Фазовый объём. Теорема Лиувилля: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Konst23 (обсуждение | вклад) (Новая страница: «Пусть рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений: \begin{gather*} \frac{dx_i}...») |
Konst23 (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| + | == Определения == | ||
| + | '''Определение 1.''' | ||
| + | |||
Пусть рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений: | Пусть рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений: | ||
\begin{gather*} | \begin{gather*} | ||
| − | \frac{dx_i}{dt}=f_i(x), \quad x(0)=x | + | \frac{dx_i}{dt}=f_i(\vec{x}),\quad \vec{x}\in \mathbb{R}^n ,\quad \vec{x}(0)=\vec{x}_0\in D_0. |
\end{gather*} | \end{gather*} | ||
Введём обозначение для множества решений системы в фиксированный момент времени: | Введём обозначение для множества решений системы в фиксированный момент времени: | ||
\begin{gather*} | \begin{gather*} | ||
| − | D_t=\left\{\,x(t\, ;\,x | + | D_t=\left\{\,\vec{x}(\,t\, ;\,\vec{x}_0),\quad \vec{x}_0\in D_0\right\}. |
\end{gather*} | \end{gather*} | ||
| − | + | Подсчитаем объём множества $$D_t,$$ воспользовавшись определением [https://ru.wikipedia.org/wiki/Кратный_интеграл кратного интеграла]. | |
\begin{gather*} | \begin{gather*} | ||
%V_t=\underbrace{\int...\int}_{D_t} dx_1\,dx_2...dx_n. | %V_t=\underbrace{\int...\int}_{D_t} dx_1\,dx_2...dx_n. | ||
V_t=\int\limits_{D_t} dx_1 dx_2...dx_n.\\ | V_t=\int\limits_{D_t} dx_1 dx_2...dx_n.\\ | ||
| − | |||
| − | |||
\end{gather*} | \end{gather*} | ||
| + | Это и есть определение '''фазового объёма''' $$D_t.$$ | ||
| + | <br> | ||
| + | '''Определение 2.''' | ||
| + | |||
| + | Величина $$\frac{dv_t}{dt}$$ называется '''изменением фазового объёма.''' | ||
| + | == Вспомогательные леммы == | ||
| + | '''Лемма 1.''' | ||
Версия 23:13, 15 сентября 2023
Определения
Определение 1.
Пусть рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений:
\begin{gather*}
\frac{dx_i}{dt}=f_i(\vec{x}),\quad \vec{x}\in \mathbb{R}^n ,\quad \vec{x}(0)=\vec{x}_0\in D_0.
\end{gather*}
Введём обозначение для множества решений системы в фиксированный момент времени:
\begin{gather*}
D_t=\left\{\,\vec{x}(\,t\, ;\,\vec{x}_0),\quad \vec{x}_0\in D_0\right\}.
\end{gather*}
Подсчитаем объём множества $$D_t,$$ воспользовавшись определением кратного интеграла.
\begin{gather*}
%V_t=\underbrace{\int...\int}_{D_t} dx_1\,dx_2...dx_n.
V_t=\int\limits_{D_t} dx_1 dx_2...dx_n.\\
\end{gather*}
Это и есть определение фазового объёма $$D_t.$$
Определение 2.
Величина $$\frac{dv_t}{dt}$$ называется изменением фазового объёма.
Вспомогательные леммы
Лемма 1.
