Решения ОДУ в смысле Каратеодори

Рассматривается система дифферинциальных уравнений $$\dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).$$ Мы хотим понять, в каком смысле определять траекторию этой системы $- \ x(\cdot)$, если управление $- \ u(\cdot)$ измеримая функция.

Условия Каратеодори

Введем обозначение $g(t,x) = f(t, x, u(t)).$ Пусть $(t_0, x^0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n$ и $\exists a > 0, r > 0$ такие, что:

1. Пусть $g(t,x)$ определена для $\forall x \in B_r(x_0)$ и почти всех $t \in [t_0-a,t_0+a];$
2. $g(t,x)$ измерима по $t$ для $\forall x \in B_r(x^0)$, $g(t,x)$ непрерывна по $x$ для $\dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];$
3. $\exists m(\cdot)$ интегрируема по Лебегу при $t \in [t_0-a, t_0+a]$ такая, что:

$$\begin{equation*} ||g(t,x)|| \leq m(t), \forall x \in B_r(x^{0}), \dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a]. \end{equation*}$$

Эти три условия и называются условиями Каратеодори.

Абсолютно непрерывные функции

Мы бы хотели найти решение задачи Коши $$\begin{equation}\label{syst} \begin{cases} \dot x(t) = g(t, x(t)),\\ x(t_0) = x^0, \end{cases} \end{equation}$$ в следующем классе функций:

1. $x(\cdot) \in C[t_0-a, t_0+a];$
2. для почти всех $\dot \forall t$ существует $\exists \dot x$ и выполнено $\dot x(t) = g(t, x(t))$.

Покажем, что условий Каратеодори самих по себе недостаточно для определения решения. Рассмотрим следующий пример $$\begin{equation*} \begin{cases} \dot x(t) = 0,\\ x(0) = 0. \end{cases} \end{equation*}$$ Очевидно, что $x \equiv 0$ является решением системы. Такое решение в рассматриваемом классе не единственно. Рассмотрим лестницу Кантора, она так же будет являться решением этой системы при наложенных ранее ограничениях.

Чтобы избежать неоднозначности из-за различных сингулярных частей в функции, наложим дополнительные ограничения на $x$ :
$x(\cdot)$ решение системы $\Leftrightarrow$ для всех $\forall t$ выполнено $$\begin{equation*} x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} g(\tau, x(\tau)) \,d\tau. \\ \end{equation*}$$

Из курса функционального анализа [3] известно, что если $z(\cdot)$ измерима, то для любого $\varepsilon > 0$ существует $\exists \delta(\varepsilon) > 0:$ $$\begin{equation*} \forall Z \text{ измеримого}: \mu (Z) \leq \delta \Rightarrow \int_{\tau \in Z} z(\tau) \,d\tau \leq \varepsilon,\\ \end{equation*}$$ что обозначает абсолютную непрерывность интеграла Лебега.
Тогда можем заменить условие 3) в условиях Каратеодори на следующие два:
3') $\dot x$ интегрируема по Лебегу;
4) Для всех $\forall t \in [t_0-a, t_0+a] \Rightarrow x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} \dot x(\tau) \,d\tau.$

Введём следующие определения:

Определение 1. Функции, удовлетворяющие условиям 1), 2), 3'), 4) будем называть абсолютно непрерывными, а класс таких функций будем обозначать $AC[t_0-a, t_0+a]$ (от англ. absolutely continuous). В курсе математического анализа, это определение вводится по-другому.

Определение 1'. Будем говорить, что $x(\cdot) \in AC[\tau_0, \tau_1],$ если для любого $\forall \varepsilon > 0$ существует $\exists \delta(\varepsilon) > 0:$
$\forall \tau_{1}^{'},$ $\dots, \tau_k^{'}, \tau_1^{''}, \dots, \tau_k^{''}$ таких, что $$\begin{equation*} \tau_0 \leq \tau_1^{'} < \tau_1^{''} \dots < \tau_k^{'} < \tau_k^{''} \leq \tau_1, \end{equation*}$$ выполнено $$\sum_{j=1}^{k}|\tau_j^{''}-\tau_j^{'}|<\delta \Rightarrow \sum_{j=1}^{k}||x(\tau_j^{''})-x(\tau_j^{'}) || \leq \varepsilon.$$ Так же из курса математического анализа известна эквивалентность этих определений, подробнее можно узнать в [3].

