Задача о тележке

Постановка задачи

Рассмотрим задачу движение тележки.

В движение тележку приводит тяга двигателя \(F_{\textbf{вн}}\),ей будет препятствовать вязкое трение \(F_{\textbf{тр}}= -k \dot{x}\) и сопротивление среды \(F_{сопр}=-d\dot{x}^2\).
По второму закону Ньютона:

$$ m \ddot{x} = -k \dot{x} - d \dot{x}^2+F_{\textbf{вн}}$$ $$ \ddot{x} = - \dfrac{k}{m} \dot{x} - \dfrac{d}{m} \dot{x}^2+\dfrac{F_{\textbf{вн}}}{m}$$

Обозначая $$ \dfrac{k}{m} = u_1 \in [u_1^{min},u_1^{max}], \frac{d}{m} = u_2 \in [u_2^{min},u_2^{max}],\dfrac{F_{\textbf{вн}}}{m} = u_3 \in [0,u_3^{max}]$$, и приводя к нормальному виду

$$x_1 = x, x_2 = \dot{x} $$,

получим следующую систему:

$$ \begin{equation} \dot{x}_1 = x_2, \\ \dot{x}_2= -(u_1x_2+u_2x_2^2)+u^3\\ \quad u_1 \in [u_1^{min}, u_1^{max}],\quad 0<u_1^{min}<u_1^{max}\\ \quad u_2 \in [u_2^{min}, u_2^{max}],\quad 0<u_2^{min}<u_2^{max} \\ \quad u_3 \in [0,u_3^{max}],\quad 0 < u_3^{max} \end{equation} $$

Добавляем граничные условия:

$$ t_0 = 0, \\ x_1(0) = x_2(0) = 0,\\ t_1= T\\ x_1(T) = L\\ x_2(t) = \varepsilon $$

Наша цель минимизировать функционал:

$$ J = \int\limits_0^T u_3(t)dt \rightarrow \inf\limits_{u(\cdot)} $$

То есть мы хотим минимизировать наши усилия при этом передвинув тележку из точки 0 в точку с координатой L.
Как итог получаем систему:

$$ \dot{x}_1 = x_2, \\ \dot{x}_2= -(u_1x_2+u_2x_2^2)+u_3\\ \quad u_1 \in [u_1^{min}, u_1^{max}],\quad 0<u_1^{min}<u_1^{max}\\ \quad u_2 \in [u_2^{min}, u_2^{max}],\quad 0<u_2^{min}<u_2^{max} \\ \quad u_3 \in [0,u_3^{max}],\quad 0 < u_3^{max} \\ \quad t_0 = 0, \quad x_1(0) = x_2(0) = 0 \\ \quad t_1 = T > 0, \quad x_1(T) = L, \quad x_2(T) = \varepsilon >0, \quad L > T \varepsilon \\ J = \int\limits_0^T u_3(t)dt \rightarrow \inf\limits_{u(\cdot)} $$

Принцип максимума Понтрягина

Выпишем ПМП(Принцип максимума Понтрягина) для рассматриваемой задачи.
Первым шагом сделаем замену переменных:

\( x_0 = \int\limits_0^T u_3(t)dt \rightarrow \inf\limits_{u(\cdot)} \)

Тогда наша система примет вид:

\( \begin{cases} \dot{x}_0 = u_3,\\ \dot{x}_1 = x_2, \\ \dot{x}_2= -(u_1x_2+u_2x_2^2)+u_3\\ \end{cases} \)

Функция Гамильтона $$-$$ Понтрягина примет вид:

\( \mathscr{H} = \psi_0u_3 + \psi_1x_2 + \psi_2(u_3 - u_1x_2-u_2x_2^2) \)

