Гамильтоновы системы: различия между версиями
Timur23 (обсуждение | вклад) |
Timur23 (обсуждение | вклад) |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
== Определения == | == Определения == | ||
− | Рассмотрим | + | Рассмотрим многомерное уравнение Ньютона |
\begin{gather*} | \begin{gather*} | ||
− | m \ddot{x} = F(x),\quad x(0) = x_0,\quad \dot{x}(0) = p_0 | + | m \ddot{x} = F(x),\quad x(0) = x_0,\quad \dot{x}(0) = p_0,\quad x, p \in \mathbb{R}^n |
\end{gather*} | \end{gather*} | ||
Это уравнение эквивалентно системе | Это уравнение эквивалентно системе | ||
Строка 8: | Строка 8: | ||
\label{eq1} | \label{eq1} | ||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
− | \dot{x} = | + | \dot{x}_i = p_i,\\ |
− | \dot{p} = | + | \dot{p}_i = f_i(x), \quad f_i(x) = \frac{1}{m}F_i(x). |
− | \end{cases} | + | \end{cases}, \quad |
+ | i = \overline{1, n} | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
'''Определение 1.''' | '''Определение 1.''' |
Версия 23:22, 11 октября 2023
Определения
Рассмотрим многомерное уравнение Ньютона \begin{gather*} m \ddot{x} = F(x),\quad x(0) = x_0,\quad \dot{x}(0) = p_0,\quad x, p \in \mathbb{R}^n \end{gather*} Это уравнение эквивалентно системе \begin{equation} \label{eq1} \begin{cases} \dot{x}_i = p_i,\\ \dot{p}_i = f_i(x), \quad f_i(x) = \frac{1}{m}F_i(x). \end{cases}, \quad i = \overline{1, n} \end{equation} Определение 1. Функция $$U(x)$$ называется потенциалом системы, если $$U'(x)=-f(x)$$.
Далее предположим, что $$f(x)$$ — непрерывная функция. Потенциал определяется с точностью до произвольной постоянной.
Определение 2. Первый интеграл системы (\ref{eq1}) называется гамильтонианом и определяется равенством \begin{equation} \label{eq2} H(x, p) = \frac{p^2}{2} + U(x) = const = C. \end{equation}
Действительно, непосредственно проверяется, что \begin{gather*} \frac{dH(x, p)}{dt} = \frac{\partial H}{\partial x}\dot{x} + \frac{\partial H}{\partial p}\dot{p} = -f(x)p + pf(x) \equiv 0 \end{gather*}
Гамильтониан задает полную энергию системы (\ref{eq1}), которая остается неизменной в течение всего времени эволюции системы. Для того, чтобы отыскать значение постоянной $$C$$, которая отвечает движению с начальными данными $$x(0) = x_0, p(0) = p_0$$ достаточно вычислить \begin{gather*} H(x_0, p_0) = \frac{p_0^2}{2} + U(x_0). \end{gather*}
Положения равновесия системы представляют пары чисел $$(x^∗, 0)$$, таких, что $$f(x^∗) = −U'(x^∗) = 0$$, т.е. $$x^∗$$ является критической точкой потенциала $$U(x)$$. Если задан потенциал системы, то фазовые траектории системы могут быть получены непосредственно из равенства (\ref{eq2}).
Определение 3. Пусть $$x, p \in \mathbb{R}^n$$. Гамильтоновой системой называется система вида \begin{equation} \label{eq3} \begin{cases} \frac{dx_i}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p_i}\\ \frac{dp_i}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial x_i} \end{cases}, \quad i = \overline{1, n} \end{equation}
Список литературы
- Абрамова В.В. "Лекции по динамическим системам и биоматематике", 2023.
- Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. "Динамические системы и модели биологии", 2011.