Замечание. Абсолютно непрерывные функции являются непрерывными и равномерно непрерывными, но при этом не обязаны быть дифференцируемыми. В качестве контрпримера можно рассмотреть одномерную функцию $f(x) = |x|.$

Так же известно, что $\text{Lip}[\tau_0, \tau_1] \subset AC[\tau_0, \tau_1],$ поскольку $$\begin{equation*} ||x(\tau'')-x(\tau') || \leq L |\tau''-\tau'| \Rightarrow \delta(\varepsilon) = \frac{\varepsilon}{L}. \end{equation*}$$ Данное вложение является строгим, пример: $x(t) = t^{\alpha}, 0 < \alpha < 1.$
С учетом этих определений сформулируем новое определение.

Определение 2. Решением системы на $t_0-a \leq \tau_0 < \tau_1 \leq t_0+a, t_0 \in [\tau_0, \tau_1]$ по Каратеодори называется функция $x(\cdot),$ удовлетворяющая следующим критериям:

1. $x(\cdot) \in AC[\tau_0,\tau_1];$
2. $x(t_0) = x^{0};$
3. для почти всех $\dot \forall t \in (\tau_0, \tau_1) \Rightarrow \dot x(t) = g(t,x(t)).$

Замечание. Лестница Кантора не является абсолютно непрерывной. Так как мера точек роста функции равна нулю, то можно найти для любого $\delta>0$ можно покрыть это множество непересекающимися отрезками. Поэтому для $\varepsilon = \frac{1}{2}$, будет нарушено определение, так как рост на отрезке [0,1] лестницы Кантора равен $1 > \frac{1}{2}$.

Существование решения по Каратеодори

Для доказательства основной теоремы о существовании нам потребуется сформулировать несколько вспомогательных теорем.
Теорема 1(Scorza Dragoni G., 1948). Пусть $g(t,x)$ измерима по $t$ для всех $\forall x \in B_r(x^0)$ и непрерывна по $x$ для почти всех $\dot \forall t \in [\tau_0, \tau_1].$ Тогда $\forall \varepsilon$ $\Rightarrow \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K$ компакт, такой что $$\begin{equation*} \mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon \end{equation*}$$ и $g(t,x)$ суженная на $K\times B_r(x^0)$ непрерывна по $(t,x)$
Теорема 2(Критерий измеримости Лузина). Функция $z(t)$ измерима на $t \in [\tau_0, \tau_1] \Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \ \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K$ компакт такой, что $$\begin{equation*} \mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon \end{equation*}$$ и $z(t)$ суженная на $K$ непрерывна.
Доказательство. Можно найти в [3].
Замечание 3. Из теоремы Лузина следует, что для $g(t,x)$ существует $K(x)$, а из теоремы 1 следует существование универсального $K$(на шаре).
Следствие 1.(Частный случай Scorza Dragoni) Если $g(t,x)$ измерима по $t$ для всех $\forall x$, непрерывна по $x$ для почти всех $\dot \forall t$,а $x(\cdot)$ измерима, то функция $g(t,x(t))$ измерима по $t.$
Доказательство. Функция $u(\cdot)$ измерима, следовательно, из критерия Лузина $\forall \varepsilon > 0 \exists K \subseteq [t_0-h, t_0+h], K$ компакт $$\mu([\tau_0,\tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon$$ и $u$ при сужении на $K$ непрерывна. Тогда $$\begin{equation*} z(\tau) = g(\tau, x^{(k)}(\tau)) = f(\tau, x^{(k)}(\tau),u(\tau)) \end{equation*}$$ непрерывна на $K$, а значит, $z(\cdot)$ измерима.$\blacksquare$
Теперь можно сформулировать теорему о существовании решения.
Теорема 3(Существование решения исходной системы). Пусть $0 < h \leq a$ и $$\begin{equation*} \int_{t_0}^{t_0+h}m(\tau)d\tau \leq r, \int_{t_0-h}^{t_0}m(\tau)d\tau \leq r. \end{equation*}$$ Тогда существует $\exists x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h]$ решение по Каратеодори исходной системы ДУ в смысле Каратеодори.
Доказательство. Выпишем следующую последовательность функций: $$\begin{equation*} x^{(0)}(t) \equiv x^{0}, \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} x^{(k+1)}(t) = x^{0}+\int_{t_0}^{t}g(\tau,x^{(k)}(k))d\tau. \end{equation*}$$ Элементы этой последовательности определены корректно, поскольку $g(\tau, x^{(k)}(\tau))$ измеримы по $\tau$ в силу следствия 1, ограничены интегрируемой функцией $m(t)$ (по условию теоремы) и, следовательно, интегрируем по Лебегу. При этом $x^{(k)}(\cdot) \in C \Rightarrow x^{(k)}(\cdot) \in AC$. Для того, чтобы воспользоваться теоремой Арцела-Асколи, нам необходимо показать равностепенную непрерывность и равномерную ограниченность последовательности.

