Матричный экспоненциал

Пусть $$A = (a_{ij})$$ - квадратная матрица порядка $$n$$.
Под матричной экспонентой понимается матричная функция: \[ \begin{equation} \label{row} e^{At} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{A^kt^k}{k!}. \end{equation} \]

Сходимость ряда $$(\ref{row})$$

$$\texttt{Утверждение: Ряд (\ref{row}) сходится абсолютно и равномерно для любого конечного интервала $t$.}$$
$$\texttt{Доказательство: $A = (a_{ij}) \in \mathbb{R}^{n \times n},\: A^k = (a_{ij}^{(k)})$.}$$
$$\texttt{Рассмотрим: $|a_{ij}^{(2)}| = \|\sum_{l=1}^n a_{il}a_{lj}\| \leq \sum_{l=1}^n |a_{il}||a_{lj}| \leq c^2n,\texttt{ где } |a_{ij}| \leq c \texttt{ по всем } i,j. \\ |a_{ij}^{(3)}| = \|\sum_{l=1}^n a_{il}^{(2)}a_{lj}\| \leq c^3n^2. \\ \texttt{По индукции: } |a_{ij}^{(k)}| = \leq c^kn^{k-1}. \\ \texttt{Все элементы матрицы } \frac{A^kt^k}{k!} \texttt{ мажорируются } \frac{c^kn^{n-1}t^k}{k!} = \frac1n\frac{(cnt)^k}{k!},\\ \texttt{а ряд } \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(cnt)^k}{nk!} \texttt{ сходится.} \Rightarrow \texttt{По признаку Вейерштрассе утрверждение доказано.} $ }$$