Учитывая все вышесказанное, ПМП примет вид: Пусть $$ \{ x^*(\cdot), u^*(\cdot) \}$$ $$-$$ оптимальная пара.
Тогда $$ \exists \tilde{\psi}:[t_0^*,t_1^*] \rightarrow \mathcal{R}^{n+1}$$ такая что:
(УН) $$\quad 1) \quad \psi^*(t) \neq 0 , \quad t \in [0,T], $$
(CC) $$ \quad 2)$$

\( \begin{cases} \dot{\psi}_0^* = - \dfrac{\partial \mathscr{H}}{\partial x_0} = 0\\ \dot{\psi}_1^* = - \dfrac{\partial \mathscr{H}}{\partial x_1} = 0\\ \dot{\psi}_2^* = - \dfrac{\partial \mathscr{H}}{\partial x_2} = - \psi_1^{0,*}+ \psi_2^*(u_1^*+2u_2^*x_2^*)\\ \end{cases} \)

(УМ) $$ \quad 3) \quad\mathscr{H}(\tilde{\psi}^*(t),\tilde{x}^*(t),\tilde{u}^*(t)) = \sup \limits_{u} \mathscr{H}(\tilde{\psi}^*(t),\tilde{x}^*(t),u)$$ для п.в. $$ t \in [0,T]$$
$$ \quad \quad \quad 4) $$

\( \psi_0^*(\cdot) \equiv const \leq 0,\\ \mathscr{M}(\tilde{\psi}^*(t),\tilde{x}^*(t)) \equiv const = 0 \)

Из УМ(Условие максимума) получаем:

\( u_1^* = \begin{cases} u_1^{min}, & \psi_2x_2 >0 \\ [u_1^{min},u_1^{max}], & \psi_2x_2 = 0 \\ u_1^{max},& \psi_2x_2 <0 \end{cases} \)

\( u_2^* = \begin{cases} u_2^{min}, & \psi_2 >0, x_2 \neq 0\\ [u_2^{min},u_2^{max}], & \psi_2 x_2 = 0\\ u_2^{max}, & \psi_2 <0 ,x_2 \neq 0 \end{cases} \)

\( u_3^* = \begin{cases} u_3^{max}, & \psi_0^0+\psi_2 >0 \\ [0,u_3^{max}], & \psi_0^0+\psi_2 = 0\\ u_2^{max}, & \psi_0^0+\psi_2 < 0 \end{cases} \)

Нормальный случай

Пусть $$\psi_0 \equiv \psi_0^0<0 $$,положим $$\psi_0 = -1 $$. Тогда из (УМ):

\( u_3^* = \begin{cases} u_3^{max}, & \psi_2 > 1\\ [0,u_3^{max}], & \psi_2 = 1 \\ 0 , & \psi_2 <1 \end{cases} \)

Движение при $$\psi_2^0>1$$

Движение в окрестности нуля

Начало движение из нуля, мы начнем разгоняться и в какой то довольно маленькой окрестности $$ u_3^* = u_3^{max}$$
В этой окрестности:

\( \dot{x}_2 = u_3^{max} - (u_1 + u_2x_2)x_2 \)

В этой малой окрестности $$x_2 \approx 0, u_3^{max}>0 ,$$ то есть $$\dot{x}_2 > 0 .$$
В начале будет происходить ускорение и вся динамика будет описываться:

\( \begin{cases} \dot{x}_1 = x_2 \\ \dot{x}_2 = u_3^{max} - (u_1^{min}+ u_2^{min}x_2)x_2 \\ \dot{\psi}_1 = 0\\ \dot{\psi}_2 = - \psi_1 +\psi_2(u_1^{min}+2u_2^{min}x_2) \end{cases} \)

с начальными условиями:

\( \begin{cases} x_2(0) = 0 \\ \psi_2(0) = \psi_2^0 >1 \\ \end{cases} \)

В этой системе нас будут интересовать второе и четвёртое уравнение, поскольку только значения $$x_2$$ и $$\psi_2$$ влияют на выбранное управление, соответственно, могут привести к переключению. До тех пор, пока переключение не произошло, движение описываться указанной системой. Понимая это, начальные условия на $$x_1$$ и $$\psi_1$$ мы сразу опустили.
Тогда система примет вид:

\( \begin{cases} \dot{x}_2 = u_3^{max} - (u_1^{min}+ u_2^{min}x_2)x_2 \\ \dot{\psi}_2 = - \psi_1 +\psi_2(u_1^{min}+2u_2^{min}x_2) \end{cases} \)

Посмотрим как будут вести себя траектории, на картинке схематично изображены варианты траекторий:

Рассмотрим 2-ую траекторию

Хотим доказать невозможность такой траектории. Ищем особые точки для $$x_2$$:

\( \dot{x}_2 = 0 \Leftrightarrow u_2^{min}x_2^2+u_1^{min}x_2-u_3^{max} = 0 \)

\( x_2 = \dfrac{-u_1^{min} \pm \sqrt{D}}{2u_2^{min}} \)

Таким образом в $$ x_2^+$$ находится аттрактор к которому будут стремится траектории системы. Следовательно вторая траектория невозможна.

Рассмотрим 3-ую траекторию

Докажем, что такой вид траектории также невозможен.
Пусть $$ \dot{\psi}_2 > 0$$ из уравнения :

\( \dot{\psi}_2 = - \psi_1^0 + \psi_2 u_1^{min} \)

Такое возможно при:

\( \psi_1^0 < \psi_2u_1^{min} \)

Поскольку $$\psi_2$$ возрастает по нашему предположению, тогда наше условие будет выполнено всегда, если:

\( \psi_1^0 < \psi_2^0u_1^{min} \)

Следовательно $$ x_2$$ и $$\psi_2$$ бесконечно возрастает. Следовательно $$x_2(T) = \varepsilon$$ не выполняется.
противоречие.

Рассмотрим 1-ую траекторию

Таким образом имеет смысл рассматриваем пары $$(\psi_1^0,\psi_2^0)$$ и $$\exists \tau \quad \psi_2(\tau) = 1 $$, то есть имеет место переключение.

Особый режим после $$\tau_1 $$

Режим будет особый, если $$t \in [\tau_1,\tau_1 + \delta)$$ выполнялось $$\psi_2(t) = 1$$
Тогда получаем:
$$ \dot{\psi}_2(t) = 0 \Rightarrow -\psi_1^0+\psi_2(t)(u_1^{min}+2u_2^{min}x_2) = -\psi_1^0+1(u_1^{min}+2u_2^{min}x_2) = 0$$
Что эквивалентно:

\( x_2 = \dfrac{\psi_1^0-u_1^{min}}{2u_2^{min}} \)

Из $$x_2>0 $$ получаем ограничение $$ \psi_1^0 - u_1^{min} > 0.$$ Если это условие не выполнено, особый режим невозможен. Попадая в особый режим, получаем:

\( 0 = u_3-(u_1^{min}+u_2^{min}x_2^{oc})x_2^{ос} = \{\textbf{по определению}\} = x_2^{ос} \)

Из чего следует:

\( u_3^{ос}=(u_1^{min}+u_2^{min}x_2^{oc})x_2^{ос} \)

Движение непосредственно после особого режима

Рассмотрим движение непосредственно после выхода из особого режима, пусть $$\tau_2$$ - выход из особого режима:

• $$u_3(\tau_2 + 0)> u_3^{ос}$$. В этом случаи $$\psi_2(t)>1 \Rightarrow u_3 = u_3^{max} \Rightarrow x_2 \uparrow, \psi_2 \uparrow \Rightarrow$$ не сможем вернуться в $$ x_2 = \varepsilon$$(тоже так же как для 3 траектории)
• $$u_3(\tau_2 + 0) < u_3^{ос} \Rightarrow \psi_2(t)<1 \Rightarrow u_3^*=0, x_2 \downarrow, \psi_2 \downarrow $$

Движение при $$t> \tau_2 $$

Как мы выяснили $$u_3^* =0$$ из чего наша система принимает вид:

\( \begin{cases} \dot{x}_2 = -(u_1^{min} +u_2^{min}x_2)x_2\\ \dot{\psi}_2 = -\psi_1 + \psi_2(u_1^{min}+2u_2^{min}x_2) \end{cases} \)

Начальное условие для этого участка движения выглядит следующим образом:

\( \begin{cases} x_2(\tau_1) = x_2(\tau_2)=\varepsilon\\ \psi_2(\tau_2)=1 \end{cases} \)

Переключение по $$x_2$$

Пусть $$ \exists \tau_3 >\tau_2: x_2(\tau_3) = 0.$$ Решая задачу в обратном порядке, получаем:

\( \begin{cases} \dot{x}_2 = -(u_1^{min}+u_2^{min}x_2)x_2\\ x_2(\tau_3) = 0 \end{cases} \)

в силу единственности задачи Коши получаем единственную траекторию $$ x \equiv 0 $$, что противоречит $$x_2(\tau_2)$$

Переключение по $$\psi_2$$

Пусть $$ \exists \tau_3 :\psi_2(\tau_3)=0$$ - время переключение определяется в силу единственности решения задачи Коши.
Если $$\psi_2 \neq 0 \forall t \in[0,T) $$, полагаем $$\tau_3=T $$
После указанного переключения $$u_3^*=0$$
Проверяем на особый режим. Если он возможен:

\( 0 = \dot{\psi}_2 = - \psi_1^0 + \psi_2(u_1+2u_2x_2)= -\psi_1^0 \)

Но по условию из первого подключения

\( \psi_1^0 = u_1^{min}+2u_2^{min}x_2(\tau_1)>0 \)

Получили противоречие. Особого режима нету.
В окресности $$\psi_2 = 0 $$

\( \dot{\psi}_2= -\psi_1^0+\psi_2(u_1+2u_2x_2)<0 \)

В достаточно малой окрестности первое слагаемое отрицательно, а второе приблизительно равно нулю.
Следовательно при $$\psi_2=0$$ траектория пойдет вниз, произойдет переключение по все компонентам.

\( \begin{cases} u_1^*=u_1^{max},\\ u_2^*=u_2^{max},\\ u_3^* = 0 \end{cases} \)

Мы начинаем тормозить.
При этом система приобретает вид:

\( \begin{cases} \dot{x}_2 = -(u_1^{max}+u_2^{max}x_2)x_2\\ \dot{\psi}_2= -\psi_1^0 + \psi_2(u_1^{max}+2u_2^{max}x_2) \end{cases} \)

Без особого режима после $$\tau_1 $$

Движение на $$t >\tau_1 $$ определятся системой:

\( \begin{cases} \dot{x}_2 = u_3-(u_1^{min}+u_2^{min}x_2)x_2\\ \dot{\psi}_2 = - \psi_1^0+\psi_2(u_1^{min}+2u_2^{min}x_2)\\ x_2(\tau_1)=\varepsilon_2\\ \psi_2(\tau_1)=1 \end{cases} \)

Учитывая что у нас нету особого режима нет и $$\psi_2 $$ - непрерывна

\( \dot{\psi}_2(\tau_1) = - \psi_1^0+1(u_1^{min}+2u_2^{min}x_2)<0 \)

Что означает что происходит обычное переключение $$u_3^*=0 $$ при $$t>\tau_1 $$ В итоге имеем систему дифференциальных уравнений:

\( \begin{cases} \dot{x}_2 = -(u_1^{min}+u_2^{min}x_2)x_2\\ \dot{\psi}_2 = -\psi_1^0+\psi_2(u_1^{min}+2u_2^{min}x_2)\\ x_2(\tau_1)= \varepsilon_2\\ \psi_2(\tau_1)=1 \end{cases} \)

