Задача о тележке

Постановка задачи

Рассмотрим задачу движение тележки.

В движение тележку приводит тяга двигателя $F_{\textbf{вн}}$,ей будет препятствовать вязкое трение $F_{\textbf{тр}}= -k \dot{x}$ и сопротивление среды $F_{сопр}=-d\dot{x}^2$.
По второму закону Ньютона:

$m \ddot{x} = -k \dot{x} - d \dot{x}^2+F_{\textbf{вн}}$ $\ddot{x} = - \dfrac{k}{m} \dot{x} - \dfrac{d}{m} \dot{x}^2+\dfrac{F_{\textbf{вн}}}{m}$

Обозначая $\dfrac{k}{m} = u_1 \in [u_1^{min},u_1^{max}], \frac{d}{m} = u_2 \in [u_2^{min},u_2^{max}],\dfrac{F_{\textbf{вн}}}{m} = u_3 \in [0,u_3^{max}]$, и приводя к нормальному виду

$x_1 = x, x_2 = \dot{x}$,

получим следующую систему:

$\begin{equation} \dot{x}_1 = x_2, \\ \dot{x}_2= -(u_1x_2+u_2x_2^2)+u^3\\ \quad u_1 \in [u_1^{min}, u_1^{max}],\quad 0<u_1^{min}<u_1^{max}\\ \quad u_2 \in [u_2^{min}, u_2^{max}],\quad 0<u_2^{min}<u_2^{max} \\ \quad u_3 \in [0,u_3^{max}],\quad 0 < u_3^{max} \end{equation}$

Добавляем граничные условия:

$t_0 = 0, \\ x_1(0) = x_2(0) = 0,\\ t_1= T\\ x_1(T) = L\\ x_2(t) = \varepsilon$

Наша цель минимизировать функционал:

$J = \int\limits_0^T u_3(t)dt \rightarrow \inf\limits_{u(\cdot)}$

То есть мы хотим минимизировать наши усилия при этом передвинув тележку из точки 0 в точку с координатой L.
Как итог получаем систему:

$\dot{x}_1 = x_2, \\ \dot{x}_2= -(u_1x_2+u_2x_2^2)+u_3\\ \quad u_1 \in [u_1^{min}, u_1^{max}],\quad 0<u_1^{min}<u_1^{max}\\ \quad u_2 \in [u_2^{min}, u_2^{max}],\quad 0<u_2^{min}<u_2^{max} \\ \quad u_3 \in [0,u_3^{max}],\quad 0 < u_3^{max} \\ \quad t_0 = 0, \quad x_1(0) = x_2(0) = 0 \\ \quad t_1 = T > 0, \quad x_1(T) = L, \quad x_2(T) = \varepsilon >0, \quad L > T \varepsilon \\ J = \int\limits_0^T u_3(t)dt \rightarrow \inf\limits_{u(\cdot)}$

Принцип максимума Понтрягина

Выпишем ПМП(Принцип максимума Понтрягина) для рассматриваемой задачи.
Первым шагом сделаем замену переменных:

$x_0 = \int\limits_0^T u_3(t)dt \rightarrow \inf\limits_{u(\cdot)}$

Тогда наша система примет вид:

$\begin{cases} \dot{x}_0 = u_3,\\ \dot{x}_1 = x_2, \\ \dot{x}_2= -(u_1x_2+u_2x_2^2)+u_3\\ \end{cases}$

Функция Гамильтона $-$ Понтрягина примет вид:

$\mathscr{H} = \psi_0u_3 + \psi_1x_2 + \psi_2(u_3 - u_1x_2-u_2x_2^2)$

Учитывая все вышесказанное, ПМП примет вид: Пусть $\{ x^*(\cdot), u^*(\cdot) \}$ $-$ оптимальная пара.
Тогда $\exists \tilde{\psi}:[t_0^*,t_1^*] \rightarrow \mathcal{R}^{n+1}$ такая что:
(УН) $\quad 1) \quad \psi^*(t) \neq 0 , \quad t \in [0,T],$
(CC) $\quad 2)$

$\begin{cases} \dot{\psi}_0^* = - \dfrac{\partial \mathscr{H}}{\partial x_0} = 0\\ \dot{\psi}_1^* = - \dfrac{\partial \mathscr{H}}{\partial x_1} = 0\\ \dot{\psi}_2^* = - \dfrac{\partial \mathscr{H}}{\partial x_2} = - \psi_1^{0,*}+ \psi_2^*(u_1^*+2u_2^*x_2^*)\\ \end{cases}$

