Непрерывность и дифференцируемость траекторий по начальным данным

Рассмотрим следующую задачу Коши\[\begin{aligned} \left\{ \begin{aligned} &\dot x(t) = g(t, x_0(t)),\\ &x(t_0) = x^0. \end{aligned} \right.\end{aligned}\] Решение системы обозначим \(x[t] \stackrel{\text{def}}{=}x(t, t_0, x^0).\)

Непрерывность, частный случай

Будем предполагать, что \(\begin{aligned} g: [T_0, T_1] \times {\mathbb{R}}^n \to \mathbb{R}}^n, -\infty \leqslant T_0 < T_1 \leqslant+\infty.\end{aligned}\) Также наложим следующие ограничения [1]\[\begin{aligned} &g(t) \text{измерима по } t \in [T_0, T_1] \forall x \in {\mathbb{R}}^n,\\ &g(t) \text {непрерывна по } t \in [T_0, T_1] \forall x \in {\mathbb{R}}^n,\\\end{aligned}\]