Интегральное преобразование Фурье

Преобразование Фурье — операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами (подобно тому, как музыкальный аккорд может быть выражен в виде суммы музыкальных звуков, которые его составляют).

Определение

Прямое преобразование

Преобразование Фурье функции $$f(t)$$ вещественной переменной является интегральным и задаётся следующей формулой:

\[ F(\lambda) = \int\limits^{+\infty}_{-\infty} f(t) e^{-i\lambda t} dt, \quad F(\cdot): \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}. \]

Обратное преобразование

\[ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int\limits^{+\infty}_{-\infty} F(\lambda) e^{i\lambda t} d\lambda, \quad f(\cdot): \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}. \]

Cвойства

1. Из того, что $$f(x)\in L_1(\mathbb{R})$$ следует, что $$\|F(\lambda)\| \leq \int\limits^{+\infty}_{-\infty} \|f(t)\| dt < \infty$$. Отсюда следует, что для $$f(\cdot)\in L_1(\mathbb{R})$$ существует прямое преобразование Фурье.

Аналогично для $$F(\lambda)\in L_1\in(\mathbb{R})$$ следует, что существует обратное преобразование Фурье.