Равномерная ограниченность (при $t \geq t_0,$ для $t \leq t_0$) аналогично) $$||x^{(k+1)}(t)-x^{0}|| \leq \int_{t_0}^{t}||g(\tau,x^{(k)}(\tau))||d\tau \leq \int_{t_0}^{t}m(\tau) d\tau \leq r.$$ Покажем равностепенную непрерывность $$\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta(\varepsilon) > 0: \ \forall t', t'' \in [t_0-h,t_0+h], \ t'\leq t'': |t'-t''|\leq \delta$$ $$\begin{equation*} \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow ||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||\leq \varepsilon? \end{equation*}$$ Для нашей последовательности $$\begin{equation*} ||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||= || \int_{t'}^{t''}g(s, x^{(n-1)}(s))ds||\leq \int_{t'}^{t''}m(s)ds \leq \varepsilon \end{equation*}$$ в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега. Тогда последовательность непрерывных функций $x^{(k)}(\cdot)$ равностепенно непрерывно и равномерно ограничено и, в силу теоремы Арцела-Асколи, $x^{(k)} \rightrightarrows x(\cdot).$ При этом $$\begin{equation*} || x^{(k)}(\cdot)-x(\cdot)||_C = \max_{t\in [t_0-h,t_0+h]}|| x^{(k)}(t)-x(t)||, \end{equation*}$$ то есть сходимость в С аналогична равномерной сходимости, и $x(\cdot) \in C[t_0-h, t_0+h].$ Наконец, переходим к пределу в итеративной последовательности $$x(t) = x^{0} + \int_{t_0}^{t}g(s,x(s))ds, x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h].$$ Теорема доказана.$\blacksquare$

Единственность решения

Для единственности решения мы обычно требуем липшицевость по $x \text{:}$ $$|| g(t,x'' - g(t,x'))|| \leq L(t)||x'' - x'||$$ Где $L(t) -$ интегрируема по Лебегу.
Ослабив это условие, добавим его к списку условий Каратеодори 1)-3):
$4) \ \ \forall x', x'' \ \ \exists L(t) -$ интегрируема по Лебегу $$\langle g(t,x'') - g(t,x'), x'' - x' \rangle \leq L(t)||x'' - x' ||.$$ Нетрудно показать что всякая липшицевая по $x$ функция удовлетворяет этому условию в силу неравенства Коши-Буняковсвого-Шварца.
Теорема 4 (Теорема о единственности решения по Каратеодори).
Пусть выполнены условия Каратеодори 1),2),3) а так же 4). Тогда решение по Каратеодори задачи Коши единственно.
Доказательтво:
Предположим противное. Пусть $x'(t)$ и $x''(t) -$ два различных решения задачи Коши на $[t_{0}, t_{0} + h]$. Рассмотрим вспомогательную функцию $$z(t) = ||x''(t) - x'(t)||^{2} = \langle x''(t) - x'(t),x''(t) - x'(t) \rangle.$$ Она дифференцируема почти всюду, и для п.в. $t$ $$\frac{dz}{dt} = 2 \langle g(t,x''),g(t,x'),x''(t) - x'(t) \rangle \leq 2L(t)z(t).$$ При этом $z(t_{0}) = 0 \ \ $(из определения $z$). Тогда неравенство $$\frac{dz}{dt} - 2L(t)z(t) \leq 0$$ домножим на $\exp \{\int_{t_{0}}^{t} L(\xi)d\xi \}:$ $$\frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi}) \leq 0$$ для п.в. $t$ (верно там, где она дифференцируема). Проинтегрировав получаем $$0 \leq z(t) e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi} \leq 0.$$ Левое неравенство достигается в силу определения $z$, а правое следует из того факта, что производная отрицательная, а значит $z(t_{0}) = 0.$ Тогда в обоих случаях достигаются равенства, и функции совпадают.
Теорема доказана. $\blacksquare$

