Эллипсоид и его основные свойства: различия между версиями
Artem (обсуждение | вклад) |
Artem (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 16: | Строка 16: | ||
==Основная часть== | ==Основная часть== | ||
| − | ===Утверждение=== | + | ===Утверждение 1=== |
''Опорной функцией эллипсоида является функция: | ''Опорной функцией эллипсоида является функция: | ||
\begin{equation}\label{eq2} | \begin{equation}\label{eq2} | ||
| Строка 25: | Строка 25: | ||
x^*(l) = q + \frac{Ql}{\sqrt{\langle l, Ql \rangle}}. | x^*(l) = q + \frac{Ql}{\sqrt{\langle l, Ql \rangle}}. | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
| − | ===Доказательство=== | + | ===Доказательство 1=== |
Пусть для начала $$q = 0$$ (рассмотрим эллипсоид, расположенный в нуле). Тогда требуется минимизировать скалярное произведение $$\langle l, x \rangle$$ при условии: | Пусть для начала $$q = 0$$ (рассмотрим эллипсоид, расположенный в нуле). Тогда требуется минимизировать скалярное произведение $$\langle l, x \rangle$$ при условии: | ||
\begin{equation}\label{eq1} | \begin{equation}\label{eq1} | ||
| Строка 52: | Строка 52: | ||
Очевидно, что при смещении центра эллипсоида в точку $$q \neq 0$$, выражения для опорной функции и соответствующего ей вектора также сместятся, т.е. мы получим $$\eqref{eq2}$$ и $$\eqref{eq3}$$. Утверждение доказано. | Очевидно, что при смещении центра эллипсоида в точку $$q \neq 0$$, выражения для опорной функции и соответствующего ей вектора также сместятся, т.е. мы получим $$\eqref{eq2}$$ и $$\eqref{eq3}$$. Утверждение доказано. | ||
| − | ===Замечание=== | + | ===Замечание 1=== |
Поскольку выпуклое множество однозначно определяется своей опорной функцией, то эллипсоид можно определить как: | Поскольку выпуклое множество однозначно определяется своей опорной функцией, то эллипсоид можно определить как: | ||
\[ | \[ | ||
| Строка 59: | Строка 59: | ||
где $$q \in \mathbb{R}^n, Q \in \mathbb{R}^{n \times n}, Q' = Q > 0$$. | где $$q \in \mathbb{R}^n, Q \in \mathbb{R}^{n \times n}, Q' = Q > 0$$. | ||
| − | ===Утверждение=== | + | ===Утверждение 2=== |
Аффинное преобразование меняет эллипсоид согласно формуле: | Аффинное преобразование меняет эллипсоид согласно формуле: | ||
\[ | \[ | ||
A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA^T), \forall A \in \mathbb{R}^{n \times n}. | A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA^T), \forall A \in \mathbb{R}^{n \times n}. | ||
\] | \] | ||
| − | ===Доказательство=== | + | ===Доказательство 2=== |
\[ | \[ | ||
\rho(l| A\mathcal{E}(q,Q)) = \rho\bigg(A^Tl| \mathcal{E}(q,Q)\bigg) = \langle A^Tl, q \rangle + \sqrt{\langle A^Tl, QA^Tl \rangle} = | \rho(l| A\mathcal{E}(q,Q)) = \rho\bigg(A^Tl| \mathcal{E}(q,Q)\bigg) = \langle A^Tl, q \rangle + \sqrt{\langle A^Tl, QA^Tl \rangle} = | ||
Версия 23:25, 27 декабря 2022
Данная глава посвящена рассмотрению эллипсоида и его основных свойств.
Содержание
Определения
Эллипсоид
Эллипсоидом $$\mathcal{E} (q, Q)$$ с центром в точке $$q \in \mathbb{R}^n$$ и матрицей $$Q \in \mathbb{R}^{n \times n}$$, такой, что $$Q' = Q > 0$$, будем называть множество точек: \begin{equation} \mathcal{E} (q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n | \langle x - q, Q^{-1}(x-q) \rangle \leqslant 1 \}. \end{equation}
Опорная функция
Опорной функцией выпуклого замкнутого множества $$A$$ в направлении $$l \neq 0$$ называется функция: \begin{equation} \rho(l|A) = \sup\limits_{x \in A} \langle l, x \rangle. \end{equation}
Основная часть
Утверждение 1
Опорной функцией эллипсоида является функция: \begin{equation}\label{eq2} \rho(l|\mathcal{E}) = \langle l, q \rangle + \sqrt{\langle l, Ql \rangle}, \end{equation} а опорный вектор в направлении $$l$$ равен: \begin{equation}\label{eq3} x^*(l) = q + \frac{Ql}{\sqrt{\langle l, Ql \rangle}}. \end{equation}
Доказательство 1
Пусть для начала $$q = 0$$ (рассмотрим эллипсоид, расположенный в нуле). Тогда требуется минимизировать скалярное произведение $$\langle l, x \rangle$$ при условии: \begin{equation}\label{eq1} \langle x, Q^{-1}x \rangle = 1. \end{equation} Выпишем лагранжиан для данной задачи: \[ \mathcal{L} = \langle l, x \rangle + \lambda(\langle x, Q^{-1}x \rangle -1). \] Отсюда получим: \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = l + 2 \lambda Q^{-1}x. \] Приравняв правую часть к нулю, выразим опорный вектор: \[ x^* = -\frac{Ql}{2\lambda}. \] Тогда, подставив его в $$\eqref{eq1}$$, найдем $$\lambda$$ и получим опорный вектор: \[ x^* = \frac{Ql}{\sqrt{\langle l, Ql \rangle}}. \] Следовательно, опорная функция в направлении $$l \neq 0$$ равна: \[ \rho(l|\mathcal{E}) = \bigg\langle l, \frac{Ql}{\sqrt{\langle l, Ql \rangle}} \bigg\rangle = \sqrt{\langle l, Ql \rangle}. \] Очевидно, что при смещении центра эллипсоида в точку $$q \neq 0$$, выражения для опорной функции и соответствующего ей вектора также сместятся, т.е. мы получим $$\eqref{eq2}$$ и $$\eqref{eq3}$$. Утверждение доказано.
Замечание 1
Поскольку выпуклое множество однозначно определяется своей опорной функцией, то эллипсоид можно определить как: \[ \mathcal{E}(q, Q) = \{ x \in \mathbb{R}^n| \langle x, l \rangle\ \leqslant \langle l, q \rangle\ + \langle l, Ql \rangle^{\frac{1}{2}} \}, \] где $$q \in \mathbb{R}^n, Q \in \mathbb{R}^{n \times n}, Q' = Q > 0$$.
Утверждение 2
Аффинное преобразование меняет эллипсоид согласно формуле: \[ A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA^T), \forall A \in \mathbb{R}^{n \times n}. \]
Доказательство 2
\[ \rho(l| A\mathcal{E}(q,Q)) = \rho\bigg(A^Tl| \mathcal{E}(q,Q)\bigg) = \langle A^Tl, q \rangle + \sqrt{\langle A^Tl, QA^Tl \rangle} = \] \[ = \langle l, Aq \rangle + \sqrt{\langle l, AQA^Tl \rangle} = \rho\bigg( l| \mathcal{E}(Aq, AQA^T)\bigg) \]
