]
и \( u \) при сужении на \( K \) непрерывна.
Тогда
\begin{equation*}
z(\tau) = g(\tau, x^{(k)}(\tau)) = f(\tau, x^{(k)}(\tau),u(\tau))
\end{equation*}
непрерывна на \(K\), а значит, \( z(\cdot) \)
измерима.\(\blacksquare\)
Теперь можно сформулировать теорему о существовании решения.
Теорема 3(Существование решения исходной системы). Пусть \( 0 < h \leq a \) и
\begin{equation*}
\int_{t_0}^{t_0+h}m(\tau)d\tau \leq r, \int_{t_0-h}^{t_0}m(\tau)d\tau \leq r.
\end{equation*}
Тогда существует \( \exists x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h]
\) решение по Каратеодори исходной системы ДУ в смысле Каратеодори.
Доказательство. Выпишем следующую последовательность функций:
\begin{equation*}
x^{(0)}(t) \equiv x^{0},
\end{equation*}
\begin{equation*}
x^{(k+1)}(t) = x^{0}+\int_{t_0}^{t}g(\tau,x^{(k)}(k))d\tau.
\end{equation*}
Элементы этой последовательности определены корректно, поскольку \( g(\tau, x^{(k)}(\tau)) \) измеримы по \( \tau \) в силу следствия 1, ограничены интегрируемой функцией \( m(t) \) (по условию теоремы) и, следовательно, интегрируем по Лебегу. При этом \( x^{(k)}(\cdot) \in C \Rightarrow x^{(k)}(\cdot) \in AC \).
Для того, чтобы воспользоваться теоремой Арцела-Асколи, нам необходимо показать равностепенную непрерывность и равномерную ограниченность последовательности.
Равномерная ограниченность (при $$t \geq t_0,$$ для $$t \leq t_0$$) аналогично)\[ ||x^{(k+1)}(t)-x^{0}|| \leq \int_{t_0}^{t}||g(\tau,x^{(k)}(\tau))||d\tau \leq \int_{t_0}^{t}m(\tau) d\tau \leq r.\] Покажем равностепенную непрерывность\[ \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta(\varepsilon) > 0: \ \forall t', t'' \in [t_0-h,t_0+h], \ t'\leq t'': |t'-t''|\leq \delta\] \begin{equation*} \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow ||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||\leq \varepsilon? \end{equation*} Для нашей последовательности \begin{equation*} ||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||= || \int_{t'}^{t''}g(s, x^{(n-1)}(s))ds||\leq \int_{t'}^{t''}m(s)ds \leq \varepsilon \end{equation*} в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега. Тогда последовательность непрерывных функций \( x^{(k)}(\cdot) \) равностепенно непрерывно и равномерно ограничено и, в силу теоремы Арцела-Асколи, \( x^{(k)} \rightrightarrows x(\cdot). \) При этом \begin{equation*} || x^{(k)}(\cdot)-x(\cdot)||_C = \max_{t\in [t_0-h,t_0+h]}|| x^{(k)}(t)-x(t)||, \end{equation*} то есть сходимость в С аналогична равномерной сходимости, и \( x(\cdot) \in C[t_0-h, t_0+h].\) Наконец, переходим к пределу в итеративной последовательности\[ x(t) = x^{0} + \int_{t_0}^{t}g(s,x(s))ds, x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h].\] Теорема доказана.\(\blacksquare\)
Единственность решения
Для единственности решения мы обычно требуем липшицевость по \( x \text{:} \)\[ || g(t,x'' - g(t,x'))|| \leq L(t)||x'' - x'|| \]
Где \(L(t) -\) интегрируема по Лебегу.
Ослабив это условие, добавим его к списку условий Каратеодори 1)-3):
\( 4) \ \ \forall x', x'' \ \ \exists L(t) - \) интегрируема по Лебегу\[ \langle g(t,x'') - g(t,x'), x'' - x' \rangle \leq L(t)||x'' - x' ||.\]
Нетрудно показать что всякая липшицевая по \(x\) функция удовлетворяет этому условию в силу неравенства Коши-Буняковсвого-Шварца.
Теорема 4 (Теорема о единственности решения по Каратеодори).
Пусть выполнены условия Каратеодори 1),2),3) а так же 4). Тогда решение по Каратеодори задачи Коши единственно.