Продолжимость решения

В случае с решением по Каратеодори также возникает вопрос продожимости решения вправо. В условиях Каратеодори есть ограниченность интегрируемой функции, в теореме о существовании решении мы ограничили интеграл от этой функции $m(\cdot)$ значением $r$. Разве этого не достаточно? Оказывается, нет.
Мы рассматриваем систему на отрезке времени $[t_{0} - a, t_{0} + a].$ Зафиксируем $h_{1} < a$ и проинтегрируем исходную систему на $[t_{0}, t_{0} + h_{1}].$ При этом $||x(t_{0}) - x^{0}| < r_{1}.$ Переобозначим полученное значение в точке $\xi_1 = x(t_{0} + h_{1})$ и запишем новую задачу Коши $$\begin{cases} \dot{x}(t) = g(t,x(t)),\\ x(t_{0} + h_{1}) = \xi^{1} \end{cases}$$ Таким образом, мы продвинулись на $h_{1}$ вправо по времени.
Далее аналогичным образом выберем $h_{2},h_{3}$ и т.д. Для каждой получившейся задачи Коши мы можем взять новую $m(\cdot)$ и варьировать соответствующее ей значение $r$, устремляя таким образом $h \rightarrow a$ и $h \rightarrow +\infty$. При этом $r$ не будет ограничено, если $h_{1} + h_{2} + \ldots < a.$
Пример 1. $$\begin{equation*} \begin{cases} \dot{x}(t) = (x(t))^{2}\\ x(t) = 1 \end{cases} \end{equation*}$$ Проинтегрировав систему: $$\begin{equation*} \int \frac{dx}{x^{2}} = \int dt \end{equation*}$$ получим решение $x(t) = \frac{1}{1 - t}$, неограниченно растущее в окрестности $t = 1$.
Покажем, что непродолжимость решения может возникать только в случае неограниченного роста функции. Введем обозначения: $$\begin{equation} \overline{\tau} = \sup \{ \tau \in (t_{0}, t_{0} + a): \exists x(\cdot) - \text{ при } t \in [t_{0}, \tau]\}, \end{equation}$$ $$\begin{equation} \underline{\tau}= \inf \{ \tau \in (t_{0} - a, t_{0}): \exists x(\cdot) - \text{ при } t \in [\tau,t_{0}]\}. \end{equation}$$ Где $x(\cdot)$ решение задачи Коши ($\ref{syst}$). Введенные обозначения корректны, поскольку множества непусты в силу существования решения и его ограниченности на отрезке (функции непрерывны).
Теорема 5.
Пусть $\overline{\tau} < t_0 + a \ (\underline{\tau} > t_0 - a).$ Тогда для $\forall r > 0 \ \exists \tau \in (t_0, \overline{\tau}) (\tau \in (\underline{\tau}, t_0))$ такое, что $||x(\tau) - x^0|| = r.$
Доказательство.
Предположим противное. Пусть $\exists \overline{r} > 0: \forall \tau \in (t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow ||x(\tau) - x^0|| < \overline{r}.$
Пусть $\Delta > 0, r = \overline{r} + \Delta,$ тогда $\forall t \in [t_0, \overline{\tau})$ верно $$\begin{equation*} B_\Delta (x(t)) \subseteq B_r(x^0). \end{equation*}$$ Возьмем $\delta = t_0 + a - \overline{\tau} > 0.$ Тогда $\overline{\tau} + \delta < t_0 + a.$
Для любого $\forall \tau \in [t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow [\tau - \delta, \tau + \delta]\times B_\Delta(x(\tau)) \subseteq [t_0 - a, t_0 + a]\times B_r(x^0).$
Существует $\exists h > 0, h < \delta: \int_{\tau}^{\tau+h}m(s)ds \leq \Delta.$ При этом получается, что $h \ -$ не зависит от $\tau$ (в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега). То есть мы нашли универсальный шаг, на который можем продвигаться при построении решения$:$ $h \ -$ универсально для всех $\tau \in [t_0, \overline{\tau}),$ то есть мы можем проинтегрировать $x(\cdot)$ до момента $\tau + h$ для любого $\tau.$ По определению $\overline{\tau} \ -$ это супремум всех моментов времени, когда существует решение. Из определения супремума $: \exists \tau: \overline{\tau} - \tau < h/2.$ Для этого $\tau$ проинтегрируем систему до $\tau + h.$ Но тогда получается, что $\tau + h > \overline{\tau},$ что приводит нас к противоречию.
Теорема доказана.$\blacksquare$
Отбросим теперь в условиях Каратеодори условие с $a$ и заменим отрезок времени на $[t_0,t_1]$ либо $\R$ (в 1) и 2)) и добавим условие продолжимости вправо(влево). $$\begin{equation} \langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x;\alpha,\beta = \text{const} >0 \end{equation}$$ $$\begin{equation*} (-\langle g(t,x),x \rangle \leq \alpha||x||^2 + \beta). \end{equation*}$$ Условие продолжимости в обе стороны (условие сублинейного роста)$:$ $$\begin{equation*} ||g(t,x)|| \leq A||x|| + B; \ A,B = \text{const} > 0. \end{equation*}$$ Замечание. Из условия сублинейного роста следует продолжимость в обе стороны, поскольку $$\begin{equation} \langle g(t,x),x\rangle \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta. \end{equation}$$ Как показать, что такие $\alpha, \beta$ существуют? Положим $\alpha = A + 1,$ тогда дискриминант $||x||^2 - B||x|| + \beta \geq 0$ будет отрицательный, то есть это будет верно для всех $\beta > 0.$
Теорема 6.
Пусть выполнено условие (5). Тогда решение $x(\cdot)$ задачи Коши ($\ref{syst}$) продолжимо вправо.
Доказательство.
Предположим противное. Тогда в силу предыдущей теоремы, $||x(t)||$ не ограничена. Рассмотрим $z(t) = ||x(t)||^2 = \langle x(t),x(t) \rangle.$ $$\begin{equation*} \frac{dz}{dt} = 2\langle g(t,x(t)),x(t) \rangle \leq 2\alpha z(t) + 2\beta, \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} \frac{dz}{dt} - 2\alpha z \leq 2\beta. \end{equation*}$$ Домножим на $exp\{-2\alpha t \}:$ $$\begin{equation*} \frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\alpha t}) \leq \beta e^{-2\alpha} \Rightarrow z(t)e^{-2\alpha t} - z(t_0)e^{-2\alpha t_0} \leq \int_{t_0}^{t}2\beta e^{-2\alpha s}ds \Rightarrow 0 \leq z(t) \leq z(t_0)e^{-2\alpha t_0} + \int_{t_0}^{t}2\beta e^{-2\alpha s}ds. \end{equation*}$$ Значит, $z(t)$ ограничена, следовательно, $||x||$ ограничена, а значит, продолжимость вправо есть.
Теорема доказана.$\blacksquare$
Наконец можем заменить условие 3) в условия Каратеодори условием сублинейного роста, положив $m(t) = Ar + B$ ($r\ -$ из условий теоремы существования решения).

