Принцип максимума для задачи быстродействия

Общая постановка линейной задачи быстродействия

В самом общем случае линейная задача быстродействия имеет следующую постановку:

\[ \begin{cases} \dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + f(t), \quad t \in \left[ t_{0}, t_{1} \right]\\ x, f \in \mathbb{R}^{n}, \quad A \in \mathbb{R}^{n\times n}, \quad u \in \mathbb{R}^{m}, \quad B \in \mathbb{R}^{n\times m}, \\ A(\cdot), B{(\cdot)}, f(\cdot) \in C\left[t_{0}, t_{1} \right]\\ u(t) \in \mathcal{P}(t), \quad \forall t\\ x(t_{0}) \in \mathcal{X}_{0} \in \text{conv}\;\mathbb{R}^{n}, \quad x(t_{1}) \in \mathcal{X}_{1} \in \text{conv} \mathbb{R}^{n}\\ J = t_{1} - t_{0} \rightarrow \min \end{cases} \]

Здесь \(\mathcal{X}_{0}\) -- начальное множество значений фазового вектора, \(\mathcal{X}_{1}\) -- целевое множество значений фазового вектора, \(\mathcal{P}(\cdot)\) -- область управления. Считаем, что допустимое управление принадлежит классу кусочно-непрерывных функций.

Принцип максимума Понтрягина

Необходимым условием оптимальности управления является принцип максимума Понтрягина. Сформулируем его для линейной задачи быстродействия, поставленной в общем виде.

{\bf Теорема.} {(\it Принцип максимума Понтрягина)} Пусть \begin{math} \{ x^{*}(\cdot), \; u^{*}(\cdot) \} \end{math} --- оптимальная пара для линейной задачи быстродействия. Тогда существует непрерывная функция \begin{math} \psi(t) \end{math}, определенная при \begin{math} t \geqslant t_{0} \end{math}, являющаяся нетривиальным решением системы

\[ \begin{cases} \dot \psi(t) = -A^{T}(t)\psi(t) \\ \psi(t_{0}) = \psi_{0} \neq \theta \end{cases} \]

и такая, что выполнены условия: \begin{enumerate} \item \begin{math} \langle\psi(t), B(t)u^{*}(t)\rangle = \rho\left(\psi(t)| B(t) \mathcal{P}(t)\right) \end{math}\quad(принцип максимума),

   \item \begin{math} 
    \langle\psi(t_{0}), x^{*}(t_{0})\rangle  = \rho(\psi(t_{0})| \mathcal{X}_{0})            \end{math}\quad(условие трансверсальности на левом конце),
   \item \begin{math} \langle-\psi(t_{1}), x^{*}(t_{1})\rangle  = \rho(-\psi(t_{1})| \mathcal{X}_{1}) 
    \end{math}\quad(условие трансверсальности на правом конце).

\end{enumerate}