(УМ) $\quad 3) \quad\mathscr{H}(\tilde{\psi}^*(t),\tilde{x}^*(t),\tilde{u}^*(t)) = \sup \limits_{u} \mathscr{H}(\tilde{\psi}^*(t),\tilde{x}^*(t),u)$ для п.в. $t \in [0,T]$
$\quad \quad \quad 4)$

$\psi_0^*(\cdot) \equiv const \leq 0,\\ \mathscr{M}(\tilde{\psi}^*(t),\tilde{x}^*(t)) \equiv const = 0$

Из УМ(Условие максимума) получаем:

$u_1^* = \begin{cases} u_1^{min}, & \psi_2x_2 >0 \\ [u_1^{min},u_1^{max}], & \psi_2x_2 = 0 \\ u_1^{max},& \psi_2x_2 <0 \end{cases}$

$u_2^* = \begin{cases} u_2^{min}, & \psi_2 >0, x_2 \neq 0\\ [u_2^{min},u_2^{max}], & \psi_2 x_2 = 0\\ u_2^{max}, & \psi_2 <0 ,x_2 \neq 0 \end{cases}$

$u_3^* = \begin{cases} u_3^{max}, & \psi_0^0+\psi_2 >0 \\ [0,u_3^{max}], & \psi_0^0+\psi_2 = 0\\ u_2^{max}, & \psi_0^0+\psi_2 < 0 \end{cases}$

Нормальный случай

Пусть $\psi_0 \equiv \psi_0^0<0$,положим $\psi_0 = -1$. Тогда из (УМ):

$u_3^* = \begin{cases} u_3^{max}, & \psi_2 > 1\\ [0,u_3^{max}], & \psi_2 = 1 \\ 0 , & \psi_2 <1 \end{cases}$

Движение при $\psi_2^0>1$

Движение в окрестности нуля

Начало движение из нуля, мы начнем разгоняться и в какой то довольно маленькой окрестности $u_3^* = u_3^{max}$
В этой окрестности:

$\dot{x}_2 = u_3^{max} - (u_1 + u_2x_2)x_2$

В этой малой окрестности $x_2 \approx 0, u_3^{max}>0 ,$ то есть $\dot{x}_2 > 0 .$
В начале будет происходить ускорение и вся динамика будет описываться:

$\begin{cases} \dot{x}_1 = x_2 \\ \dot{x}_2 = u_3^{max} - (u_1^{min}+ u_2^{min}x_2)x_2 \\ \dot{\psi}_1 = 0\\ \dot{\psi}_2 = - \psi_1 +\psi_2(u_1^{min}+2u_2^{min}x_2) \end{cases}$

с начальными условиями:

$\begin{cases} x_2(0) = 0 \\ \psi_2(0) = \psi_2^0 >1 \\ \end{cases}$

В этой системе нас будут интересовать второе и четвёртое уравнение, поскольку только значения $x_2$ и $\psi_2$ влияют на выбранное управление, соответственно, могут привести к переключению. До тех пор, пока переключение не произошло, движение описываться указанной системой. Понимая это, начальные условия на $x_1$ и $\psi_1$ мы сразу опустили.
Тогда система примет вид:

$\begin{cases} \dot{x}_2 = u_3^{max} - (u_1^{min}+ u_2^{min}x_2)x_2 \\ \dot{\psi}_2 = - \psi_1 +\psi_2(u_1^{min}+2u_2^{min}x_2) \end{cases}$

Посмотрим как будут вести себя траектории, на картинке схематично изображены варианты траекторий:

Рассмотрим 2-ую траекторию

Хотим доказать невозможность такой траектории. Ищем особые точки для $x_2$:

$\dot{x}_2 = 0 \Leftrightarrow u_2^{min}x_2^2+u_1^{min}x_2-u_3^{max} = 0$

$x_2 = \dfrac{-u_1^{min} \pm \sqrt{D}}{2u_2^{min}}$

Таким образом в $x_2^+$ находится аттрактор к которому будут стремится траектории системы. Следовательно вторая траектория невозможна.

Рассмотрим 3-ую траекторию

Докажем, что такой вид траектории также невозможен.
Пусть $\dot{\psi}_2 > 0$ из уравнения :

$\dot{\psi}_2 = - \psi_1^0 + \psi_2 u_1^{min}$

Такое возможно при:

$\psi_1^0 < \psi_2u_1^{min}$

Поскольку $\psi_2$ возрастает по нашему предположению, тогда наше условие будет выполнено всегда, если:

$\psi_1^0 < \psi_2^0u_1^{min}$

Следовательно $x_2$ и $\psi_2$ бесконечно возрастает. Следовательно $x_2(T) = \varepsilon$ не выполняется.
противоречие.

Рассмотрим 1-ую траекторию

Таким образом имеет смысл рассматриваем пары $(\psi_1^0,\psi_2^0)$ и $\exists \tau \quad \psi_2(\tau) = 1$, то есть имеет место переключение.