Итоговые условия на $f(t,x,u)$

1. $f(t,x,u)$ определена на $\R \times \R^n \times \R^m$ (или $[t_0, t_1]\times \R^n \times \R^m$);
2. $f(t,x,u)$ непрерывна по по $(t,x,u), \ u(\cdot)\ -$ измерима;
3. $||f(t,x'',u) - f(t,x',u)|| \leq L||x'' - x'||,L =\text{const}$;
4. $||f(t,x,u)|| \leq A||x|| + B, \forall(t,x,u).$

Из них следуют соответствующие условия на $g(t,x):$

1. $g(t,x)$ определена п.в. $t \in \R$ для всех $\forall x$ (п.в $t \in [t_0,t_1]$ для всех $\forall x$);
2. $g(t,x) \ -$ измерима по $t$ для всех $x$; $g(t,x)-$ непрерывна по $x$ для п.в. $\overset{.}{\forall}t \in \R(t \in [t_0, t_1])$;
3. $||g(t,x'') - g(t,x')|| \leq L(t)||x'' - x'||;$
4. Условие продолжимости вправо (влево)$: \ \langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x, \alpha, \beta = \text{const} > 0 \ (-\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta ).$

Список литературы

[1] Лекции по курсу "Оптимальное управление". Лектор: Комаров Юрий, 2020/2021.
[2] Богачёв, В.И., Смолянов О.Г. Действительный и функциональный анализ: университетский курс. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2009. — С. 188. — 724 с.
[3] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.