Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внутренние оценки: различия между версиями
Polina (обсуждение | вклад) м |
Polina (обсуждение | вклад) (добавила первую часть оценок множества разрешимости) |
||
Строка 7: | Строка 7: | ||
== Общий вид системы == | == Общий вид системы == | ||
+ | |||
Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи: | Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
Строка 16: | Строка 17: | ||
\end{cases} | \end{cases} | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m},\) а множества \(\mathcal{X}_0\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]: | + | где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_0\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]: |
\[ | \[ | ||
\mathcal{X}_0 = \mathcal{E}(x_0, X_0) \subset \mathbb{R}^n, | \mathcal{X}_0 = \mathcal{E}(x_0, X_0) \subset \mathbb{R}^n, | ||
Строка 24: | Строка 25: | ||
\] | \] | ||
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_0 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). | Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_0 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). | ||
+ | |||
+ | == Некоторые сведения об эллипсоидах == | ||
+ | |||
+ | В этом разделе приводятся некоторые сведения об эллипсоидах, которые требуются в дальнейшем. Более подробную информацию о них можно получить в [[Эллипсоид и его основные свойства | статье]]. | ||
+ | |||
+ | === Утверждение 1 === | ||
+ | \(A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA')\). | ||
+ | |||
+ | ===== Доказательство ===== | ||
+ | ''Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их опорных функций:'' | ||
+ | ''\[ | ||
+ | \rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l | ||
+ | \rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')). | ||
+ | \]'' | ||
== Оценки множества разрешимости == | == Оценки множества разрешимости == | ||
+ | |||
+ | Построим внутреннюю оценку множества разрешимости в задаче \eqref{1}. Без ограничения общности будем полагать \(m=n\) (при \(m<n\) можно расширить вектор \(u\) и матрицу \(B\), дополнив их соответствующими нулями). | ||
+ | |||
+ | Для системы \eqref{1} справедлива формула Коши: | ||
+ | \[ | ||
+ | x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau, | ||
+ | \] | ||
+ | где \(X(t,\tau)\) - фундаментальная матрица, удовлетворяющая системе: | ||
+ | \[ | ||
+ | \left\{\begin{aligned} | ||
+ | & \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\ | ||
+ | & X(\tau,\tau) = I. | ||
+ | \end{aligned}\right. | ||
+ | \] | ||
+ | |||
+ | Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\)~--- эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим: | ||
+ | \[ | ||
+ | \mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau. | ||
+ | \] | ||
+ | |||
+ | Поскольку интеграл в полученном выражении представим как предел интегральных сумм | ||
+ | \[ | ||
+ | \lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E} (X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)), | ||
+ | \] | ||
+ | |||
[[Категория:ДП]] | [[Категория:ДП]] |
Версия 00:22, 1 декабря 2022
Внутренние оценки множества разрешимости позволяют аппроксимировать это множество "изнутри", а также на основе полученной аппроксимации построить приближенный его приближенный вид.
Если вместе со внутренними оценками использовать и внешние, то полученная аппроксимация будет точнее.
В данной статье рассматривается только случай линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Также можно рассмотреть систему с помехой.
Содержание
Общий вид системы
Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи: \begin{equation} \label{1} \begin{cases} \dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\ x(t_0) \in \mathcal{X}_0, \\ u(t) \in \mathcal{P}(t), \end{cases} \end{equation} где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_0\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются эллипсоидами: \[ \mathcal{X}_0 = \mathcal{E}(x_0, X_0) \subset \mathbb{R}^n, \] \[ \mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m. \] Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_0 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\).
Некоторые сведения об эллипсоидах
В этом разделе приводятся некоторые сведения об эллипсоидах, которые требуются в дальнейшем. Более подробную информацию о них можно получить в статье.
Утверждение 1
\(A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA')\).
Доказательство
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их опорных функций: \[ \rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l \rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')). \]
Оценки множества разрешимости
Построим внутреннюю оценку множества разрешимости в задаче \eqref{1}. Без ограничения общности будем полагать \(m=n\) (при \(m<n\) можно расширить вектор \(u\) и матрицу \(B\), дополнив их соответствующими нулями).
Для системы \eqref{1} справедлива формула Коши: \[ x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau, \] где \(X(t,\tau)\) - фундаментальная матрица, удовлетворяющая системе: \[ \left\{\begin{aligned} & \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\ & X(\tau,\tau) = I. \end{aligned}\right. \]
Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\)~--- эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим: \[ \mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau. \]
Поскольку интеграл в полученном выражении представим как предел интегральных сумм \[ \lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E} (X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)), \]