Ряд Фурье: различия между версиями
Igor (обсуждение | вклад) |
Igor (обсуждение | вклад) |
||
(не показаны 4 промежуточные версии этого же участника) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
− | На протяжении всей своей истории человечество стремилось придумать способ, как приближать функции на отрезке какими-то хорошими функциями с известными и приятными свойствами, легко поддающимися анализу. Одно из решений проблемы придумал [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5,_%D0%96%D0%B0%D0%BD-%D0%91%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%81%D1%82_%D0%96%D0%BE%D0%B7%D0%B5%D1%84 Жан-Батист Фурье], когда решал уравнение теплопроводности. Здесь изложены самые общие сведения о | + | На протяжении всей своей истории человечество стремилось придумать способ, как приближать функции на отрезке какими-то хорошими функциями с известными и приятными свойствами, легко поддающимися анализу. Одно из решений проблемы придумал [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5,_%D0%96%D0%B0%D0%BD-%D0%91%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%81%D1%82_%D0%96%D0%BE%D0%B7%D0%B5%D1%84 Жан-Батист Фурье], когда решал уравнение теплопроводности. Здесь изложены самые общие сведения о рядах Фурье. |
− | == | + | == Тригонометрический ряд Фурье == |
[[File:Fourier series and transform.gif|frame|right|Наглядная иллюстрация принципа работы тригонометрического ряда Фурье.]] | [[File:Fourier series and transform.gif|frame|right|Наглядная иллюстрация принципа работы тригонометрического ряда Фурье.]] | ||
Строка 20: | Строка 20: | ||
'''Достаточные условия Дирихле:''' пусть $$f(\cdot)$$ имеет на $$[-\pi, \pi]$$ | '''Достаточные условия Дирихле:''' пусть $$f(\cdot)$$ имеет на $$[-\pi, \pi]$$ | ||
* конечное число локальных экстремумов, | * конечное число локальных экстремумов, | ||
− | * не более счетное число разрывов I рода | + | * не более счетное число разрывов I рода. |
Тогда в любой точке на отрезке $$[-\pi, \pi]$$ ряд сходится поточечно к $$\frac{1}{2}\bigl( f(x+0) + f(x-0) \bigr)$$. | Тогда в любой точке на отрезке $$[-\pi, \pi]$$ ряд сходится поточечно к $$\frac{1}{2}\bigl( f(x+0) + f(x-0) \bigr)$$. | ||
+ | |||
+ | Также представляет интерес и '''равномерная сходимость рада Фурье'''. Если | ||
+ | * $$f'(x)$$ существует и кусочно-непрерывна на $$[-\pi, \pi]$$, | ||
+ | * $$f(-\pi) = f(\pi)$$. | ||
+ | Тогда тригонометрический ряд Фурье сходится равномерно и абсолютно. | ||
+ | |||
+ | Обобщением данной теоремы можно считать теорему о '''почленном дифференцировании рядя Фурье'''. Пусть | ||
+ | * $$f(x)$$ и ее производные до порядка $$m$$ включительно непрерывны на $$[-\pi, \pi]$$, | ||
+ | * $$f^{(i)}(-\pi) = f^{(i)}(\pi), \quad i = \overline{0,m}$$, | ||
+ | * $$f^{(m + 1)}$$ кусочно-непрервына на $$[-\pi, \pi]$$. | ||
+ | Тогда тригонометрический ряд Фурье можно $$m$$ раз почленно дифференцировать на $$[-\pi, \pi]$$. | ||
== Комплексная форма записи == | == Комплексная форма записи == | ||
Строка 53: | Строка 64: | ||
* $$k$$ — их частота, | * $$k$$ — их частота, | ||
* $$\arg c_k$$ — начальная фаза. | * $$\arg c_k$$ — начальная фаза. | ||
+ | |||
+ | == Ряд Фурье в гильбертовом пространстве == | ||
+ | |||
+ | Идею разложения функции в ряд можно обобщить. Рассмотрим [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE гильбертово пространство] $$H$$ и в нем ортогональная система $$\{ \varphi_1,\ldots,\varphi_n \}$$. Хотим представить любой элемент пространства в виде: | ||
+ | \[ | ||
+ | f = \sum\limits_{n=1}^\infty c_n \varphi_n. | ||
+ | \] | ||
+ | Домножая скалярно ряд на $$\varphi_k$$ и используя условие ортогональности, получаем следующее выражение для коэффициентов ряда: | ||
+ | \[ | ||
+ | c_k = \frac{\left< f, \varphi_k \right>}{\| \varphi_k \|^2}. | ||
+ | \] | ||
+ | Ряд с такими коэффициентами называется '''рядом Фурье''' элемента $$f$$ по ортогональной системе $$\{ \varphi_1,\ldots,\varphi_n \}$$. | ||
+ | Данный ряд всегда сходится для ортогональной системы, но его сумма может быть не равна $$f$$. | ||
+ | Однако всегда справедливо '''неравенство Бесселя''': | ||
+ | \[ | ||
+ | \sum\limits_{n=1}^\infty c_n^2 \leqslant \|f\|^2. | ||
+ | \] | ||
+ | Если система является ''полной'' (то есть если для любого $$n$$ $$\left< g, \varphi_n \right> = 0$$, то $$g=0$$), то система является также ''замкнутой'' (то есть для которой неравенство Бесселя переходит в '''равенство Парсеваля''': | ||
+ | \[ | ||
+ | \sum\limits_{n=1}^\infty c_n^2 = \|f\|^2. | ||
+ | \] | ||
+ | |||
[[Категория:ПЛФ]] | [[Категория:ПЛФ]] |
Текущая версия на 12:50, 21 декабря 2020
На протяжении всей своей истории человечество стремилось придумать способ, как приближать функции на отрезке какими-то хорошими функциями с известными и приятными свойствами, легко поддающимися анализу. Одно из решений проблемы придумал Жан-Батист Фурье, когда решал уравнение теплопроводности. Здесь изложены самые общие сведения о рядах Фурье.