Доказательтво:
Предположим противное. Пусть \(x'(t)\) и \(x''(t) - \) два различных решения задачи Коши на \([t_{0}, t_{0} + h]\). Рассмотрим вспомогательную функцию\[z(t) = ||x''(t) - x'(t)||^{2} = \langle x''(t) - x'(t),x''(t) - x'(t) \rangle.\]
Она дифференцируема почти всюду, и для п.в. \(t\)\[ \frac{dz}{dt} = 2 \langle g(t,x''),g(t,x'),x''(t) - x'(t) \rangle \leq 2L(t)z(t).\]
При этом \(z(t_{0}) = 0 \ \ \)(из определения \( z\)). Тогда неравенство\[ \frac{dz}{dt} - 2L(t)z(t) \leq 0\]
домножим на \( \exp \{\int_{t_{0}}^{t} L(\xi)d\xi \}:\)\[ \frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi}) \leq 0 \]
для п.в. \(t\) (верно там, где она дифференцируема). Проинтегрировав получаем\[ 0 \leq z(t) e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi} \leq 0. \]
Левое неравенство достигается в силу определения \(z\), а правое следует из того факта, что производная отрицательная, а значит \(z(t_{0}) = 0.\) Тогда в обоих случаях достигаются равенства, и функции совпадают.
Теорема доказана. \(\blacksquare\)
Продолжимость решения
В случае с решением по Каратеодори также возникает вопрос продожимости решения вправо. В условиях Каратеодори есть ограниченность интегрируемой функции, в теореме о существовании решении мы ограничили интеграл от этой функции \(m(\cdot)\) значением \(r\). Разве этого не достаточно? Оказывается, нет.
Мы рассматриваем систему на отрезке времени \( [t_{0} - a, t_{0} + a]. \) Зафиксируем \(h_{1} < a\) и проинтегрируем исходную систему на \( [t_{0}, t_{0} + h_{1}]. \) При этом \(||x(t_{0}) - x^{0}| < r_{1}.\) Переобозначим полученное значение в точке \( \xi_1 = x(t_{0} + h_{1}) \) и запишем новую задачу Коши\[
\begin{cases}
\dot{x}(t) = g(t,x(t)),\\
x(t_{0} + h_{1}) = \xi^{1}
\end{cases}
\]
Таким образом, мы продвинулись на \(h_{1}\) вправо по времени.
Далее аналогичным образом выберем \(h_{2},h_{3} \) и т.д. Для каждой получившейся задачи Коши мы можем взять новую \( m(\cdot) \) и варьировать соответствующее ей значение \(r\), устремляя таким образом \(h \rightarrow a\) и \( h \rightarrow +\infty\). При этом \(r\) не будет ограничено, если \( h_{1} + h_{2} + \ldots < a. \)
Пример 1.
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot{x}(t) = (x(t))^{2}\\
x(t) = 1
\end{cases}
\end{equation*}
Проинтегрировав систему:
\begin{equation*}
\int \frac{dx}{x^{2}} = \int dt
\end{equation*}
получим решение \( x(t) = \frac{1}{1 - t} \), неограниченно растущее в окрестности \(t = 1\).
Покажем, что непродолжимость решения может возникать только в случае неограниченного роста функции. Введем обозначения:
\begin{equation}
\overline{\tau} = \sup \{ \tau \in (t_{0}, t_{0} + a): \exists x(\cdot) - \text{ при } t \in [t_{0}, \tau]\},
\end{equation}
\begin{equation}
\underline{\tau}= \inf \{ \tau \in (t_{0} - a, t_{0}): \exists x(\cdot) - \text{ при } t \in [\tau,t_{0}]\}.
\end{equation}
Где \(x(\cdot)\) решение задачи Коши (\ref{syst}). Введенные обозначения корректны, поскольку множества непусты в силу существования решения и его ограниченности на отрезке (функции непрерывны).
Теорема 5.
Пусть \(\overline{\tau} < t_0 + a \ (\underline{\tau} > t_0 - a). \) Тогда для \(\forall r > 0 \ \exists \tau \in (t_0, \overline{\tau}) (\tau \in (\underline{\tau}, t_0)) \) такое, что \( ||x(\tau) - x^0|| = r.\)
Доказательство.
Предположим противное. Пусть \(\exists \overline{r} > 0: \forall \tau \in (t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow ||x(\tau) - x^0|| < \overline{r}. \)
Пусть \(\Delta > 0, r = \overline{r} + \Delta,\) тогда \(\forall t \in [t_0, \overline{\tau}) \) верно
\begin{equation*}
B_\Delta (x(t)) \subseteq B_r(x^0).