Особый режим после $\tau_1$

Режим будет особый, если $t \in [\tau_1,\tau_1 + \delta)$ выполнялось $\psi_2(t) = 1$
Тогда получаем:
$\dot{\psi}_2(t) = 0 \Rightarrow -\psi_1^0+\psi_2(t)(u_1^{min}+2u_2^{min}x_2) = -\psi_1^0+1(u_1^{min}+2u_2^{min}x_2) = 0$
Что эквивалентно:

$x_2 = \dfrac{\psi_1^0-u_1^{min}}{2u_2^{min}}$

Из $x_2>0$ получаем ограничение $\psi_1^0 - u_1^{min} > 0.$ Если это условие не выполнено, особый режим невозможен. Попадая в особый режим, получаем:

$0 = u_3-(u_1^{min}+u_2^{min}x_2^{oc})x_2^{ос} = \{\textbf{по определению}\} = x_2^{ос}$

Из чего следует:

$u_3^{ос}=(u_1^{min}+u_2^{min}x_2^{oc})x_2^{ос}$

Движение непосредственно после особого режима

Рассмотрим движение непосредственно после выхода из особого режима, пусть $\tau_2$ - выход из особого режима:

• $u_3(\tau_2 + 0)> u_3^{ос}$. В этом случаи $\psi_2(t)>1 \Rightarrow u_3 = u_3^{max} \Rightarrow x_2 \uparrow, \psi_2 \uparrow \Rightarrow$ не сможем вернуться в $x_2 = \varepsilon$(тоже так же как для 3 траектории)
• $u_3(\tau_2 + 0) < u_3^{ос} \Rightarrow \psi_2(t)<1 \Rightarrow u_3^*=0, x_2 \downarrow, \psi_2 \downarrow$

Движение при $t> \tau_2$

Как мы выяснили $u_3^* =0$ из чего наша система принимает вид:

$\begin{cases} \dot{x}_2 = -(u_1^{min} +u_2^{min}x_2)x_2\\ \dot{\psi}_2 = -\psi_1 + \psi_2(u_1^{min}+2u_2^{min}x_2) \end{cases}$

Начальное условие для этого участка движения выглядит следующим образом:

$\begin{cases} x_2(\tau_1) = x_2(\tau_2)=\varepsilon\\ \psi_2(\tau_2)=1 \end{cases}$

Переключение по $x_2$

Пусть $\exists \tau_3 >\tau_2: x_2(\tau_3) = 0.$ Решая задачу в обратном порядке, получаем:

$\begin{cases} \dot{x}_2 = -(u_1^{min}+u_2^{min}x_2)x_2\\ x_2(\tau_3) = 0 \end{cases}$

в силу единственности задачи Коши получаем единственную траекторию $x \equiv 0$, что противоречит $x_2(\tau_2)$

Переключение по $\psi_2$

Пусть $\exists \tau_3 :\psi_2(\tau_3)=0$ - время переключение определяется в силу единственности решения задачи Коши.
Если $\psi_2 \neq 0 \forall t \in[0,T)$, полагаем $\tau_3=T$
После указанного переключения $u_3^*=0$
Проверяем на особый режим. Если он возможен:

$0 = \dot{\psi}_2 = - \psi_1^0 + \psi_2(u_1+2u_2x_2)= -\psi_1^0$

Но по условию из первого подключения

$\psi_1^0 = u_1^{min}+2u_2^{min}x_2(\tau_1)>0$

Получили противоречие. Особого режима нету.
В окресности $\psi_2 = 0$

$\dot{\psi}_2= -\psi_1^0+\psi_2(u_1+2u_2x_2)<0$

В достаточно малой окрестности первое слагаемое отрицательно, а второе приблизительно равно нулю.
Следовательно при $\psi_2=0$ траектория пойдет вниз, произойдет переключение по все компонентам.

$\begin{cases} u_1^*=u_1^{max},\\ u_2^*=u_2^{max},\\ u_3^* = 0 \end{cases}$

Мы начинаем тормозить.
При этом система приобретает вид:

$\begin{cases} \dot{x}_2 = -(u_1^{max}+u_2^{max}x_2)x_2\\ \dot{\psi}_2= -\psi_1^0 + \psi_2(u_1^{max}+2u_2^{max}x_2) \end{cases}$

Без особого режима после $\tau_1$

Движение на $t >\tau_1$ определятся системой:

$\begin{cases} \dot{x}_2 = u_3-(u_1^{min}+u_2^{min}x_2)x_2\\ \dot{\psi}_2 = - \psi_1^0+\psi_2(u_1^{min}+2u_2^{min}x_2)\\ x_2(\tau_1)=\varepsilon_2\\ \psi_2(\tau_1)=1 \end{cases}$