Содержание
Тригонометрический ряд Фурье
Пусть функция $$f(\cdot)$$ ограничена на $$\mathbb{R}$$, $$(2\pi)$$-периодична и интегрируема по Риману на любом конечном отрезке $$[a, b] \subset \mathbb{R}$$. Тогда рядом Фурье для этой функции будем называть следующую формальную запись: \[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} (a_k \cos kx + b_k \sin kx), \] где коэффициенты $$a_k$$ и $$b_k$$ вычисляются по следующим формулам: \[ a_k = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t) \cos kt \,dt, \quad k \in \mathbb{N}_0, \\ b_k = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t) \sin kt \,dt, \quad k \in \mathbb{N}. \]
Сходимость ряда
Ряды хороши тем, что они сходятся. Ряд Фурье хорош тем, что иногда он сходится к значению функции, которую мы разложили (то есть вычислили коэффициенты $$a_k$$ и $$b_k$$) в ряд. Что-то проясняет следующая теорема.
Достаточные условия Дирихле: пусть $$f(\cdot)$$ имеет на $$[-\pi, \pi]$$
- конечное число локальных экстремумов,
- не более счетное число разрывов I рода.
Тогда в любой точке на отрезке $$[-\pi, \pi]$$ ряд сходится поточечно к $$\frac{1}{2}\bigl( f(x+0) + f(x-0) \bigr)$$.
Также представляет интерес и равномерная сходимость рада Фурье. Если
- $$f'(x)$$ существует и кусочно-непрерывна на $$[-\pi, \pi]$$,
- $$f(-\pi) = f(\pi)$$.
Тогда тригонометрический ряд Фурье сходится равномерно и абсолютно.
Обобщением данной теоремы можно считать теорему о почленном дифференцировании рядя Фурье. Пусть
- $$f(x)$$ и ее производные до порядка $$m$$ включительно непрерывны на $$[-\pi, \pi]$$,
- $$f^{(i)}(-\pi) = f^{(i)}(\pi), \quad i = \overline{0,m}$$,
- $$f^{(m + 1)}$$ кусочно-непрервына на $$[-\pi, \pi]$$.
Тогда тригонометрический ряд Фурье можно $$m$$ раз почленно дифференцировать на $$[-\pi, \pi]$$.
Комплексная форма записи
Только что произошло разложение функции в пространстве $$L^2$$ по полной ортогональной системе $$\left\{1, \cos kx, \sin kx \right\},\ k \in \mathbb{N}$$. Попробуем переписать это через комплексную экспоненту, вспомнив представление через нее для перечисленных функций: \[ 1 = e^{i0x}, \quad \cos kx = \frac{e^{ikx} + e^{-ikx}}{2}, \quad \sin kx = \frac{e^{ikx} - e^{-ikx}}{2}, k \in \mathbb{N}. \]
Затем положим
\begin{align*} \begin{cases} c_{-k} &= (a_k + ib_k)/2, \quad k \in \mathbb{N}, \\ c_0 &= a_0 / 2, \\ c_k &= (a_k - ib_k)/2, \quad k \in \mathbb{N}. \end{cases} \end{align*}
Тогда ряд Фурье записывается в виде:
\[ f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} c_k e^{ikx},\\ c_k = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{-ikt}\,dt, \quad k \in \mathbb{Z}. \]
Этот ряд можно представлять как сумму бесконечного числа гармонических колебаний, где
- $$\lvert c_k \rvert$$ — амплитуда колебаний,
- $$k$$ — их частота,
- $$\arg c_k$$ — начальная фаза.
Ряд Фурье в гильбертовом пространстве
Идею разложения функции в ряд можно обобщить. Рассмотрим гильбертово пространство $$H$$ и в нем ортогональная система $$\{ \varphi_1,\ldots,\varphi_n \}$$. Хотим представить любой элемент пространства в виде: \[ f = \sum\limits_{n=1}^\infty c_n \varphi_n. \] Домножая скалярно ряд на $$\varphi_k$$ и используя условие ортогональности, получаем следующее выражение для коэффициентов ряда: \[ c_k = \frac{\left< f, \varphi_k \right>}{\| \varphi_k \|^2}. \] Ряд с такими коэффициентами называется рядом Фурье элемента $$f$$ по ортогональной системе $$\{ \varphi_1,\ldots,\varphi_n \}$$. Данный ряд всегда сходится для ортогональной системы, но его сумма может быть не равна $$f$$. Однако всегда справедливо неравенство Бесселя: \[ \sum\limits_{n=1}^\infty c_n^2 \leqslant \|f\|^2. \] Если система является полной (то есть если для любого $$n$$ $$\left< g, \varphi_n \right> = 0$$, то $$g=0$$), то система является также замкнутой (то есть для которой неравенство Бесселя переходит в равенство Парсеваля: \[ \sum\limits_{n=1}^\infty c_n^2 = \|f\|^2. \]