\end{equation*}
Возьмем \(\delta = t_0 + a - \overline{\tau} > 0. \) Тогда \(\overline{\tau} + \delta < t_0 + a. \)
Для любого \(\forall \tau \in [t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow [\tau - \delta, \tau + \delta]\times B_\Delta(x(\tau)) \subseteq [t_0 - a, t_0 + a]\times B_r(x^0). \)
Существует \(\exists h > 0, h < \delta: \int_{\tau}^{\tau+h}m(s)ds \leq \Delta. \) При этом получается, что \(h \ -\) не зависит от \(\tau\) (в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега). То есть мы нашли универсальный шаг, на который можем продвигаться при построении решения\(:\) \(h \ - \) универсально для всех \(\tau \in [t_0, \overline{\tau}),\) то есть мы можем проинтегрировать \(x(\cdot) \) до момента \(\tau + h \) для любого \(\tau. \) По определению \(\overline{\tau} \ - \) это супремум всех моментов времени, когда существует решение. Из определения супремума \(: \exists \tau: \overline{\tau} - \tau < h/2. \) Для этого \(\tau \) проинтегрируем систему до \(\tau + h. \) Но тогда получается, что \(\tau + h > \overline{\tau}, \) что приводит нас к противоречию.
Теорема доказана.\(\blacksquare\)
Отбросим теперь в условиях Каратеодори условие с \(a\) и заменим отрезок времени на \([t_0,t_1] \) либо \(\R \) (в 1) и 2)) и добавим условие продолжимости вправо(влево).
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x;\alpha,\beta = \text{const} >0
\end{equation}
\begin{equation*}
(-\langle g(t,x),x \rangle \leq \alpha||x||^2 + \beta).
\end{equation*}
Условие продолжимости в обе стороны (условие сублинейного роста)\(:\)
\begin{equation*}
||g(t,x)|| \leq A||x|| + B; \ A,B = \text{const} > 0.
\end{equation*}
Замечание. Из условия сублинейного роста следует продолжимость в обе стороны, поскольку
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta.
\end{equation}
Как показать, что такие \(\alpha, \beta \) существуют? Положим \(\alpha = A + 1, \) тогда дискриминант \(||x||^2 - B||x|| + \beta \geq 0 \) будет отрицательный, то есть это будет верно для всех \(\beta > 0. \)
Теорема 6.
Пусть выполнено условие (5). Тогда решение \(x(\cdot)\) задачи Коши (\ref{syst}) продолжимо вправо.
Доказательство.
Предположим противное. Тогда в силу предыдущей теоремы, \(||x(t)|| \) не ограничена. Рассмотрим \(z(t) = ||x(t)||^2 = \langle x(t),x(t) \rangle. \)
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} = 2\langle g(t,x(t)),x(t) \rangle \leq 2\alpha z(t) + 2\beta,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} - 2\alpha z \leq 2\beta.
\end{equation*}
Домножим на \(exp\{-2\alpha t \}: \)
\begin{equation*}
\frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\alpha t}) \leq \beta e^{-2\alpha} \Rightarrow z(t)e^{-2\alpha t} - z(t_0)e^{-2\alpha t_0} \leq \int_{t_0}^{t}2\beta e^{-2\alpha s}ds \Rightarrow 0 \leq z(t) \leq z(t_0)e^{-2\alpha t_0} + \int_{t_0}^{t}2\beta
e^{-2\alpha s}ds.
\end{equation*}
Значит, \(z(t) \) ограничена, следовательно, \(||x|| \) ограничена, а значит, продолжимость вправо есть.
Теорема доказана.\(\blacksquare\)
Наконец можем заменить условие 3) в условия Каратеодори условием сублинейного роста, положив \(m(t) = Ar + B \) (\(r\ -\) из условий теоремы существования решения).
Итоговые условия на \(f(t,x,u) \)
- \(f(t,x,u) \) определена на \(\R \times \R^n \times \R^m \) (или \([t_0, t_1]\times \R^n \times \R^m \));
- \(f(t,x,u)\) непрерывна по по \((t,x,u), \ u(\cdot)\ - \) измерима;
- \(||f(t,x'',u) - f(t,x',u)|| \leq L||x'' - x'||,L =\text{const}\);
- \(||f(t,x,u)|| \leq A||x|| + B, \forall(t,x,u).\)
Из них следуют соответствующие условия на \(g(t,x):\)
- \(g(t,x)\) определена п.в. \(t \in \R\) для всех \(\forall x\) (п.в \(t \in [t_0,t_1]\) для всех \(\forall x\));
- \(g(t,x) \ -\) измерима по \(t\) для всех \(x\); \(g(t,x)-\) непрерывна по \(x\) для п.в. \(\overset{.}{\forall}t \in \R(t \in [t_0, t_1]) \);
- \(||g(t,x'') - g(t,x')|| \leq L(t)||x'' - x'||;\)
- Условие продолжимости вправо (влево)\(: \ \langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x, \alpha, \beta = \text{const} > 0 \ (-\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta ). \)
Список литературы
[1] Лекции по курсу "Оптимальное управление". Лектор: Комаров Юрий, 2020/2021.
[2] Богачёв, В.И., Смолянов О.Г. Действительный и функциональный анализ: университетский курс. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2009. — С. 188. — 724 с.
[3] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.