Движение при $$\psi_2^0<1$$

Выпишем ОДУ для движение тележки, поскольку в силу (УМ) $$u_3^*(0+)=0 $$

\( \begin{cases} \dot{x}_1=x_2 \\ \dot{x}_2 = -(u_1+u_2x_2)x_2 \\ \dot{\psi}_1 = 0 \\ \dot{\psi}_2 = -\psi_1^0+\psi_2(u_1+2u_2x_2)\\ x_2(0)=0 \\ \end{cases} \)

В силу единственности, для этой системы $$x_2 \equiv 0 $$ $$-$$ единственное решение.
Следовательно, движение $$\tau_{\textbf{нач}} $$ начнется тогда, когда $$u_3>0 $$, то есть будет $$\psi_2 \geq 1 $$ учитывая непрерывность :

\( \psi_2(\tau_\textbf{нач})=1, \quad \psi_2(t) > 1 \quad t \in (\tau_\textbf{нач},\tau_\textbf{нач} +\delta) \)

В этот момент произойдёт переключение по остальным компонентам управления, и начнётся движение:

\( u_1^* = u_1^{max},u_2^* = u_1^{min} \quad t > \tau_{\textbf{нач}} \)

Из рассмотренного случая при $$\psi_2>1$$, имеем ровно одно переключение. То есть , если $$x_2(t) > \varepsilon$$ - то не будет достигнуто краевое условие, из единственности решения задачи Коши.

Учитывая начальное условие:

\( L > T \varepsilon \)

Площадь криволинейной трапеции меньше площади прямоугольника:

\( L = \int\limits_0^T x_2(\tau) d \tau \leq \varepsilon (T - \tau_{\textbf{нач}}) <T \varepsilon \)

Случай невозможен. Получили противоречие с краевыми условиями.

Движение при $$\psi_2^0=1$$

Данный случай полностью повторяет предыдущий пункт, однако теперь возможен вариант $$\tau_{\textbf{нач}} = 0$$.
Так или иначе, условие $$L > T \varepsilon $$ всё ещё делает этот случай невозможным.

Анормальный случай

\( \psi_0 =0 \)

Отличие в $$u_2^*$$:

\( u_3^*= \begin{cases} u_3^{max}, & \psi_2>0 \\ [0,u_3^{max}], & \psi_2=0 \\ 0, & \psi_2<0 \end{cases} \)

Остальные компоненты управления остаются такими же\[ u_1^*= \begin{cases} u_1^{min}, & \psi_2x_2>0 \\ [u_1^{min},u_1^{max}], & \psi_2x_2=0 \\ u_1^{max}, & \psi_2x_2<0 \end{cases} u_2^*= \begin{cases} u_2^{min}, & \psi_2>0,x_2 \neq 0 \\ [u_2^{min},u_2^{max}], & \psi_2x_2=0 \\ u_2^{max}, & \psi_2<0,x_2 \neq 0 \end{cases} \] Пусть $$ \psi_2^0 >0$$. Предположим что при переходе через $$\psi_2=0 $$ возможен особый режим

\( 0 = \dot{\psi}_2 = - \psi_1^0 + 0\cdot (...) \Rightarrow \psi_1^0=0 \Rightarrow (\psi_0,\psi_1,\psi_2)=0 \)

Это происходит на отрезке ненулевой меры , получаем противоречие (УН).
То есть особый режим невозможен, происходит простое переключение по всем трем компонентам.
Перепараметризуем, переходим к параметру $$\tau_1: \psi_2(\tau_1) = 0.$$
Поскольку при этом $$\psi(\tau_1) \neq 0$$, то $$\psi_1(\tau_1) \neq 0$$.
Нормируем начальный момент времени: $$\psi_1(\tau_1) =1 $$
Случай $$\psi_1(\tau_1) = -1 $$ исключаем, по доказанному ранее это влечёт $$\psi_2 \uparrow$$ и торможения не будет.
Зафиксировав $$\psi_0^0, \psi_1^0 $$ и перейдя к перебору по $$ \tau_1$$, получаем однопараметрическое семейство решений.