Учитывая что у нас нету особого режима нет и $\psi_2$ - непрерывна

$\dot{\psi}_2(\tau_1) = - \psi_1^0+1(u_1^{min}+2u_2^{min}x_2)<0$

Что означает что происходит обычное переключение $u_3^*=0$ при $t>\tau_1$ В итоге имеем систему дифференциальных уравнений:

$\begin{cases} \dot{x}_2 = -(u_1^{min}+u_2^{min}x_2)x_2\\ \dot{\psi}_2 = -\psi_1^0+\psi_2(u_1^{min}+2u_2^{min}x_2)\\ x_2(\tau_1)= \varepsilon_2\\ \psi_2(\tau_1)=1 \end{cases}$

Движение при $\psi_2^0<1$

Выпишем ОДУ для движение тележки, поскольку в силу (УМ) $u_3^*(0+)=0$

$\begin{cases} \dot{x}_1=x_2 \\ \dot{x}_2 = -(u_1+u_2x_2)x_2 \\ \dot{\psi}_1 = 0 \\ \dot{\psi}_2 = -\psi_1^0+\psi_2(u_1+2u_2x_2)\\ x_2(0)=0 \\ \end{cases}$

В силу единственности, для этой системы $x_2 \equiv 0$ $-$ единственное решение.
Следовательно, движение $\tau_{\textbf{нач}}$ начнется тогда, когда $u_3>0$, то есть будет $\psi_2 \geq 1$ учитывая непрерывность :

$\psi_2(\tau_\textbf{нач})=1, \quad \psi_2(t) > 1 \quad t \in (\tau_\textbf{нач},\tau_\textbf{нач} +\delta)$

В этот момент произойдёт переключение по остальным компонентам управления, и начнётся движение:

$u_1^* = u_1^{max},u_2^* = u_1^{min} \quad t > \tau_{\textbf{нач}}$

Из рассмотренного случая при $\psi_2>1$, имеем ровно одно переключение. То есть , если $x_2(t) > \varepsilon$ - то не будет достигнуто краевое условие, из единственности решения задачи Коши.

Учитывая начальное условие:

$L > T \varepsilon$

Площадь криволинейной трапеции меньше площади прямоугольника:

$L = \int\limits_0^T x_2(\tau) d \tau \leq \varepsilon (T - \tau_{\textbf{нач}}) <T \varepsilon$

Случай невозможен. Получили противоречие с краевыми условиями.

Движение при $\psi_2^0=1$

Данный случай полностью повторяет предыдущий пункт, однако теперь возможен вариант $\tau_{\textbf{нач}} = 0$.
Так или иначе, условие $L > T \varepsilon$ всё ещё делает этот случай невозможным.

Анормальный случай

$\psi_0 =0$

Отличие в $u_2^*$:

$u_3^*= \begin{cases} u_3^{max}, & \psi_2>0 \\ [0,u_3^{max}], & \psi_2=0 \\ 0, & \psi_2<0 \end{cases}$

Остальные компоненты управления остаются такими же $$u_1^*= \begin{cases} u_1^{min}, & \psi_2x_2>0 \\ [u_1^{min},u_1^{max}], & \psi_2x_2=0 \\ u_1^{max}, & \psi_2x_2<0 \end{cases} u_2^*= \begin{cases} u_2^{min}, & \psi_2>0,x_2 \neq 0 \\ [u_2^{min},u_2^{max}], & \psi_2x_2=0 \\ u_2^{max}, & \psi_2<0,x_2 \neq 0 \end{cases}$$ Пусть $\psi_2^0 >0$. Предположим что при переходе через $\psi_2=0$ возможен особый режим

$0 = \dot{\psi}_2 = - \psi_1^0 + 0\cdot (...) \Rightarrow \psi_1^0=0 \Rightarrow (\psi_0,\psi_1,\psi_2)=0$

Это происходит на отрезке ненулевой меры , получаем противоречие (УН).
То есть особый режим невозможен, происходит простое переключение по всем трем компонентам.
Перепараметризуем, переходим к параметру $\tau_1: \psi_2(\tau_1) = 0.$
Поскольку при этом $\psi(\tau_1) \neq 0$, то $\psi_1(\tau_1) \neq 0$.
Нормируем начальный момент времени: $\psi_1(\tau_1) =1$
Случай $\psi_1(\tau_1) = -1$ исключаем, по доказанному ранее это влечёт $\psi_2 \uparrow$ и торможения не будет.
Зафиксировав $\psi_0^0, \psi_1^0$ и перейдя к перебору по $\tau_1$, получаем однопараметрическое семейство решений.